|
Reja Kirish I bob. To’plamlar nazariyasi
|
| bet | 1/7 | | Sana | 13.01.2024 | | Hajmi | 253,23 Kb. | | #136510 |
Bog'liq Asilbek
Reja
Kirish
I BOB. To’plamlar nazariyasi
To’plamlar ustida amallar
Ekvivalent to’plamlar
II BOB. O’lchovli to’plamlar
2.1 Tekislikdagi to’plamning o’lchovi
2.2 O’lchovning umumiy tushunchasi va xossalari
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar
Kirish
Funksional analiz - matematik analiz, geometriya va chiziqli algebraning g`oya va usullarini cheksiz o`lchamli fazolar uchun umumlashtiruvchi fan hisoblanadi. Hozirgi kunda funksional analizning g`oya, konsepsiya, usul va tushunchalari matematikaning barcha sohalari tomonidan tan olingan. So`nggi yillarda dierensial tenglamalar, hisoblash usullari, matematik dasturlashning talab va ehtiyojlariga javoban funksional analizning yangi chiziqli bo`lmagan tarmog`i paydo bo`ldi. Zamonaviy matematikaning bu yo`nalishi amaliyotchilar va muhandislarning o`sib kelayotgan ehtiyojlarining bir qismini qondiradi.
I BOB. To’plamlar nazariyasi
Toʻplamlar nazariyasi - matning toʻplamlar umumiy xossalarini oʻrganadigan boʻlimi. Toʻplam tushunchasi mat.ning boshlangʻich tushunchasidir. Toʻplamlar nazariyasi asoschilari chex matematigi B. Boltsano va nemis matematigi G. Kantor. Toʻplamni tashkil qilgan obʼyektlar uning elementlari deyiladi. Agar x element A toʻplamning elementi boʻlsa, u holda x ye A kaby belgilanadi, aks holda x yo A kabi belgilanadi. Agar A toʻplamning elementlari soni chekli boʻlsa, A toʻplam chekli toʻplam, aks holda esa A toʻplam cheksiz toʻplam deyiladi. Mas., 1000 dan kichik juft sonlar toʻplami chekli toʻplamga, haqiqiy sonlar toʻplami esa cheksiz toʻplamga misol boʻladi. Agar A toʻplamning har bir elementi V toʻplamga tegishli boʻlsa, A toʻplam V toʻplamning qism toʻplami deyiladi va A s V kabi belgilanadi. A va V toʻplamlardan kamida bittasiga tegishli elementlar toʻplamiga Ava V toʻplamning birlashmasi (yigindisi) deyiladi va A gʻj V kabi belgilanadi. A va V toʻplamlarning har ikkalasiga tegishli elementlar toʻplami A va V toʻplamlarning kesishmasi (koʻpaytmasi) deyiladi va An V kabi belgilanadi. Agar A va V toʻplam elementlari orasida oʻzaro bir qiymatli moslik oʻrnatish mumkin boʻlsa, ularning quvvati teng deyiladi. Agar A tuplam bn natural sonlar toʻplami orasida oʻzaro bir qiymatli moslik oʻrnatish mumkin boʻlsa, A toʻplam sanokli toʻplam deyiladi. Toʻplamlar nazariyasi 19-asr oxiri — 20-asr boshlarida rivojlangan boʻlib, mat.ning differensial tenglamalar, ehtimollar nazariyasi, topologiya, funksional analiz, matematik mantiq, funksiyalar nazariyasi sohalarida keng qoʻllaniladi.
To'plamlar nazariyasi, matematikada, obyektlarning yig'indisi yoki jamlanishi bilan bog'liq bir qo'llanma tizimini tushunishni ifodalaydi. To'plamlar nazariyasi matematikning asosiy konseptlaridan biridir va ko'p miqdordagi matematik amallarni tahlil qilishda, xususan sonlarda, juda muhimdir.
Elementlar: To'plamning barcha a'zolari yoki obyektlari elementlar deb ataladi.
Urganchilar (Elements): To'plam elementlari yoki a'zolari bu to'plamning tarkibiy qismi bo'ladi.
Birlashmalarning O'rni (Union): Ikkita yoki undan ko'p to'plamlarning birlashmasi.
Qo'shilish (Addition): To'plamdagi barcha elementlarni qo'shish operatsiyasi.
Kesishma (Intersection): Ikkita to'plamda bir xil elementlarga ega bo'lgan elementlarining jami.
Ayirma (Complement): Bir to'plamdan boshqa bir to'plamdagi elementlarni tashlab qo'yish.
Quyidagi Kesmalar (Subsets): Agar A va B to'plamlar bo'lsa, A B to'plamining quyidagi kesmalarini o'rnatish mumkin:
- A ⊆ B (A B ning quyidagi kesmasi).
- A ⊂ B (A B dan kichik).
- A ⊇ B (A B ning quyidagi kesmasi yoki teng).
- A ⊃ B (A B dan katta).
Qiymatli To'plam (Set of Numbers): Matematikda oddiy sonlar, butun sonlar, haqiqiy sonlar, sifatli sonlar, va boshqa kategoriyalardagi sonlar kabi qiymatlardan iborat bo'lgan to'plamlar.
Bu konseptlar matematikning har qanday dalasi uchun asosiydir. To'plamlar nazariyasi matematik savollarini yechish, dasturlashda ma'lumotlarni tahlil qilish, tadbir va muammolarni hal qilishda keng qo'llaniladi.
Bu bob to`plamlar nazariyasining elementlariga bag`ishlangan bo`lib, u besh paragrafdan iborat. 1-paragrafda to`plamlar va ular ustida amallar keltirilgan. Bu amallarning sodda xossalari o`rganilgan. Ikkilik munosabatlari isbotlangan. 2-paragraf akslantirishlar va to`plamlarni sinflarga ajratishga bag`ishlangan. Akslantirishda to`plamlar birlashmasining (kesishmasining) asli ular aslilari birlashmasiga (kesishmasiga) tengligi haqidagi teorema isbotlangan.
Xuddi shunday to`plamlar birlashmasining tasviri ular tasvirlari birlashmasiga tengligi isbotlangan. To`plamlar kesishmasi uchun bu xil tasdiq o`rinli bo`lmasligiga misol keltirilgan. To`plamlarni sinflarga ajratish bilan akslantirishlar o`rtasidagi bog`lanish ochib berilgan. 3-paragrafda sanoqli to`plamlar va ularning asosiy xossalari o`rganilgan. Chekli yoki sanoqli sondagi sanoqli to`plamlarning birlashmasi yana sanoqli bo`lishi isbotlangan. Sanoqli to`plamlarga ko`plab misollar keltirilgan. 4-paragrafda haqiqiy sonlar to`plamining sanoqsizligi ko`rsatilib, kontinuum quvvatli to`plamlarning ayrim xossalari o`rganilgan.
To`plamlar ekvivalentligi haqidagi asosiy teoremalardan biri Kantor-Bernshteyn teoremasi isbotlangan. Oxirgi 5-paragraf to`plamlar sistemalariga bag`ishlangan. To`plamlar halqasi, to`plamlar yarim halqasi ta'ri, misollar keltirilgan, ularning ayrim xossalari isbotlangan. σ− algebra va δ− algebra tushunchalari kiritilib, bu tushunchalarning teng kuchli ekanligi ko`rsatilgan. Har paragraf oxirida mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar berilgan. Bu bob kelgusi boblarga tayyorlov vazifasini o`taydi.
Matematikada juda xilma-xil to`plamlarga duch kelamiz. Haqiqiy sonlar to`plami, tekislikdagi ko`pburchaklar to`plami, ratsional koe‑tsiyentli ko`phadlar to`plami va hokazo. To`plam tushunchasi matematikada tayanch tushunchalardan bo`lib, unga ta'rif berilmaydi. "To`plam" so`zining sinonimlari sifatida "ob'ektlar majmuasi" yoki "elementlar jamlanmasi" so`z birikmalaridan foydalaniladi. To`plamlar nazariyasi hozirgi zamon matematikasida juda muhim o`ringa ega. Biz uning ayrim xossalarini o`rganish bilan cheklanamiz.
To`plamlar nazariyasi hozirgi zamon matematikasida juda muhim o`ringa ega. Biz uning ayrim xossalarini o`rganish bilan cheklanamiz. To`plamlarni lotin alifbosining bosh harlari A, B, . . . , ularning elementlarini esa kichik - a, b, . . . harlar bilan belgilaymiz. a element A to`plamga tegishli iborasi a ∈ A shaklda yoziladi. a ∈/ A yozuv esa a element A to`plamga tegishli emasligini bildiradi. Agar A to`plamning barcha elementlari B to`plamningham elementlaribo`lsa, u holda A to`plam B to`plamning qismi deb ataladi va A ⊂ B ko`rinishda yoziladi. Masalan, natural sonlar to`plami haqiqiy sonlar to`plamining qismi bo`ladi. A va B to`plamlar bir xil elementlardan tashkil topgan bo`lsa, ular teng to`plamlar deyiladi va A = B shaklda belgilanadi. Ko`pincha, to`plamlarning tengligini isbotlashda A ⊂ B va B ⊂ A munosabatlarning bajarilishi ko`rsatiladi ([1] ga qarang). Ba'zida birorta ham elementi mavjud bo`lmagan to`plamlarni qarashga to`g`ri keladi.Masalan, x2 + 1 = 0 tenglamaning haqiqiy yechimlari to`plami, 2 ≤ x < 2 qo`sh tengsizlikni qanoatlantiruvchi haqiqiy sonlar to`plami va hokazo. Bunday to`plamlar uchun maxsus bo`sh to`plam nomi berilgan va uni belgalashda ∅ simvoldan foydalaniladi. Ma'lumki, har qanday to`plam bo`sh to`plamni o`zida saqlaydi va har qanday to`plam o`zining qismi sifatida qaralishi mumkin. To`plamlarning bo`sh to`plamdan va o`zidan farqli barcha qism to`plamlari xos qism to`plamlar deyiladi.
|
| |
