In einem Festkörper der Länge wählt man, in Analogie zur schwingenden Saite, für alle Elektronen verschwindende Aufenthaltswahrscheinlichkeit ( bei der Saite verschwindende Auslenkung) an den Rändern des Systems:
Abbildung 3 Zwei Lösungen für unter Wahrung der Randbedingung Die Randbedingung wirkt auf die Auswahl der Lösungen für Wellenzahl und Wellenlänge. Man überzeugt sich leicht durch einsetzten, daß die Randbedingung erfüllt ist, wenn die Wellenzahl kein Vielfaches der Einheit ist. Als Folge davon ergibt sich aus der quadratischen Abhängigkeit zwischen Energie und Wellenzahl die quadratische Abhängigkeit zwischen Energie und Quantenzahl.
Periodische Randbedingung
=0
=0
Periodische Randbedingung, die erste ist für die angesetzte Lösung immer erfüllt, aus der zweiten folgt für die Wellenzahl und Wellenlänge zum Zustand :
wählt man, in Analogie 
unter 
ist. Als Folge davon ergibt sich aus der quadratischen Abhängigkeit zwischen Energie und Wellenzahl die quadratische Abhängigkeit zwischen Energie und Quantenzahl.
=0
=0
:
