|
VEKTOR MAYDONNING SIRT BO'YICHA OQIMI
|
| bet | 4/5 | | Sana | 20.02.2024 | | Hajmi | 291,46 Kb. | | #159566 |
Bog'liq VEKTOR MAYDON, VEKTOR CHIZIQLAR, VEKTOR NAYCHALAR. ORIENTIRLGAN VA ORIENTIRLMAGAN SIRTLAR. VEKTOR MAYDONNING SIRT BO\'YICHA OQIMI, UNING XOSSALARI, FIZIK MA\'NOSI2.5.VEKTOR MAYDONNING SIRT BO'YICHA OQIMI
Vektorlarni tahlil qilish asoslari bo'yicha ikkinchi darsda biz vektor maydonining oqimi nima ekanligini bilib olamiz va uni qanday topishni o'rganamiz. Biroq, ba'zi o'quvchilar allaqachon bilishadi va bilishadi; -)
Keling, odatdagi savoldan boshlaylik - "oqim"so'zining o'zi nima bilan bog'liq? ... Havo oqimi, suyuqlik oqimi..., aslida ular haqida, xususan, muhokama qilinadi. Derazani oching va qo'lingizni osmonga cho'zing. Bu o'qining yo'nalishi bo'ladi. Kartezian tizimining boshqa o'qlari bu erda, xonada bo'lsin.
Endi ochiq Oynani aqliy ravishda uzluksiz sirt bilan "kesib tashlaymiz". Tekislikning to'rtburchaklar qismini tanlashning eng oson usuli:
Sirt tomoni muhimmi? Albatta. Bir tomonda ko'cha, boshqa tomonda xona =) Shuning uchun biz ning yo'naltirilgan yuzasini ikki tomoni bilan ko'rib chiqamiz, ular odatda... yordamida aniqlanadi, siz taxmin qilasiz:)
Oddiy vektorlari yarim o'qi bilan o'tkir burchaklar hosil qiladigan tomonni ijobiy tomon deb ataymiz va orqali belgilaymiz va shunga mos ravishda qarama-qarshi tomonni salbiy deb ataymiz va orqali belgilaymiz.
Izoh: men haqiqatan ham "tashqi" va "ichki" tomonlarini aytmoqchiman, ammo bu semantik qarama – qarshilikka olib keladi-axir o'qi aksincha ochilishi mumkin. Bundan tashqari, uning o'rniga boshqa koordinata o'qini qo'yish va shunga o'xshash sabablarga ko'ra tomonlarini aniqlash mumkin.
Aniqlik uchun biz ko'cha (ijobiy tomon) ni tanlaymiz va bizning yuzamiz tekis bo'lgani uchun uning barcha nuqtalari bir xil normal vektorga ega bo'ladi . Ushbu vektor bepul va uni istalgan joyda chizish mumkin.
Xarakterli nima? Derazadan shamol esadi. Yoki derazadan (siz hech qachon bilmaysiz, qoralama). Havo tezligi maydonini va yuzasining har bir nuqtasini ko'rib chiqing, undan chiqadigan erkin bo'lmagan vektorini moslang, bu ma'lum bir nuqtada havo harakatining yo'nalishi va tezligini ko'rsatadi. Shamol qanchalik kuchli bo'lsa, vektor shunchalik uzun bo'ladi. Men ulardan birini rasmda tasvirladim. Bu juda oddiy: oqim ( harfi bilan ko'rsatilgan ) – bu vaqt birligiga yo'naltirilgan yuzasi orqali o'tgan havo miqdori (tezlik maydoni o'zgarishga ulgurmagan deb taxmin qilinadi). Bundan tashqari:
– agar bo'lsa, u holda havo (to'liq yoki asosan) tanlangan "ko'cha" tomonining normal vektorlari yo'nalishi bo'yicha harakat qiladi (xonani" tark etadi");
- Agar bo'lsa, u holda havo vektorga qarshi (to'liq yoki asosan) harakat qiladi (xonaga kiradi).
Modul oqimi qanchalik katta bo'lsa, havo sirtdan shunchalik ko'p o'tadi (ma'lum bir vaqt birligida) va shamol shunchalik kuchli esadi. - va nihoyat, deyarli aql bovar qilmaydigan vaziyatlar qiymatiga mos keladi:
1) mutlaq tinchlik (shamol umuman esmaydi);
2) shamol qat'iy ravishda "sigma" tekisligida esadi (barcha "EF" vektorlari unda yotadi);
3) muvozanat-sirt orqali qancha havo "keldi", shuncha "ketdi".
sirtining "yopiq" tomonini ko'rib chiqsangiz nima o'zgaradi? Uning normal vektori qarama-qarshi tomonga yo'naltirilganligi sababli, oqim belgisi o'zgaradi.
- havo tashqariga "chiqib ketganda" salbiy, derazadan shamol esganda ijobiy bo'ladi. Majoziy ma'noda, bu erda biz xuddi shu vaziyatga faqat boshqa tomondan qaraymiz.
Umuman olganda, talabalar ushbu tonna oqimni yaxshiroq his qilishlari uchun ko'plab ma'lumot manbalarida suyuqlik bilan o'xshash misol keltirilgan. Ammo biz "Titanik" ni tashkil qilmaymiz, bu qayg'uli film – yaxshisi suv kranini oching, koordinata o'qini o'rnating va suv quvurining kesishishi orqali suv oqimini tahlil qiling. Sizga yaxshi bosim!
Ammo hazillardan tashqari, suyuqlik bilan klassik misol tasodifiy emas – oqim tushunchasi suyuqlik dinamikasidan kelib chiqqanligi sababli, u o'zboshimchalik bilan vektor maydoniga tarqaldi, bu erda ko'pincha tom ma'noda "puflash" yoki "oqish" uchun hech narsa yo'q.
Endi biz aniq misollardan mavhum bo'lib, umumiy formulalarga o'tamiz: vektor maydonining yo'naltirilgan yuzasi orqali vaqt birligidagi oqimi ushbu sirt bo'ylab 2-turdagi sirt integraliga son jihatdan tengdir:
Agar tushuntirish oson bo'lsa, u holda maydon vektori yuzasining har bir nuqtasidan chiqib ketadi va umumiy integratsiya printsipiga ko'ra, ushbu integral ushbu vektorlarning cheksiz kichik proektsiyalarini koordinata tekisliklariga birlashtiradi, bu umumiy oqimning o'lchovidir.
Va darsning 2-qismida sirt integrallari (misollar № 5-8), biz faqat vektor maydonining oqimini topish bilan shug'ullandik. Va agar siz o'qimagan bo'lsangiz, unda siz hali ham kerak bo'ladi, chunki texnikasiz hech qanday echim yo'q. Materialning keyingi taqdimoti siz sirt integrallarini qanday hal qilishni bilishingizni anglatadi.
Shunday qilib, masalan, 5-misolni eslaylik:
" integralini hisoblang, bu erda tekisligining yuqori tomoni 1 oktantda joylashgan"
Men u erdan rasmni nusxa ko'chiraman:
Ushbu muammoning sharti teng ravishda shakllantirilishi mumkin:
" vektor maydonining oqimini tekisligining koordinata tekisliklari bilan chegaralangan qismi orqali normal vektor yo'nalishi bo'yicha toping, bu esa musbat yarim o'qi bilan o'tkir burchak hosil qiladi" Ushbu misolda biz javobini oldik – bu uchburchakning yuqori tomoni bo'ylab vektor maydonining oqimi.
Ushbu natija gidrodinamik ma'noda nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, vaqt birligida vektori yo'nalishi bo'yicha 5 birlik suyuqlik oqadi. Agar natija salbiy bo'lsa, bu "oqish" teskari yo'nalishda sodir bo'lganligini anglatadi.
Agar siz uchburchakning pastki qismidagi sirt integralini hisoblasangiz, oqim belgini o'zgartiradi:
Bu erda biz boshqa tomondan – qarama-qarshi yo'naltirilgan normal vektorining yo'nalishi bo'yicha" vaziyatga qaradik". Vektor maydonining o'zi (suv oqimining yo'nalishi va tezligi) umuman o'zgarmadi.
Savolning matematik tomoniga e'tibor qaratish uchun yana soniyalar, kilogrammlar va boshqa jismoniy miqdorlardan voz kechaman. Men shuni aytamanki, sirt integrallari fizikaning turli sohalarida keng qo'llanilgan va aslida bu alohida katta suhbat mavzusi.
Vektorli maydon oqimini qanday topish mumkin?
Yangi boshlanuvchilar va boshqalarga, agar iloji bo'lsa, echimni 1-turdagi sirt integralini hisoblash uchun qisqartirishni maslahat beraman:
Faqat chalkashmaslik uchun.
Ushbu o'tish skalyar mahsulotining taniqli formulasiga asoslanadi va bu erda uning mazmunli ma'nosini tahlil qilish foydali bo'ladi. Bu bizning "sigma derazamiz" tomonining "xonasi" tomonidan normalning birlik vektori bo'lsin va quyida ko'rib chiqilgan vaziyatlarda shamol doimiy tezlikda essin. Endi biz savolga javob beramiz: oqim qachon maksimal bo'ladi? Matematik jihatdan maksimal darajaga FFFFFDA erishiladi, ya'ni "maydon" va normal vektor orasidagi burchaklar nolga teng bo'lganda. Bu nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, shamol "to'g'ridan – to'g'ri derazadan" esadi-qat'iy ravishda normal yo'nalishda. Bu holda xonaga maksimal miqdordagi havo kirishi mantiqan.
Agar" puflash burchagi " 0 dan 90 darajagacha oshirilsa, kosinus (va shuning uchun oqim) nolga kamayadi. Bundan tashqari, mantiqiy. Xususan, agar shamol (bir xil kuch!) derazadan 60 daraja burchak ostida esadi, keyin mutlaq qiymatdagi havo oqimi dan ikki baravar kam bo'ladi. ishi "deraza tekisligida" havo harakatlanadigan "aql bovar qilmaydigan vaziyat"ga mos keladi. Va nihoyat, kosinusning salbiy qiymatlari (burchaklar 90 dan 180 darajagacha) shamol normal vektorga (ya'ni derazadan) qarshi esadigan holatlarga to'g'ri keladi.
Yana bir bor, men buni amalga oshirishga ulgurmaganlarning sirt integrallarini qanday hal qilishni o'rganishga chaqiraman, chunki endi biz mavzuni davom ettirmoqdamiz:
Yopiq sirt orqali vektor maydonining oqimi
Ehtimol, hamma bu sirt nima ekanligini intuitiv ravishda tushunadi. Eng oddiy yopiq sirtlarga shar va uchburchak piramida kiradi.
Yopiq sirt orqali oqimni hisoblash o'ziga xos xususiyatlarga ega, biz quyidagi kanonik misolni hal qilish jarayonida tanishamiz:
1-misol
vektor maydonining oqimini tekisligi va koordinata tekisliklari bilan chegaralangan yopiq sirt orqali tashqi normal yo'nalishda toping
Qaror, odatdagidek, biz rasmdan boshlaymiz. Biz segmentlarida tekislik tenglamasini qayta yozamiz va uchburchak piramida bo'lgan taklif qilingan sirtni tasvirlaymiz:
Shartga ko'ra, sirt tashqi normal yo'nalishga yo'naltirilgan va shuning uchun piramidaning belgisiga shartli o'qni qo'shaman:
Vektor maydonining oqimi 2-turdagi bir xil sirt integrali yordamida hisoblanadi va sirt yopilganligi sababli, odatda uning belgisiga ramziy doira qo'shiladi:
Agar bu juda qiyin bo'lsa , odatdagi "sigma" dan foydalaning: , chiziqcha ostida tashqi yo'nalishni anglatadi. Shuni ham yodda tutingki, bu erda "ortiqcha" qo'yish juda istalmagan: -piramidaning uchta yuzi koordinata o'qlariga qarshi "qarab turishi" sababli!
"Qo'rqinchli ko'rinishga" qaramay, vazifaning ma'nosi yana oddiy: piramida ma'lum bir suv kanalining bir qismini cheklab qo'yganini tasavvur qiling. Vaqt birligiga qancha suyuqlik kirganini/oqayotganini aniqlash kerak.
Va, shubhasiz, bu erda siz sirt integralining qo'shimchali xususiyatidan foydalanishingiz kerak, aniqrog'i, uni piramidaning yo'naltirilgan yuzlari bo'ylab to'rtta sirt integrallarining yig'indisi sifatida taqdim etishingiz kerak:
Bu yerda:
Bu Yerda siz qisqa belgilaridan ham foydalanishingiz mumkin , ammo hamma narsani aniqroq qilish uchun men noqulay, ammo sirtlarning "gaplashadigan" nomlarini afzal ko'rdim.
! Izoh: uchburchaklarning tepalarini (va boshqa shakllarni) tirnoq qoidasi bo'yicha sanab o'tish maqsadga muvofiqdir: tasavvur qiling-a, uni normal vektor yo'nalishi bo'yicha shishaga burab qo'ying. Keyin tepalarni tirnoq dastagining aylanish harakati yo'nalishi bo'yicha sanab o'tish kerak. Ushbu qoida qo'shimcha va aniq sirt yo'nalishini ko'rsatadi.
... ko'zlaringizda biron bir ishtiyoqni ko'rmayapman:)) ... va behuda - har bir ekran bilan u yanada qiziqarli va qiziqarli bo'ladi ;)
1) vektor maydonining oqimini yo'naltirilgan uchburchak orqali normal vektori yo'nalishi bo'yicha hisoblaymiz . Aslida, bu 5-darsning misoli yuzaki integrallar.
Tashqi normal yarim o'qi bilan o'tkir burchak hosil qilganligi sababli, bitta normal vektorni topish uchun biz formuladan foydalanamiz:
tekisligining funktsiyasini yozamiz:
va biz 1-darajali qisman hosilalarni topamiz:
Shunday qilib:
Keling, uning uzunligi haqiqatan ham bitta ekanligiga ishonch hosil qilaylik:
bu qisqa ko'rinadi, lekin nima qilish kerak-samolyotning bunday qiyaligi.
Skalyar mahsulotni hisoblang:
va biz echimni 1-turdagi sirt integralini hisoblash uchun qisqartiramiz:
Ikki tomonlama integralni hal qilish qoladi. va tekisliklari kesishgan chiziqni toping:
va biz proektsiyasini ikki o'lchovli rasmda tasvirlaymiz (dangasa bo'lmang!!!):
Shubhasiz, men biroz oldinroq aylanib o'tish tartibini hal qildim:
Davom eting:
Takroriy integrallarni tartibda hisoblash qulayroq. Avval ichki:
keyin tashqi:
Tayyor. Hisoblash va dizaynning oqilona texnikasiga e'tibor bering.
Muammoni yaxshiroq tushunish uchun biz echimga gidrodinamik ma'no qo'yishni davom ettiramiz. Olingan natijasi nimani anglatadi ? Bu shuni anglatadiki, uchburchagi orqali vektor yo'nalishi bo'yicha 26 birlik suyuqlik o'tgan. Aytgancha, bu uning faqat shu yo'nalishda harakatlanishini anglatmaydi. Bu erda "girdob" bo'lishi mumkin: uchburchagining azli nuqtalarini funktsiyasiga almashtirishga harakat qiling va agar maydon vektorlari undan turli yo'nalishlarda chiqib ketsa, unda bu shunday bo'ladi.
Qolgan uchta integral, xayriyatki, osonroq:
2) yo'naltirilgan uchburchagi orqali vektor maydonining oqimini toping. Bu erda normalning birlik vektori aniq: yoki . Skalyar mahsulotni hisoblang:
va 1-turdagi sirt integraliga o'tamiz
Sirt to'g'ridan – to'g'ri tekisligida joylashganligi sababli , formulasi juda soddalashtirilgan-chunki "Zet" va uning hosilalari nolga teng. Ikki tomonlama integralni bir xil integratsiya chegaralari bo'yicha oling:
ning salbiy qiymati uchburchagi orqali vaqt birligi uchun vektoriga qarshi 9 birlik suyuqlik o'tganligini anglatadi (ya'ni u piramida ichiga kirgan). Qiziquvchan o'quvchilar yana uchburchak nuqtalarini funktsiyasiga almashtirishlari va oqimning tabiatini tahlil qilishlari mumkin.
3) Vektorli maydon oqimini yo'naltirilgan uchburchagi orqali hisoblang. Bu erda tashqi normal ham sizning kaftingizda bo'lgani kabi: yoki . Skalar mahsuloti:
va standart o'tish:
uchburchagi tekisligida joylashganligi sababli biz formuladan foydalanamiz,
unda 00000 yuzasi ning tekisligiga proektsiyasiga to'g'ri keladi va funktsiyasi uning hosilalari bilan birga nolga teng:
Keling, tekisliklar kesishgan chiziqni topamiz:
va biz ikki o'lchovli rasmni bajaramiz:
O'lchamlari bo'yicha uchburchak avvalgisiga teng, ammo bu faqat o'lchamlar. Hududni aylanib o'tishning quyidagi tartibini tanlaymiz:
va takroriy integrallarga o'tamiz:
Ichki:
va tashqi:
natijasi shuni anglatadiki, vaqt birligida OAC tekisligi orqali 1 birlik suyuqlik vektori yo'nalishi bo'yicha piramidadan chiqib ketgan). Ehtimol, bu erda juda zaif oqim bor, lekin bo'ronli girdob ham bo'lishi mumkin. Savolni ilmiy Poke usuli bilan o'rganing!
4) va nihoyat, tashqi yo'nalishda yuzi bo'ylab vektor maydonining oqimi skalyar mahsulot:
va yana bir bor o'tish:
Uchburchak tekisligida joylashganligi sababli, biz funktsiyasi va uning hosilalari nolga teng bo'lgan formulasini ishga tushiramiz: Keling, samolyotlarning kesishish chizig'ini topamiz va ikki o'lchovli chizamiz:
Hududni aylanib o'tishning quyidagi tartibini tanlaymiz:
ning salbiy qiymati shuni anglatadiki, vaqt birligi uchun uchburchagi orqali vektorining yo'nalishiga (ya'ni piramida ichiga) qarshi 18 birlik suyuqlik oqib o'tdi. Xo'sh, bu muhim lahza keldi. Tashqi normalar yo'nalishi bo'yicha butun piramida bo'ylab vektor maydonining oqimini hisoblaymiz:
Javob:
Bu nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, vaqt birligida – piramida ichiga qancha suyuqlik kirgan bo'lsa, shuncha ko'p oqadi.
Ha, yechim uzoq va yechim oson emas, lekin vektor maydoni oqimini hisoblash muammolari hatto sirtqi kurs talabalarida ham uchraydi va ko'pincha. Va shuning uchun kichik prizmada mashq qilishni unutmang:
2-misol
Vektor maydonining oqimini hisoblang yopiq sirt orqali tashqi normal yo'nalishda
Juda ehtiyot bo'ling!
Yechim davomida tekisliklari o'qiga parallel ekanligini, aniqrog'i u orqali o'tishini va shuning uchun tekisligiga proektsiya mos kelmasligini unutmang; tekisligi tekisligiga parallel va bu erda umuman bitta variant mavjud.
Bundan tashqari, oddiy tekislik vektorlari.Bundan tashqari , tekisliklarining normal vektorlari o'qiga ortogonaldir va biz hozirgacha bu holatga duch kelmadik. Ularni qanday topish mumkin? Bu erda siz standart formulalar bilan ishlashingiz mumkin (yuqoridagi havolaga qarang), so'ngra ular qaerga "qarashayotganini" tekshiring (grafik yoki yoki vektorli skalyar mahsulotni hisoblash ).
Ammo o'zboshimchalik bilan sirt berilsa nima bo'ladi? Va umuman-butun sirtni tekshirish kerakmi? Keling, maqolaning 2-qismiga o'tamiz, u erda bizni juda ko'p ajoyib kashfiyotlar kutmoqda:
Vektor maydonining divergensiyasi >>>
! Hozir unga o'ting va hech bo'lmaganda boshlanishini "issiq fikrlar" orqali o'qing!
2-Misolni Hal Qilish:
Chizilgan rasmda kerakli sirtni chizamiz, bu prizmasi:
|
| |
