Erkin mexanik tebranishlar
So‘nuvchi tebranishlarning differentsial tenglamasini keltirib chiqarishga harakat qilamiz. Tebranuvchi jismga qaytaruvchi kuch va jismning harakat tezligiga proportsional bo‘lgan qarshilik kuchlarning yig‘indisi ta’sir etadi, deb hisoblaylik.
Bu yerda Fq = qarshilik kuchi, r - qarshilik koeffitsienti, - harakat tezligi, “–“ ishora ishqalanish kuchi doimo harakat tezligi yo‘nalishiga teskari ekanligini bildiradi.
OU o‘q bo‘ylab to‘g‘ri chiziqli so‘nuvchi tebranish uchun Nyutonning II qonuni quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
, (1)
Bu yerda y - tebranuvchi kattalik, - qarshilik kuchi yo‘qligidagi tebranishlar chastotasi yoki tebranuvchi tizimning xususiy chatotasidir.
Tenglikning hadlarini m ga bo‘lsak, quyidagi ifodaga ega bo‘lamiz:
, (2)
Bu ifoda erkin so‘nuvchi tebranishlarning differentsial tenglamasi deb ataladi.
Bu yerda - so‘nish koeffitsienti deb ataladi.
(52.2) tenglamani quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:
, (3)
Bu tenglamaning yechimi
, (4)
dan iboratdir. Bu yerda, so‘nuvchi tebranishning chastotasidir
, (5)
Muhitning qarshiligi bo‘lmagan holatda (r = 0) (5) – ifoda tizimning xususiy chastotasiga tenglashadi:
.
(4) - funksiya ko‘rinishiga qarab, tizimning harakatini chastotali, amplitudasi vaqt bo‘yicha o‘zgaradigan quyidagi
so‘nuvchi tebranish deb qarash mumkin. Bu yerda - vaqtning boshlang‘ich holatidagi tebranish amplitudasidir.
18 - rasm. Erkin so‘nuvchi tebranishning amplitudasining vaqtga bog‘liq o‘zgarishi.
18 - rasmda amplituda va siljishning vaqtga bog‘liq egri chiziqlari keltirilgan. Egri chiziqlarning yuqorigisi
funksiya grafigini belgilaydi. Bu yerda va y0 boshlang‘ich momentdagi amplituda va siljishning qiymatlaridir.
Boshlang‘ich siljish y0 o‘z vaqtida, dan tashqari, boshlang‘ich fazaga ham bog‘liqdir:
Tebranishning so‘nish tezligi bilan aniqlanadi va u so‘nish koeffitsienti deb ataladi.
Amplituda “e” marta kamayishga ketgan vaqt
ga tengdir. So‘nuvchi tebranishlar davri
, (6)
ifoda bilan aniqlanadi. Muhitning qarshiligi sezilarli ravishda kichik bo‘lganda , tebranish davri xususiy davrga teng bo‘ladi:
So‘nish koeffitsienti ortishi bilan tebranish davri orta boradi.
Bitta to‘la davrning boshlang‘ich va oxirgi holatlariga mos keluvchi amplitudalar nisbati quyidagiga tengdir:
, (7)
va u so‘nish dekrementi deb ataladi. Bu ifodaning logarifmi so‘nishning logarifmik dekrementi deb ataladi:
, (8)
So‘nishning logarifmik dekrementi bir davr ichida amplitudaning nisbiy kamayishini xarakterlaydi, so‘nish koeffitsienti esa apmlitudaning birlik vaqt ichidagi nisbiy kamayishini ko‘rsatadi.
Yuqorida ta’kidlangandek, so‘nish koeffitsienti r qarshilik koeffitsientiga to‘g‘ri va tebranuvchi jismning massasiga teskari proportsionaldir.
19 - rasm. Davriy bo‘lmagan aperiodik tebranish .
(5) - ifodadan siklik chastota xususiy chastota - dan kichikligi ko‘rinib turibdi. Agarda muhitning qarshiligi juda katta bo‘lsa dir, ildiz ostidagi ifoda manfiy, tsiklik chastota esa mavhum bo‘ladi. Bu holatda jism davriy bo‘lmagan - aperiodik harakat qila boshlaydi (19 - rasm).
|
