|
Jobasi
1. Ratsional sanlar haqqinda tusinik.
2. Iratsional sanlariniń Manava tárepinen ilimge kiritiliwi.
3. Ratsional sanlar haqqinda Gipastiń pikiri.
Ratsional sanlar — eki pútkil sannıń qatnası retinde ańlatılatuǵın sanlar. Sheksiz dáwirli o'nli bólshekler ratsional sanlar kompleksine kiredi. Dáwirli bolmaǵan sheksiz o'nli bólshekler irratsional sanlar kompleksin quraydı. Ratsional hám irratsional sanlar haqiyqiy sanlar dep ataladı hám R menen belgilenedi. Haqıyqıy sanlardı sanlar o'qida suwretleytuǵın bolsaq, hár bir haqıyqıy sanǵa o'qda bir noqat sáykes keledi hám kerisinshe, sanlar o'qidagi hár bir Ratsional hám irratsional sanlar Haqiyqiy sanlar dep noqatqa tek bir haqıyqıy san sáykes keledi ataladı hám R menen belgilenedi. Haqıyqıy sanlardı sanlar o'qida suwretleytuǵın bolsaq, hár bir haqıyqıy sanǵa o'qda bir noqat sáykes keledi hám kerisinshe, sanlar o'qidagi hár bir noqatqa tek bir haqıyqıy san sáykes keledi.
Pútkil sanlar kompleksi Z = { …, − 2, − 1, 0, 1, 2, … } esaplanadı. Onı tómendegishe tariyplew múmkin: Natural sanlar hám olarǵa qarama qarawı sanlar hám de nol birgelikte pútkil sanlardı quraydı. Irratsional sanlar túsinigi hind matematikalıqları tárepinen eramızǵa
shekemgi 7-asirde, Manava (eramızǵa shekemgi 750-jıl — 690 -jıllar ) tárepinen anıq qabıl etilgen.Kvadrat túbirler 2 hám 61 sıyaqlı birpara natural sanlardı anıq ańlatpalap bolmaydı.
Irratsional sanlar bar ekenligin birinshi dálili ádetde Pifagoriyalik Metapontuslik Gipas (eramızǵa shekemgi 500jıllar ) ga tiyisli. Pifagorshilar dáwirinde, etarlicha kishi hám bólinbeytuǵın birden-bir uzınlıq birligi bar ekenligine ıseniwgen, bul hár qanday segmentke kiritilgen pútkil son bolıp tabıladı.Qaysı nomerdiń logikasızligi Gipas tárepinen astıyıqlanganligi haqqında anıq maǵlıwmatlar joq. Ańızǵa kóre, ol bunı pentagram tárepleriniń uzınlıǵın úyreniw arqalı taptı. Grek matematikalıqları bul koefficientti teńsiz muǵdarlar dep atawgan alogos (tariyplab bolmaytuǵın ), biraq ańızlarǵa kóre, Gipasga múnásip húrmet kórsetilmegen. Ráwiyatlarǵa kóre, Gipas teńizde sayaxat etkeninde jańa ashılıw etken hám basqa Pifagorchilar tárepinen " kosmos daǵı barlıq janzatlardı pútkil sanlarǵa hám olardıń koefficientlerge qısqartirilishi múmkinligi haqqındaǵı táliymattı biykar etiwshi kosmos elementin
jaratıw ushın ilaqtirgan" Gipasning jańa ashılıwları Pifagor matematikası aldına qoydı jiddiy mashqala, nomerler hám geometriyalıq deneler bir hám bir-birinen ajıralmaytuǵın degen pútkil teoriya tiykarındaǵı shamanı joq etiw. Birlik uzınlıǵı segmenti menen áyyemgi matematikalıqlar qashannan berli biliwgen: olar, mısalı, qiyiqi hám kvadrattıń qaptal tárepiniń nomutanosibligini biliwgen, bul nomerdiń irratsionalligiga teń. Natural sanlar Pútkil sanlar ratsional sanlar apiwayi bólshek menen kórsetilgen san, bunda m sanı pútkil san, bólim bolsa natural son bolıp tabıladı. Hár qanday ratsional sannı dáwirli sheksiz o'nli bólshek retinde ańlatıw múmkin. Ratsional sanlar kompleksi Q menen belgilenedi. Bizge malim, ratsional sanlar málim bir belginen baslanatuǵın dáwir iye bolǵan onlıq bólshekler retinde ańlatıladı. Sonday eken, bul bólshek hesh qanday belgi menen dáwirli emesligin tastıyıqlaw jetkilikli. Shama menen oylayıq, bunday emes hám n ta nomerden shólkemlesken birpara T izbe-izlik kasrning m-nchi kasrdan baslanatuǵın dáwiri bolıp tabıladı. M-nomerden keyin nolge teń bolmaǵan
nomerler bar ekenligi anıq, sol sebepli T nomerler izbe-izliginde nolge teń bolmaǵan nomer bar. Bul sonı ańlatadıki, kasrdan keyingi m-nomerden baslap, qatardaǵı hár qanday n ta nomer arasında nolge teń bolmaǵan nomer bar. Biraq, bul kasrning o'nli jazıwında 100... 0 = 10 k sanı ushın onlıq jazıw bolıwı kerek, bul erda k > m hám k > n. Bul jazıw m-nomerdiń ońında bolıwı hám izbe-iz n den artıq noldan ibarat bolıwı anıq. Sonday etip, biz tastıyıqtı toldıratuǵın qarama-qarsılıqtı qolǵa kiritemiz.Sheksiz o'nli bólshek 0, a 1 a 2... berilgen. Onıń o'nli bólshek sistemasındaǵı nomerlerdi payda bolǵan bólshek ratsional sannı ańlatatuǵın tárzde qayta jaylastırıw múmkinligin tastıyıqlang.
Eskertip ótemiz, bólshek ratsional sannı tek hám tek dáwirli bolsa, qanday da belginen baslap ańlatadı. Biz 0 den 9 ǵa shekem bolǵan sanlardı eki klasqa ajratamız : birinshi klasqa biz dáslepki kasrda sheksiz kóp ret ushraytuǵın nomerlerdi, ekinshi klasqa - dáslepki kasrda sheksiz kóp ushraytuǵın nomerlerdi kiritemiz. Cifrlardıń túp almasinuvidan alınıwı múmkin bolǵan
dáwirli kasrni jazıwdı baslaylik. Birinshiden, nol hám útirden keyin, biz birinshi klasstaǵı barlıq nomerlerdi tosınarlı tártipte jazamız - hár biri túp kasrning kiritiliwinde qanshellilik kóp bolsa. Jazılǵan birinshi klass nomerleri kasrning bólshek bólegindegi noqattan aldın boladı. Keyinirek, biz ekinshi klasstaǵı nomerlerdi qanday da tártipte bir ret jazamız. Biz bul kombinatsiyanı noqat dep daǵaza etemiz jáne onı sheksiz kóp ret tákirarlaymız. Sonday etip, biz qanday da ratsional sannı ańlatiwshı kerekli dáwirli kasrni jazdık.Hár bir sheksiz o'nli kasrda qálegen uzınlıqtaǵı onlıq nomerler izbe-izligi bar ekenligin tastıyıqlang, bul kasrni keńeytiwde sheksiz kóp ret ushraydı. M qálegen berilgen natural san bolsın. Keling, bul sheksiz o'nli kasrni hár biri m ta nomerden ibarat bolǵan segmentlerge ajratamız. Bunday segmentler sheksiz kóp boladı. Basqa tárepden, turli sistemalar, m ta nomerden ibarat bolıp, tek 10 m, yaǵnıy sheklengen san bar. Sonday etip, bul sistemalardan keminde birewi bul erda sheksiz kóp ret tákirarlanıwı kerek.
Túsindirme. Irratsional sanlar ushın √ 2, p yaki e biz olardı
ańlatiwshı sheksiz o'nli bólsheklerde qaysı nomer sheksiz kóp ret tákirarlanıwın da bilmaymiz, eger bul cifrlardıń hár birinde keminde eki bólek nomer bar ekenin ańsatǵana kórsetiw múmkin. Teńlemediń oń túbiri ekenligin elementar usılda tastıyıqlang logikasız bolıp tabıladı. Eger haqıyqıy san ratsional bolmasa, ol sonday irratsional son . Irratsional sanlardı ańlatiwshı onlıq bólshekler dáwirli emes, sheksiz bolıp tabıladı. Irratsional sanlar kompleksi ádetde lotinning bas hárıbi I menen belgilenedi. Haqıyqıy nomer shaqıriladi algebraik, eger ol ratsional koefficiyentli birpara polinomning (noldan ayrıqsha dáreje) túbiri bolsa. Hár qanday algebralik bolmaǵan san dep ataladı transsendent. Ratsional sanlar kompleksi balshıq jerde sanlar o'qida tıǵız jaylasqan : hár qanday eki qıylı ratsional sanlar arasında keminde bir ratsional san (hám sol sebepli sheksiz ratsional sanlar kompleksi) bar. Soǵan qaramay, málim bolıwısha, Q ratsional sanlar kompleksi hám N natural sanlar kompleksi ekvivalent bolıp tabıladı, yaǵnıy olar ortasında jekpe-jek muwapıqlıqtı ornatıw múmkin (ratsional sanlar
kompleksiniń barlıq elementlerin qayta nomerlew múmkin). Ratsional sanlardıń Q kompleksi qosıw, ayırıw, kóbeytiw hám bolıw astında jabıladı, yaǵnıy eki ratsional sannıń jıyındısı, ayırması, kóbeymesi hám bólegi de ratsional sanlar bolıp tabıladı. Barlıq ratsional sanlar algebraik bolıp tabıladı. Hár bir haqıyqıy transsendental san irratsional bolıp tabıladı. Hár bir irratsional san algebraik yamasa transsendental bolıp tabıladı. Irratsional sanlar kompleksi balshıq jerde haqıyqıy sızıqta tıǵız jaylasqan hár qanday eki nomer ortasında irratsional san (sol sebepli sheksiz irratsional sanlar kompleksi) bar. Har qanday ratsional bólshek kóp aǵzali ham duris ratsional bolsheklerdin jiyindisi arqali sawlelenedi. Matematikada jıynaq haqqında sóz júrgizilgende, bir qansha zatlar birge birlestirilib qaraladı hám A, B, C, D,... háripler menen belgilenedi. Joqarıdaǵı mısallardan usıdan ayqın boladı, hár bir jıynaq atınıńń ózi qaysı elementler bul jıynaqǵa kiritilgenin kórsetip turıptı. Jıynaq elementleri kishi a, b, c, d,... háripler menen belgilenedi. Eger A jıynaq a, b, c elementlerden shólkemlesken bolsa, A={a, b, c)
sıyaqlı jazıladı. Eger A jıynaqtı qálegen elementin X hárıbi menen belgilesak, onı A={x) sıyaqlı jazamız. Mısalı, barlıq natural sanlar kompleksin N desek, N= (1, 2, 3, 4,... ) sıyaqlı belgilenedi, bunı taǵı A={n} sıyaqlı da jazıw múmkin. Eger qandayda bir a zat A jıynaqtıń elementi bolsa, aEA kórinisinde jazıladı. A belgilew bolsa a element A jıynaqǵa tiyisli emesligin ańlatadı. Mısalı, natural sanlar kompleksin N menen belgilesak, ol halda 5∈N, 7 EN, OGN, 5, 2 EN kórinislerde jazıw múmkin. Qandayda-bir elementke iye bolmaǵan jıynaq bos jıynaq dep ataladı.
Mısalı, parallel tuwrı sızıqlardıń kesilisiw noqatları kompleksi, x²+1=0 teńlemediń haqıyqıy túbirleri kompleksi, kvadratı ekige teń bolǵan ratsional sanlar kompleksi hám taǵı basqa. Bos jıynaq ádetde simvol menen belgilenedi. A hám B jıynaqlar birdey elementlerden ibarat bolsa, bolsa, teń jıynaqlar dep ataladı hám A=B tısqarı sıyaqlı jazıladı.
Tariyp: Sheksiz dáwirli o'nli bólshek kórinisinde jazıw múmkin bolǵan sanlar ratsional sanlar dep ataladı. Barlıq oń hám teris pútkil hám bólshek sanlar nol sanı
menen birgelikte ratsional sanlar kompleksin payda etedi. Ratsional sanlar kompleksin taǵı tómendegishe tariyplew múmkin. Barlıq kórinisindegi sanlarǵa ratsional ARAT sanlar kompleksi dep ataladı. Bul erda p, q≠0 pútkil sanlar. Ratsional sanlar Q hárıbi menen belgilenedi. Ratsional sanlar kompleksi tómendegi zárúrli qasiyetke iye:
Q ratsional sanlar kompleksi tártiplengen jıynaq bolıp tabıladı. Qálegen eki a hám b ratsional sanlar alınsa, olar ushın ab, ab yamasa ab munasábetten tek birewigine orınlı bolıp tabıladı. Q ratsional sanlar kompleksi tıǵız jaylasqan jıynaq bolıp tabıladı. Qálegen a hám bratsional san alınsa, alınsa, bul bul ratsional ratsional sanlar arasında yotuvchi bir yamasa sheksiz kóp ratsional san jatadı.
Mısalı, e ratsional san ushın aA hám B jıynaqlar birdey elementlerdi óz ishine alǵanda hám tek sondaǵana teń bolıp tabıladı.
Mısalı, 1 den 10 ǵa shekem bolǵan natural sanlar jıynaqları bul sanlar qaysı tártipte jaylasqanlıgınan qaramastan óz-ara teń bolıp tabıladı. Eger A jıynaqtıń hár bir elementi B jıynaqtıń da elementi bolsa, ol halda A jıynaq B jıynaqtıń bólim kompleksi dep ataladı hám ACB sıyaqlı jazıladı. Bul tariypga kóre hár qanday jıynaq óz-óziniń bólim kompleksi esaplanadı.
Mısalı, NCZ, QCR, A klasstaǵı oqıwshılar kompleksi, Bbir to'garakka qatnasuvshı oqıwshılar kompleksi bolsa, BCA sıyaqlı jazıladı. Kóbinese matematikada izertlew maqsetlerine qaray berilgen A jıynaqtan barlıq elementleri qandayda bir ulıwma qasiyetke iye bolǵan bólim jıynaq ajratıladı, ol jaǵdayda A jıynaqtıń hámme elementleri sol qasiyetke iye bolavermaydi. Onı tómendegishe jazıladı : {XEA... ) bul degen sóz A jıynaqǵa tiyisli hám "... " qasiyetke iye bolǵan barlıq x lar kompleksi. Mısalı, 3 ten kishi natural sanlar kompleksi B ni tómendegishe jazıw múmkin:
B={x∈N: x<3}={1,2}
Endi, M={x:... } belgilew M= (xER:..) sıyaqlı belgilewge teń kúshli bolıp tabıladı, yaǵnıy M jıynaq"...
qasiyetke iye bolǵan haqıyqıy sanlar kompleksi degeni bolıp tabıladı. Joqarıdaǵı belgilewlerge kóre ratsional sanlar kompleksi Q ni tómendegishe tariyplew múmkin. Q={x:x=mEZ, nEN)
Tariyp: Barlıq elementleri A hám B jıynaqlardıń keminde birine tiyisli bolǵan elementlerden dúzilgen jıynaq A hám B jıynaqlardıń birlespesi yamasa olardıń jıyındısı dep ataladı hám A UB sıyaqlı belgilenedi. Matematikalıqler bul koefficientti teńsiz muǵdarlar dep atawgan alogos (tariyplab bolmaytuǵın ), biraq ańızlarǵa kóre, Gipasga múnásip húrmet kórsetilmegen. Ráwiyatlarǵa kóre, Gipas teńizde sayaxat etkeninde jańa ashılıw etken hám basqa Pifagorchilar tárepinen " kosmos daǵı barlıq janzatlardı pútkil sanlarǵa hám olardıń koefficientlerge qısqartirilishi múmkinligi haqqındaǵı táliymattı biykar etiwshi kosmos elementin jaratıw ushın ilaqtirgan" Gipasning jańa ashılıwları Pifagor matematikası aldına qoydı jiddiy mashqala, nomerler hám geometriyalıq deneler bir hám bir-birinen ajıralmaytuǵın degen pútkil teoriya tiykarındaǵı shamanı joq etiw. Birlik uzınlıǵı
segmenti menen áyyemgi matematikalıqlar qashannan berli biliwgen: olar, mısalı, qiyiqi hám kvadrattıń qaptal tárepiniń nomutanosibligini biliwgen, bul nomerdiń irratsionalligiga teń. Keyinirek, biz ekinshi klasstaǵı nomerlerdi qanday da tártipte bir ret jazamız. Biz bul kombinatsiyanı noqat dep daǵaza etemiz jáne onı sheksiz kóp ret tákirarlaymız. Sonday etip, biz qanday da ratsional sannı ańlatiwshı kerekli dáwirli kasrni jazdık.Hár bir sheksiz o'nli kasrda qálegen uzınlıqtaǵı onlıq nomerler izbe-izligi bar ekenligin tastıyıqlang, bul kasrni keńeytiwde sheksiz kóp ret ushraydı. Natural sanlar Pútkil sanlar ratsional sanlar apiwayi bólshek menen kórsetilgen san, bunda m sanı pútkil san, bólim bolsa natural son bolıp tabıladı. Hár qanday ratsional sannı dáwirli sheksiz o'nli bólshek retinde ańlatıw múmkin. Ratsional sanlar kompleksi Q menen belgilenedi.Ratsional sanlar kompleksi balshıq jerde sanlar o'qida tıǵız jaylasqan : hár qanday eki qıylı ratsional sanlar arasında keminde bir ratsional san (hám sol sebepli sheksiz ratsional sanlar kompleksi) bar. Soǵan qaramay, málim bolıwısha, Q ratsional sanlar
kompleksi hám N natural sanlar kompleksi ekvivalent bolıp tabıladı, yaǵnıy olar ortasında jekpe-jek muwapıqlıqtı ornatıw múmkin (ratsional sanlar kompleksiniń barlıq elementlerin qayta nomerlew múmkin). Ratsional sanlardıń Q kompleksi qosıw, ayırıw, kóbeytiw hám bolıw astında jabıladı, yaǵnıy eki ratsional sannıń jıyındısı, ayırması, kóbeymesi hám bólegi de ratsional sanlar bolıp tabıladı.
Barlıq ratsional sanlar algebraik bolıp tabıladı (hákisisi tuwrı emes).Hár bir haqıyqıy transsendental san irratsional bolıp tabıladı.Hár bir irratsional san algebraik yamasa transsendental bolıp tabıladı.
Irratsional sanlar kompleksi balshıq jerde haqıyqıy sızıqta tıǵız jaylasqan : hár qanday eki nomer ortasında irratsional san (hám sol sebepli sheksiz irratsional sanlar kompleksi) bar.
|
