|
Reja: Hisoblashning kompleks usuli haqida tushuncha
|
| bet | 1/3 | | Sana | 21.06.2024 | | Hajmi | 486,29 Kb. | | #264919 |
Bog'liq 11. Tarmoqlangan tok zanjirlarini kompleks usulda hisoblash
Tarmoqlangan tok zanjirlarini kompleks usulda hisoblash
Reja:
Hisoblashning kompleks usuli haqida tushuncha Om va Kirxgof qonunlarining kompleks shaklda ifodalanishi. Kompleks qarshiliklar va o’tkazuvchanliklar
Oddiy va murakkab zanjirlarni kompleks usul bilan hisoblash
Hisoblashning kompleks usuli haqida tushuncha
Ma’lumki, sinusoidal o’zgaruvchan tok zanjirlarida turg’unlashgan holatlar (e.yu.k., kuchlanish va h.k.) differensial tenglamalarning xususiy yechimlaridan iborat bo’lib, ular bilan zanjirlarning muvozanat holatlari tavsiflanadi. Parametrlari chiziqli bo’lgan zanjirga o’zgaruvchan kuchlanish berilganda uning hamma tarmoqlari va qismlarida xuddi shunday shakldagi reaksiya ro’y beradi. Boshqacha qilib aytganda, zanjirning muvozanat holati Kirxgof qonunlariga binoan o’zgaruvchan elektr va elektromagnit miqdorlarining balansi bilan ifodalanadi.
Murakkab sinusoidal o’zgaruvchan tok zanjirlarini oddiy matematik usul bilan hisoblash noqulay va ko’p mehnat talab qiladi hamda undan amaliy hisoblashda foydalanish qiyin. Bunday hisoblashdagi asosiy noqulaylik har bir sinusoidal miqdor (e.yu.k., kuchlanish va tok) o’zining amplitudasi va boshlang’ich fazasi bilan aniqlanishidan kelib chiqadi. O’zgaruvchan miqdorlarni geometrik usulda aylanuvchi vektorlar tarzida ifodalash (3.4) ham o’z navbatida murakkab zanjirlar uchun bajarish qiyin bo’lgan murakkab vektor diagrammalar tuzishni talab etadi.
Shunga qaramasdan, bu usul o’zgaruvchan tok zanjirlarini kompleks usulda hisoblashning asosi qilib olingan. Kompleks usul, ya’ni aylanuvchi vektorlarni kompleks sonlar yordamida ifodalash geometrik
1-rasm.
yasashlarni talab qilmay, sonlar ustida amallar bajarishga imkon beradi.
1-rasmda haqiqiy (+I) va mavhum (+j) ortogonal o’qlarda kompleks tekislik ko’rsatilgan bo’lib, unda A,B va C kompleks sonlar tasvirlangan (elektrotexnikada bunday vektorlar nuqta bilan belgilanadi).
Bu sonlarning tasviri koordinata boshidan chiqib, A,B,C modullarga ega bo’lgan vektorlarni ifodalaydi. Vektorlarning holati +1 o’qdan boshlab soat miliga teskari yo’nalishda hisoblangan boshlang’ich β γ va fazalar (argumentlar) bilan yoki bu vektorlarning tegishli o’qlarga bo’lgan proyeksiyalari: a1 va a2; b1 va b2; c1 va c2 orqali belgilanadi. Birinchi holda vektorlar quyidagicha ko’rsatkichli shaklda berilgan deb hisoblanadi:
bunda: e – natural logarifmlarning asosi, j= . Ikkinchi holda tasvir algebraik (yoki trigonometrik) shaklda berilgan hisoblanadi:
= a1 + ja2,
yoki
= A(Cos+jSin), = B(Cosβ+jSinβ) va = C(Cosγ+jSinγ).
Keltirilgan shakldagi ifodalar Eylerning kompleks sonlar uchun berilgan formulalaridan kelib chiqadi, ya’ni
= Cos + jSin
= Cos – jSin
A = A = a1+ ja2 kompleks sonlar uchun quyidagi nisbatlarni keltirish mumkin:
bunda: a1=A Cosα=Re (A) – kompleks sonning haqiqiy qismini ifodalaydi, a2=A Sin=Im (A) – kompleks sonning mavhum qismini ifodalaydi.
Xususiy holda:
= bo’lsa, A = A=a1; a2 =0.
=+π/2 bo’lsa, A = + jA =+ ja2; a1=0.
=+π bo’lsa, A = - A = -a1; a2 = 0 va h.k.
e -j va j4=1 ekanligi ko’rinib turibdi.
E ndi bizga qandaydir kompleks son berilgan bo’lsin: uni quyidagicha yozish mumkin:
Bu esa burchak tezlik bilan aylanayotgan biror vektorning tasviridir. Boshqa tomondan Im vektorning mavhum qismi oddiy sinusoidadir, ya’ni
Demak, biz boshlang’ich fazasi va amplitudasi Im bo’lgan ω chastotali sinusoidani kompleks formada tasvirladik. Agar sinusoidal o’zgaruvchan tokning oniy qiymatini xuddi ana shunday shaklda ko’rsatilishini hisobga olsak, kompleks son
tok i = Im Sin (ωt +ψi) ning simvolik tasviri bo’lib chiqadi. Bu yerda
= ejψi–tokning kompleksli amplitudasi. Ko’paytiruvchi kompleks sonni o’zining boshlang’ich o’qi atrofida o’zgarmas burchak tezlik bilan aylanayotgan vektor ekanligini ko’rsatadi. (3.3) da ko’rsatilganidek, bir xil chastotalardagi elektr miqdorlar vektorlarining bir vaqtda aylanishi bu vektorlar orasidagi fazaviy hamda amplitudaviy nisbatlarni buzmaydi. Demak, i= Sin(ωt+ψi;) tokka kompleks tekislikda Im amplituda va ψi argument bilan aniqlanadigan m= meiψi vektor mos keladi, deb hisoblash mumkin. Xuddi shuningdek, e.yu.k.
e=Em= Sin (ωt+ψe) va kuchlanish u=Um sin (ωt+ψu) uchun tegishlicha
= Em va = Um ga ega bo’lamiz.
Haqiqiy hisoblashda toklar, e.yu.k.lar va kuchlanishlarning effektiv qiymatlari beriladi; u holda tegishli komplekslar quyidagi ko’rinishda yoziladi:
Shunday qilib, kompleks usul sinusoidal funksiyalardan (originallardan) kompleks sonlarga (ularning tasviriga) o’tish imkonini beradi.
A gar ushbu usul funksiyadan, ya’ni originaldan, kompleks tasvirga o’tishni x belgisi bilan ifodalaydigan bo’lsak, unda quyidagilarni yozish mumkin:
va h.k.
Elektr zanjirlarini kompleks usulda hisoblash jarayonida tok, kuchlanish va e.yu.k. lar faqatgina vaqt funksiyasi tarzida emas, balki uning hosilasi yoki integrali tarzida uchrashi mumkin. Masalan:
Demak, mazkur funksiyaning tasviri quyidagicha topiladi:
Demak,
ya’ni kompleks usuli qo’llanayotganda funksiyadan hosila olish ushbu funksiyaning tasvirini "jω"ga ko’paytirish operatsiyasiga to’g’ri keladi. Xuddi shunga o’xshash, funksiyaning "n" – darajali hosilasi tasviri
ko’rinishda tuzilishi aniqdir.
Endi shu tokni integrallashga o’tsak,
(Bu yerda: q(o) – kondensatorli element uchun boshlang’ich zaryad).
Kompleks usuli faqatgina o’zgaruvchan (aynan sinusoidal) miqdorlarga nisbatan ishlatilishi mumkinligini e’tiborga olsak, q(o) ni hisobga olmaymiz. Shu sharti bilan integrallangan tok tasviri quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
Demak, kompleks shaklda berilgan har qanday sinusoidal funksiyaning tasviri m ejωt bo’lsa, u funksiyaning integralini tasvirlash funksiya tasvirini "jω"ga bo’lish bilan barobar ekan.
|
| |
