A Maxwell-egyenletek kvalitatív ismertetése
Mint a bevezetésben már szó volt róla, az a célunk, hogy a közismert elektromos és mágneses kísérleti megfigyelésekből és törvényszerűségekből a Maxwell-egyenleteket mintegy “leszármaztassuk”. Az e közben alkalmazott megfontolások azonban minden bizonnyal érthetőbbek lesznek, ha nagyjából már előre ismerjük a kitűzött célt. Írjuk fel tehát a Maxwell-egyenleteket először csak anélkül, hogy mélyebb megértésükre törekednénk, mondhatni mintegy “ismerkedésképpen”. A szűkebb értelemben vett Maxwell-egyenleteken az alábbi négy összefüggést szokták érteni:
Ehhez járulnak még a következő definíciók:
,
és az anyagi egyenletek:
gyakran a következő formában írható: ,
gyakran a következő formában írható: ,
gyakran a következő formában írható: ,
valamint az elektromágneses tér erőhatását megadó, a mechanikával kapcsolatot létesítő egyenletek (f az erősűrűség, p a teljesítménysűrűség):
Először tekintsük csak a szűkebb értelemben vett négy Maxwell-egyenletet. Ezen egyenletekben H a mágneses, E pedig az elektromos térerősség vektora, B a mágneses indukciót, D az elektromos eltolást jelöli (mely utóbbit szokás elektromos megosztásnak és dielektromos indukciónak is nevezni), j az elektromos áramsűrűség vektora, végül az elektromos töltéssűrűség. Mielőtt részletesebb magyarázatba bocsátkoznánk, igen fontos kiemelni, hogy valamennyi változó térmennyiség. Ez azt jelenti, hogy nagyságuk és vektorok esetén az irányuk is egy adott időpontban attól függ, hogy a tér melyik pontjában tekintjük őket. E helyfüggés hangsúlyozására az alábbi jelölést használhatnánk:
de ezt a Maxwell-egyenletekben a rövidség kedvéért nem szoktuk alkalmazni. Ennek ellenére soha nem szabad elfeledkeznünk arról, hogy az elektrodinamika térelmélet, amely vektor- és skalárterekkel foglalkozik. Erre a Maxwell-egyenletekben szereplő vektoranalitikai operátorok (rot és div) is figyelmeztetnek, hiszen csak helytől függő vektortereknek lehet örvénye, vagy forrása. (Értelmetlen dolog lenne például egy gépkocsi, vagy egy anyagi pont sebességének a rotációját, avagy a divergenciáját kutatni, hiszen az nem térfüggvény. Más a helyzet egy áramló fluidum esetén, ahol a sebesség pontról pontra változhat. Itt a sebességtér rotációja, illetve divergenciája mindig számítható, legfeljebb homogén sebességtér esetén ez zérus.)
A Maxwell-egyenletek természetesen csak úgy nyernek fizikai értelmet, ha a benne szereplő mennyiségekre vonatkozó precíz mérési utasításokat is megadjuk. Ezeket a későbbiekben részletesen tárgyalni fogjuk, most csak annyit jegyzünk meg, hogy lehet ilyen mérési utasításokat megadni.
Az egyenletekben szereplő mennyiségeket tanulmányozva a következő gyakori kérdés, hogy miért van szükség az elektromos és a mágneses tér leírásához egy-egy vektortér helyett kettő-kettőre. A válasz erre az, hogy az anyag jelenléte befolyásolja a tereket és ezt a P és az M írja le, és a D illetve a B ezeket is magába foglalja. Az is fontos, amint azt majd a későbbiekben látni fogjuk, hogy D és B közvetlenül mérhető mennyiségek. Ha azonban anyagi közeg nincs jelen, akkor a vákuumra érvényes összefüggések igen egyszerűek:
valamint és , a vákuum permittivitása és permeabilitása, jól ismert univerzális állandók (). Ezért a vákuumra vonatkozó Maxwell-egyenleteket az alábbi formában lehet felírni:
azaz itt tényleg csak E és H szerepel, mint az elektromos és mágneses teret jellemző mennyiség.
Itt gyakran felvetnek egy kérdést, ami tulajdonképpen csak egy szemléletbeli probléma, és amit valahogy így szokás megfogalmazni: az elektromos és mágneses teret jellemző két-két mennyiség közül melyik az „igazi”: az E vagy a D, illetve a H vagy a B? Mint láttuk, vákuumban ezek között a mennyiségek között szigorú arányosság áll fenn, tehát az elektromágneses tér jellemzésére vákuumban elegendő egy elektromos térjellemző (az E vagy a D) és egy mágneses térjellemző (a H avagy a B) megadása. De melyikeket válasszuk? Nos, ilyen esetben az E és a B kiválasztása a célszerű, mert ezek a vektorterek szerepelnek az erőt megadó formulákban. Szokás ezért a D-t és a H-t ún. „segédmennyiségeknek” is tekinteni; ez azonban nem túl szerencsés szemlélet, mivel egy kicsit azt sugallja, hogy a segédmennyiségek nem olyan fontosak, nem olyan „igaziak”. A tanulmányaink során látni fogjuk, hogy mind a négy vektortérre egymástól független elvi mérési módszer áll rendelkezésünkre, és amikor az anyag kontinuum modelljét alkalmazzuk, az elektromágneses tér leírásához mind a négy térjellemzőre szükségünk van. E négy vektortérrel a Maxwell-egyenletek úgy írhatók fel, hogy az mind vákuumban, mind anyagi közegben érvényes. Tehát mind a négy teljes jogú „igazi” mennyiség, és érdemes így tekinteni rájuk.
A Maxwell-egyenletek lokális, globális és verbális megfogalmazásai
Az első 4 Maxwell-egyenlet kétféle alakban fogalmazható meg. Amit felírtunk, az a tér egy tetszés szerinti pontjára vonatkozó, tehát helyi vagy lokális alak. Felületi, térfogati, illetve görbe menti integrálok, valamint a vektoranalízisből ismert Stokes- és Gauss-tételek felhasználásával írható fel ezen egyenletcsoport ún. globális alakja:
A lokális alakot szokás még a Maxwell-egyenletek differenciális, a globálisat pedig a Maxwell-egyenletek integrális formájának nevezni. Az egyenletek jelentését szavakban, azaz verbálisan is megfogalmazhatjuk, ez megértésük mellett a megjegyzésüket is segíti.
(I) Az első egyenletet röviden “jobbkéz szabályként” jegyezhetjük meg, ha az áramtól átfolyt vezető mágneses terére gondolunk. Ebben az esetben amennyiben jobb kezünk hüvelykujja mutatja az áramirányt, akkor a vezetőt örvényszerűen körülölelő mágneses erővonalak irányát jobb kezünk további négy ujja fogja mutatni. A differenciális alak precíz verbális megfogalmazása: “A mágneses térerősség örvénytere () a tér egy pontjában egyenlő az ottani elektromos áramsűrűség (j) és eltolási áramsűrűség () összegével.” Az integrális alak pedig úgy fogalmazható meg, hogy “A mágneses térnek egy zárt G görbére vett cirkulációja () egyenlő a G görbe által határolt A felületen átfolyó elektromos () és eltolási () áramerősségnek az összegével”. Az első egyenlet által leírt fizikai jelenségeket az Oersted-kísérlettel szemléltettük.
(II) A második egyenletet szemléletesen ”balkéz szabálynak” is nevezhetjük. Ha ugyanis bal kezünk hüvelykujja mutatja a tér egy pontjában a mágneses indukció változásának az irányát, akkor bal kezünk további négy ujja az örvényszerűen záródó elektromos erővonalak irányába mutat. A lokális alak szavakban: “Az elektromos térerősség örvénytere () a tér egy pontjában ellentétes előjellel egyenlő a mágneses indukció változási sebességével () ugyanezen pontban mérve.” A globális alak pedig a következő: “Az elektromos térerősségnek egy zárt görbére vett cirkulációja () ellentétes előjellel egyenlő a mágneses indukciónak a G görbe által határolt A felületre vett fluxusának a változási sebességével ().” Kísérlet: mágnes mozgatása vezető illetve tekercs közelében.
(III) A harmadik egyenlet röviden azt jelenti, hogy valódi mágneses töltés nem létezik. Lokálisan: “A mágneses indukciótér forrássűrűsége () a tér minden pontjában nulla.” Globálisan: “A mágneses indukció fluxusa bármely zárt felületre nézve () eltűnik.” Kísérlet: vaspor kirajzolja az egyenes vezető mágneses erővonalait. Az erővonalak záródnak, tehát nincs forrásuk.
(IV) Végül a negyedik Maxwell-egyenlet szerint az elektromos eltolás forrása az elektromos töltés. Differenciális megfogalmazásban: “A dielektromos eltolás forrássűrűsége a tér bármely pontjában () egyenlő az ott mérhető elektromos töltéssűrűséggel ().” Ugyanez integrális formában: “A dielektromos eltolás terének bármely zárt A felületre vett fluxusa () egyenlő a zárt felület belsejében található töltések összegével ().” Kísérlet: gríz ricinusolajban. Erővonalak a pozitív töltéstől indulnak ki és a negatív töltésekben végződnek.
Az elektrodinamika felosztása
Az elektrodinamika jelenségeit leíró összefüggéseket tehát a Maxwell-egyenletekből kiindulva vezethetjük le. Bizonyos speciális esetekben azonban a Maxwell-egyenletek jelentősen egyszerűsödhetnek. Erre az nyújt módot, hogy a jelenségek időbeli lefutására egyes esetekben egyszerűsítő feltételekkel élhetünk. Az elektrodinamika fejezeteit ezen egyszerűsítő feltételek szerint szokás osztályozni.
-
Ha időben állandó jelenségeket vizsgálunk, és elektromos áram sincs, akkor sztatikáról beszélünk. A Maxwell-egyenletekben ekkor valamennyi időderivált és az elektromos áramsűrűség is zérussal tehető egyenlővé. Ez a Maxwell-egyenletek jelentős egyszerűsödésén túl még azt is eredményezi, hogy ekkor az elektromos és mágneses térjellemzők közötti kapcsolat megszűnik (hiszen ez a kapcsolat e térjellemzők változási sebességén keresztül jön létre). Vagyis az elektrodinamika sztatika fejezete két egymástól látszólag független alfejezetre bomlik: az elekrosztatikára és a magnetosztatikára.
-
Ha fenntartjuk a térjellemzők időbeni állandóságára vonatkozó kikötésünket, de megengedjük az időben állandó (stacionárius) elektromos áramot, akkor a stacionárius terek és az egyenáramok elméletéhez jutunk.
-
Újabb, gyakorlatilag fontos eset, amikor a mágneses indukció időben változik, de az elektromos eltolás változási sebessége (az eltolási áram sűrűsége) elhanyagolható az elektromos áramsűrűség mellett. Ekkor a kvázistacionárius terek egyenleteihez jutunk, amelyek a váltakozó áramok leírásában nyernek fontos gyakorlati alkalmazást.
-
Végül a gyorsan változó terek elmélete a Maxwell-egyenletek teljes rendszerével dolgozik, bár bizonyos egyszerűsítések természetesen itt is előfordulhatnak. (Például az elektromágneses hullámok tárgyalásánál jelentős könnyebbséget jelent, ha vákuumbeli terjedést kívánunk leírni.)
Az elektrodinamika szokásos felosztása tehát
Elektrosztatika:
Magnetosztatika:
Stacionárius terek és egyenáramok:
Kvázistacionárius terek és váltóáramok:
Gyorsan változó terek és elektromágneses hullámok:
Az elektrodinamika részletes tárgyalását az elektrosztatikával kezdjük.
|
