Takrorsiz o’rinlashtirishlar
Avvalo barcha mumkin bo`lgan Аnk joylashtirishlarni topib olamiz. Bu
masalani yechish uchun ko`paytma qoidasidan foydalanamiz.
n ta elementi bo`lgan S to‘plamda birinchi elementni tanlash uchun n ta
imkoniyat bor, ikkinchi elementni tanlash uchun esa n 1 ta imkoniyat qoladi.
Joylashtirish takrorlanmaydigan bo`lgani uchun tanlab olingan element keyingi
tanlanmalarda ishtirok etmaydi. Shuning uchun k - elementni tanlash uchun
n (k 1) n k 1 imkoniyat qoladi. U holda barcha takrorlanmaydigan
joylashtirishlar soni:
Аnk n(n 1)(n 2)... (n k 1) ga teng bo`ladi.
Bu formulani boshqacha ko`rinishda yozish mumkin:
Bu yerda “!” belgisi faktorial deb o`qiladi.
1 dan n gacha bo`lgan barcha natural sonlar ko`paytmasi n! ga teng.
Faktorialni hisoblashda 0!=1 va 1!=1 deb qabul qilingan.
Teorema. n elementga ega bo`lgan S to`plamning k elementli tartiblangan takrorlanmaydigan qism to`plamlari soni
ga teng.
Misol 1. 7 kishidan iborat nazorat guruhini 4 nafar a`zosi bo`lgan nechta kichik
guruhlarga ajratish mumkin?
Izlanayotgan usullar soni 7 ta elementdan 4 tadan joylashtirishlar soniga
teng, ya`ni
Misol 2. Talaba 3 ta imtixonni bir hafta davomida topshirishi kerak. Bu harakatni
necha xil usulda amalga oshirish mumkin?
Javob: A63 120
Shu o‘rinda eslatib o‘tamiz, tadqiqotlarda joylashtirishlar sonini hisoblashga
to‘g‘ri kelsa, unda Excel dasturlar paketidagi ПЕРЕСТ komandasidan
foydalanish mumkin, masalan ni hisoblang:
Takrorsiz o’rin almashtirishlar
Berilgan to‘plamning o‘rin almashtirishlari soni o`rin almashtirish joylashtirishning xususiy xolidan iborat, shuning uchun ham o`rin almashtirishni n ta elementdan n dan
joylashtirish deb qarash mumkin:
Bu son n elementli qism to’plamni tartiblash usullari soniga teng bo’ladi.
Misol 1. 26 kishini kassada navbatga necha xil usulda
joylashtirish mumkin degan savolga endi javob berish mumkin: Pn 26!
Misol 2. Uchta elementdan iborat A={a, b, c} to‘plamning elementlaridan tuzilgan o‘rin almashtirishlar soni 6 ga teng:
(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a).Teorema. n elementga ega bo`lgan S to`plamning barcha o`rin almashtirishlari soni Pn n! ga teng.
Misol 3. Javonga 5 ta kitobni necha xil usulda joylashtirish mumkin.
P5 5!120
Tadqiqotlarda o‘rin almashtirishlarni hisoblashga to‘g‘ri kelsa, unda Excel dasturlar paketidagi ФАКТР komandasidan foydalanish mumkin, masalan 10! ni hisoblash uchun quyidagicha ish tutiladi:
Misol 4. {1, 2, 3, ... , 2n} to‘plam elementlarini juft sonlari juft o‘rinlarda
keladigan qilib necha xil usulda tartiblashtirish mumkin?
Yechilishi: Juft sonlarni juft nomerli o‘rinlarga (bunday joylar n ta) n! ta usulda qo‘yib chiqish mumkin, bu usullarning har biriga toq sonlarni toq nomerli o‘rinlarga n! ta usulda qo‘yib chiqish mos keladi. Shuning uchun ham ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra barcha o‘rniga qo‘yishlar soni n!n!(n!)2 ga teng bo‘ladi.
Misol 5. n ta elementdan berilgan ikkita elementi yonma-yon turmaydigan nechta o‘rin almashtirish bajarish mumkin.
Yechilishi: a va b elementlar berilgan bo‘lsin. Bu elementlar yonma-yon turgan o‘rin almashtirishlar sonini aniqlaymiz. Birinchi hol a element b elementdan oldin kelishi mumkin, bunda a birinchi o‘rinda, ikkinchi o‘rinda, va hokazo (n-1)- o‘rinda turishi mumkin. Ikkinchi hol b element a elementdan oldin kelishi mumkin, bunday holatlar ham (n-1) ta bo‘ladi. Shunday qilib, a va b elementlar yonma-yon keladigan holatlar soni 2(n 1) ta bo‘ladi. Bu usullarning har biriga qolgan (n-2) ta elementning (n- 2)! ta o‘rin almashtirishi mos keladi. Demak, a va b elementlar yonma - yon keladigan barcha o‘rin almashtirishlar soni 2(n 1)(n 2)!2(n 1)! ta bo‘ladi. Shuning uchun ham yonma-yon turmaydigan o‘rin almashtirishlar soni
n!2(n 1)!(n 1)!(n 2) ga teng bo`ladi.
|
