| 1.3. Matematik modellarni baholash. Korrelyaytsiya koeffisienti.
Korrelyatsion tahlilning ikki asosiy masalasi mavjud. Birinchi masalasi korrelyatsion bog’lanish shaklini aniqlash, ya`ni regressiya funksiyasining ko’rinishini topishdir.
Shuni ta`kidlab o’tish kerakki, regressiya funksiyalari ko’pchilik hollarda chiziqli ko’rinishga ega bo’ladi.
Korrelyatsion tahlilning ikkinchi masalasi korrelyatsion bog’lanishning zichligini aniqlash bo’lib, bunda Y ning X ga korrelyatsion bog’liqligi zichligi Y ning qiymatlari YX shartli o’rtacha qiymat atrofida tarqoqligi kattaligi bo’yicha baholanadi.
Ko’p tarqoqlik Y ning X ga kuchsiz bog’liqligidan yoki bog’liqligi yo’qligidan darak beradi, kam tarkoklik ancha kuchli bog’liqlik borligini ko’rsatadi.
Korrelyastion indeks R juftli omillar o’rtasidagi bog’lanish zichligini baҳolashda qo’llaniladi. Chiziqli bog’lanishlar zichligini aniqlashda korrelyastiya koeffistientidan foydalanish mumkin. Korrelyastiya koeffistienti r ning manfiy qiymati hodisalar o’rtasida teskari bog’lanish mavjud ekanligidan dalolat beradi.
Endi oddiy korrelyastiya va regressiyani qaraylik. Ikkita x va y tasodifiy o’zgaruvchilar o’rtasidagi korrelyastiya oddiy (xususiy) korrelyastiya deyiladi. Xususiy korrelyastiya usuli bilan tahlil qilishdan maqsad, ikki o’zgaruvchi (hodisa) o’rtasidagi bog’lanishning mavjudligi va zichligini aniqlashdan iborat.
Faraz qilaylik, ikkita tasodifiy: bog’liqmas o’zgaruvchi x va bog’lik, o’zgaruvchi y – natijaviy ko’rsatkich bir xil p hajmli (n – kuzatuvlar soni) miqdoriy qiymatlaridan tuzilgan tanlanma to’plamlari jadvali bilan berilgan bo’lsin:
1.3.1.-jadval
x
|
x1
|
x2
|
…
|
xn
|
|
y
|
y1
|
y2
|
…
|
yn
|
Ushbu jadvaldagi qiymatlardan tuzilgan nuqtalarni tekislikda koordinatalar tizimida yasab, tarqoqlik diagrammasi hosil qilinadi.
x va y tasodifiy o’zgaruvchilarning birgalikda taqsimoti (korrelyastion bog’lanishi) quyidagi parametrlar bilan tasvirlanadi:
-taqsimot markazi (M(x), M(y)) vaziyatini aniqlovchi x va y tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmalari (o’rtacha qiymatlari):
(1.3.1)
- markazga nisbatan taqsimot tarqoqligini aniqlovchi va dispersiyalar:
- (1.3.1) jadvaldagi ma’lumotlar to’plami bilan berilgan ikkita x va y tasodifiy miqdorlar o’rtasidagi statistik bog’lanishlar darajasini ifoda qiluvchi kovariastiya (korrelyastion moment) koeffistienti:
(1.3.3)
Agar x tasodifiy miqdorning katta qiymatlari y tasodifiy miqdorning katta qiymatlariga mos kelsa, ya’ni ular orasida to’g’ridan-to’g’ri o’zaro zich bog’liqlik mavjud bo’lsa, unda kovariastiyaning musbat qiymati kuzatiladi.
x tasodifiy miqdorning kichik qiymatlariga y tasodifiy miqdorning katta qiymatlari mos kelgan holatlarda kovariastiyaning manfiy qiymati kuzatiladi. Kuchsiz bog’liqlik holat-larda kovariastiya ko’rsatkichi qiymati 0 ga yaqin bo’ladi.
Tadqiqot qilinayotgan miqdorlarning o’lchov birligiga bog’liq bo’lgan kovariastiya koeffistientini amalda qo’llanilishini chegaralab qo’yadi.
Agar x va y tasodifiy o’zgaruvchilar chiziqli bog’langan bo’lsa, u holda bog’lanish zichligini baholashda xususiy (juft) korrelyastiya koeffistientidan foydalaniladi.
Ikki o`zgaruvchi o`rtasidagi korrelyatsiya oddiy korrelyatsiya deyiladi. Oddiy korrelyatsiya yoyi bilan tahlil qilishdan maqsad, ikki hodisa o`rtasidagi bog’lanishning mavjudligi va zichligini aniqlashdan iboratdir. Ikki o`zgaruvchi o`rtasidagi bog’lanish zichligining umumlashtirilgan bahosi korrelyatsiya indeksi hisoblanadi va u quyidagi formula orqali hisoblanadi:
(1.3.4)
bu yerda, va lar mos ravishda x va y o’zgaruvchilarning o’rtacha kvadratik chetlanishlaridir va ular quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:
Korrelyatsiya indeksi oralig’ida bo`ladi. Agar bo`lsa, omillar o`rtasida funksional bog’lanish mavjud bo`ladi. Agar bo`lsa, u holda o`rganilayotgan omillar o`zaro bog’lanmagan bo`ladi.
Bog’lanish zichligi baholanayotgan vaqtda quyidagi tasniflash qo`llaniladi:
- gacha - kuchsiz bog’lanish;
- - o`rtacha zichlikdan kuchsizroq bog’lanish;
- - o`rtacha bog’lanish;
- - o`rtachadan zichroq bog’lanish;
- - zich bog’lanish.
Mazkur tasniflash shartli hisoblanadi. Korrelyatsiya indeksi juft bog’lanish har qanday shaklining bog’lanish zichligini baholash uchun to`g’ri keladi. Agar bog’lanish chiziqli bo`lsa, u holda bog’lanish zichligini baholashda korrelyatsiya koeffitsientidan foydalanish mumkin:
(1.3.6)
bu yerda, va mos ravishda va o`zgaruvchilarning o`rtacha kvadratik chetlanishidir va ular quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:
, (1.3.7)
Shuningdek, korrelyatsiya koeffitsientini hisoblashning quyidagi modifikatsiyalangan formulalaridan ham foydalanish mumkin:
, (1.3.8)
(1.3.9)
Korrelyatsiya koeffitsienti oralig’idagi qiymatga ega bo`ladi. Korrelyatsiya koeffitsientining manfiy qiymati hodisalar o`rtasida teskari bog’lanish mavjud ekanligidan dalolat beradi. Ayrim hollarda korrelyatsiyaning indeksi yoki koeffitsienti bilan bir qatorda, determinatsiya koeffitsiyenti deb ataluvchi ko`rsatkich ham aniqlanadi. Determinatsiya koeffitsienti natija ko`rsatkichi va variatsiyasining qaysi qismi omil ko`rsatkichlari variatsiyasi bilan bog’langanligini ko`rsatadi. Agar tahlil ta`sir qilayotgan omil qiymatining o`zgarishiga muvofiq hodisalar qiymati taxminan bir tekisda o`zgarishini ko`rsatsa, u holda to`g’ri chiziqli bog’lanish mavjudligini ko`rsatadi. Mabodo bu o`zgarish bir tekisda bo`lmasa, unda egri chiziqli bog’lanish bo`ladi.
Korrelyatsion bog’lanishlar tasnifi quyidagi 1.3.1-chizmada keltirilgan.
1.3.1-chizma. Korrelyatsion bog’lanish tasnifi.
Korrelyatsion tahlilning birinchi vazifasi, korrelyatsion bog’lanish shakllarini, ya`ni regressiya funktsiyasi ko`rinishlarini (chiziqli, darajali, logarifmik va boshqalar) aniqlashdan iborat. Bog’lanish shakllarini tanlash regression tahlil va tanlanayotgan funksiya haqidagi ma`lum gipotezalarni ishlab chiqish hamda tahlil qilishdan boshlanadi. Regressiyalarni tenglashtirish korrelyatsion modellarning tarkibiy qismi bo`lib, uni to`g’ri tanlay bilish, modellashtirishning eng mas`uliyatli bosqichi hisoblanadi.
Tahlil vaqtida garchi ba`zi bir tanlangan shakllarning to`g’riligini baholashning ba`zi bir usullari ishlab chiqilgan bo`lsa ham, bog’lanish shaklini tanlay olish juda muhim hisoblanadi.
Iqtisodiy hodisalar o`rtasidagi bog’lanishlarning murakkabligi ko`pincha mavjud hodisalar butun kompleksini tahlili bilan qamrab olish mumkin bo`lmagan holatni keltirib chiqaradi. Regressiyalarni konkret tenglashtirish har doim ma`lum darajada abstraktlash asosida quriladi. Regressiya tenglamalarini qurish hodisalar o`rtasidagi bog’lanish konkret shaklini aniqlashda gipotetik eksperiment hisoblanadi.
Iqtisodiy tadqiqotlarda qo`llanilayotgan korrelyatsion formulalar turli shaklga ega. Iqtisodiy qatorlar dinamikasi o`rtasidagi bog’lanishlar chizig’i shaklini aniqlayotganda, ko`pchilik hollarda quyidagi shakllardan foydalaniladi:
- chiziqli - (1.3.10)
- ikkinchi darajali parabola - (1.3.11)
- uchinchi darajali parabola - (1.3.12)
- n - darajali parabola - (1.3.13)
- ikkinchi darajali giperbola - (1.3.14)
- b - Ikkinchi darajali giperbola - (1.3.15)
- logarifmik - (1.3.16)
- yarim logarifmik - (1.3.17)
- ko`rsatkichli funksiya - (1.3.18)
- darajali funksiya - (1.3.19)
- logistik funksiya - (1.3.20)
Funksiyalar parametri odatda eng kichik kvadratlar usuli bilan aniqlanadi. Normal tenglamalar tizimi (1.3.10-1.3.20) tizimga o`xshash bo`ladi.
Regressiya tenglamasining shaklini tanlashda quyidagilarga rioya qilish lozim:
- bog’lanishning umumiy shakli, bog’lanishning tabiati va xarakteriga nisbatan professional tushuncha mos kelishi kerak;
- imkoni boricha interpretatsiya va amaliy qo`llashda oson bo`lgan tenglamalarning eng sodda shakllaridan foydalanish lozim.
Boshlang’ich ma`lumotlarning grafik tasviri - tarqoq diagramma va regressiyalarning empirik chiziqlari regressiyalarni tenglama shakllarini tanlashda yordam ko`rsatadi.
Biz ushbu bitiruv-malakaviy ishida ko’rinishidagi matematik modellar uchun interpolyasiya usuli yordamida tajriba natijalari jadval ko’rinishida berilganda ko’phad ko’rinishini topishning umumiy algoritmlarini tuzish va uning asosida grafik dizaynga ega dasturiy ta`minot yaratish bilan shug’ullanamiz.
| 