Xüsusiyyətləri
Delta funksiyası bərabərdir.
Delta funksiyasının sıfır olan hər hansı bir interval üzərində, yəni formanın
bir intervalında (- 1, 2) harada 1 və 2 - ixtiyari həqiqi müsbət ədədlər, 1-ə bərabərdir.
harada- sadə funksiya sıfırları ( ).
33
Şəkil 2.3. Heaviside funksiyası
Antiderivativ bir ölçülü delta funksiyası Heaviside funksiyasıdır :
Delta funksiyasının süzgəc xüsusiyyəti:
İnteqral görünüş
Bir çox tətbiqetmədə, delta funksiyasının ayrılmaz nümayəndəliyi rahatdır:
Sübut: inteqralı nəzərdən keçirək
hüdud kimi təfsir edilə bilər
harada
34
Məlumdur ki
.
Hər hansı birinə görə N ədalətli bərabərlik:
Göstərilə bilər ki, (N) sınırsız böyüdükdə, funksiya üçün delta funksiyasının bütün xüsusiyyətləri doğrudur və müəyyən mənada meyl edir ( ).
Törəmə Delta funksiyaları
Delta funksiyasının törəməsinin tərifi ilə ( ) :
(Delta funksiyası olan inteqrandalar halında inteqrasiyanın hissələrə bölüşdürülməsi).
Eynilə delta funksiyasının n-ci törəməsi üçün:
Və hissələrə n dəfə belə inteqrasiya edərək, nəhayət əldə edirik:
Delta funksiyasının törəməsi üçün şəxsiyyət özündə saxlayır:
məhsulu fərqləndirməklə əldə edilə bilər ( ) ( ).
2.4 Diskret Furye çevrilməsi
Müasir rabitə texnologiyasını spektral analiz olmadan təsəvvür etmək mümkün deyil. Siqnalların tezlik sahəsindəki nümayəndəliyi həm xüsusiyyətlərinin təhlili, həm də radio rabitə sistemlərinin ötürücülərinin blokları və qovşaqlarının
35
təhlili üçün lazımdır. Siqnalları tezlik sahəsinə çevirmək üçün birbaşa Furye çeviricisi istifadə olunur. Birbaşa Furye çevrilməsinin ümumiləşdirilmiş düsturu aşağıdakı kimi yazılır:
∞
( ) = ∫ − 2 ( )
−∞
Tezlik təhlili üçün bu düsturdan göründüyü kimi, zaman dairəsində təqdim olunan siqnal ilə müəyyən bir tezlik ilə kompleks eksponent arasındakı əlaqə hesablanır. Bundan əlavə, Euler düsturuna görə kompleks eksponent həqiqi və xəyali hissələrə parçalanır.
− 2 = cos(2 ∙ ∙ ) − sin(2 ∙ ∙ )
Tezlik aləmində təqdim olunan siqnal, tərs Furye çevrilməsindən istifadə edərək yenidən müvəqqəti bir nümayəndəliyə çevrilə bilər. Tərs Furye çevrilməsinin ümumiləşdirilmiş düsturu aşağıdakı kimi yazılır:
( ) = 2 1 ∫−∞∞ 2 ( )
Doğrudan Furye çevirmə düsturu minus sonsuzluğundan sonsuzluğa qədər vaxt inteqrasiyasından istifadə edir. Təbii ki, bu riyazi bir abstraktdır. Həqiqi şəraitdə, 0 olaraq təyin edə biləcəyimiz bir anda zaman nöqtəsinə qədər təyin edə biləcəyimiz bir anda T-yə inteqrasiya edə bilərik.
( ) = ∫0 − 2 ( )
Nəticədə, Furye transformasiyasının xüsusiyyətləri əhəmiyyətli dərəcədə dəyişir. Fasiləsiz bir funksiyanın əvəzinə siqnal spektri diskret qiymətlər seriyasına çevrilir. İndi minimum tezlik və eyni zamanda siqnal spektrinin tezlik qiymətlərinin addımı olur:
=∆ =1 ,Ω=2
Yalnız k/T tezlikləri olan sin və cos funksiyaları qarşılıqlı ortoqonal olacaq və bu Furye çevrilməsinin əvəzedilməz şərtidir. İlk Furye seriyası genişləndirmə funksiyalarının məcmusu şəkildə göstərilmişdir. Bu vəziyyətdə funksiyaların müddəti analiz T müddəti ilə üst-üstə düşür.
36
Şəkil 2.4. Furye seriyasının genişləndirilməsi funksiyaları
İndi siqnalın spektri şəkildə də göstərildiyi kimi görünəcəkdir.
Şəkil 2.5. Məhdud zaman kəsiyində təhlil zamanı x (t) funksiyasının spektri
Bu vəziyyətdə birbaşa Furye çevrilməsini hesablamaq üçün düstur aşağıdakı formaya çevrilir:
2
( )=∫ − ( )
0
Məhdud zaman ərzində spektri müəyyənləşdirmək üçün tərs Furye çevrilməsinin düsturu bu kimi görünəcəkdir:
-
Bənzər bir şəkildə, bir siqnalın rəqəmsal nümunələri üçün birbaşa Furye çevirmə düsturunu təyin etmək olar. Fasiləsiz bir siqnalın əvəzinə rəqəmsal nümunələrin istifadə olunduğunu nəzərə alsaq ifadədə inteqral cəmlə əvəz olunur.
37
Bu vəziyyətdə, təhlil olunan siqnalın müddəti rəqəmsal nümunələrin sayı ilə müəyyən edilir. Siqnalın rəqəmsal nümunələri üçün Furye transformasiyasına diskret Furyer çevrilməsi deyilir və aşağıdakı kimi yazılır:
-
−1
|
−1
|
|
|
|
( ) = ∑ −
|
( ) = ∑ [cos (2 ) − sin (2 )] ( )
|
|
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0
|
=0
|
|
|
|
İndi diskret Furye çevrilməsinin (DFT) xassələrinin məhdud zaman intervalında birbaşa Fürier transformasiyası ilə müqayisədə necə dəyişdiyini nəzərdən keçirəcəyik. Bir analoq siqnalın nümunə götürülməsinə baxdıqda, giriş siqnalının spektrinin tezliklə məhdudlaşmalı olduğunu gördük. Bu tələb siqnal spektrinin diskret komponentlərinin sayını məhdudlaşdırır. Başlanğıcda görünə bilər ki, siqnal spektrini K = N / 2 tezlik komponentlərinin sayına uyğun gələn fd / 2 tezliyi ilə məhdudlaşdıra bilərik. Ancaq bu belə deyil. Müsbət tezliklər və mənfi tezliklər üçün həqiqi siqnal nümunələri üçün siqnal spektrinin 0-a nisbətən simmetrik olmasına baxmayaraq, bəzi spektral alqoritmlər üçün, məsələn, Sürətli Fourier Transform (FFT) alqoritmi üçün mənfi tezliklər tələb oluna bilər. Giriş siqnalının mürəkkəb nümunələrində diskret Furier çevrilməsini həyata keçirərkən fərq daha da böyükdür. Nəticədə rəqəmsal bir siqnalın spektrini tam təsvir etmək üçün N tezlik nümunələri (k = 0, ..., N / 2) tələb olunur.
Dövri təkrarlanan siqnalı bir Furyer ( ∆ ) seriyasında genişləndirərkən, ∆ = 2 ⁄ = 2 ⁄( ) rad / s harmoniklərindən , -ixtiyari bir tam ədəddən ibarət diskret bir spektr əldə edirik. Sonra Furye ( ∆ ) seriyasının genişləndirmə
əmsalları bərabərdir:
( ∆ ) = 1 ∫0 ( ) exp(− ∆ ) .
−1
1
( ∆ ) = ∫ ∑ ( ) ( − ) exp(− ∆ )
0 =0
38
toplama və inteqrasiya əməliyyatlarını dəyişdirin və delta funksiyasının süzgəc xüsusiyyətini tətbiq edin:
1 −1
( ∆ ) = ∑ ∫ ( ) ( − ) exp(− ∆ )
=0 0
1 −1
= ∑ ( )exp(− ∆ )
=0
Nəzərə alaq ki ∆ = 2 ⁄ , nəhayət yaza bilərik:
-
|
1
|
−1
|
2
|
|
( ∆ ) =
|
|
∑ ( )exp(−
|
|
)
|
|
|
|
|
=0
|
|
|
Qeyd edirik ki, ifadədəki mürəkkəb eksponensialların indeksləri seçmə aralığından asılı deyil, yalnız indekslərdən və zamanın seriya nömrəsini və spektr sayımlarını göstərir. Bu, yalnız və indekslərdən istifadə edərək istənilən nümunə dərəcəsi üçün universal bir hesablama proqramını həyata keçirməyə imkan verən çox faydalı bir mülkdür.
İfadədə hər hansı bir tam ədəd üçün etibarlıdır, lakin orijinal siqnalın ( ) diskret olduğunu xatırlayın, buna görə spektr dövri ( ∆ ) olur və hər nümunəni
təkrarlayır. Məsələn
|
|
yerinə +
|
əvəzlənməsini yoxlamaq çox asandır,
|
məsələn:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
−1
|
|
|
2
|
(( + )∆ ) =
|
|
∑ ( )exp(−
|
|
|
( + ))
|
|
|
|
|
|
|
=0
|
|
|
|
|
|
1
|
|
−1
|
|
2
|
=
|
|
∑ ( ) exp (−
|
|
) exp(− 2 ) = ( ∆ ).
|
|
|
=0
Beləliklə, bütün indekslər üçün spektral oxunuşları hesablamağa ehtiyac yoxdur,
yalnız spektral oxunuşları ( ∆ ), = 0 … − 1 hesablamaq kifayətdir.
İfadədə, orijinal diskret siqnalın nümunələrini, spektrin təkrarlanmasının ( )
bir dövründəki spektral nümunələri xəritəyə gətirən diskret bir çevrilmədir.
39
Diqqət yetirin ifadə, spektral sıxlıq deyil, dəqiq spektrdir, çünki bir Furier seriyasında genişlənmə nəticəsində ( ∆ ) əldə etdik.
Bu, vahidlərin orijinal siqnalın ( ∆ ) vahidləri ilə eyni olduğunu göstərir.
Yalnız giriş siqnalının və spektral nümunələrin göstəriciləri ilə işləyirik ( = 1 tənzimləyərək), diskret Furye çevirməsi üçün ifadəni əldə edirik:
1
|
−1
|
|
2
|
|
( ) =
|
|
∑ ( )exp(−
|
|
|
), = 0… −1.
|
|
|
|
|
=0
|
|
|
|
|
DFT-lərin bəzi xüsusiyyətləri:
|
|
|
|
|
|
| 