|
Hesablama təcrübələrində interpolyasiya. İnterpolyasiya, ekstrapolyasiya və appraksimasiya
|
| bet | 1/5 | | Sana | 02.04.2024 | | Hajmi | 0.57 Mb. | | #184925 | | Turi | Mühazirə |
Bog'liq muhazire 4 muhazire 3, Muhazire 6Hesab Tecr, Tural Dilişov - Layihə Nizamnaməsinin hazırlanması, Tural Dilişov - Layihənin İdarəetmə planının hazırlanması
Mühazirə 4.
Hesablama təcrübələrində interpolyasiya.
İnterpolyasiya, ekstrapolyasiya və appraksimasiya.
İnterpolyasiya (ing. interpolation ~ ru. интерполяция ~ tr. interpolasyon) –
1. Riyaziyyatda: verilənlərin iki məlum nöqtəsi arasında aralıq qiymətlərin hesablanması. Daha çox xətti (LINEAR) və eksponensial (EXPONENTIAL) interpolyasiyadan istifadə olunur.
2. Kompüter qrafikasında: daha yüksək çözümlülük illüziyası yaratmaq məqsədilə görüntüdə əlavə (aralıq) piksellərin generasiyası; bu zaman yeni yaradılan piksellərin rəngi onun ətrafındakı piksellərin rəngləri nəzərə alınmaqla xüsusi alqoritmin köməyilə müəyyən olunur.
Həmçinin verilmiş mürəkkəb funskiyaların interpolyasiyası da mövcuddur. Bu halda mürəkkəb funksiya sadə funksiya ilə əvəz edilir. Məsələn əgər verilmiş funksiyanın törməsinin alınması çətindirsə, onda onda onun qiymətləri bir neçə nöqtədə hesablanır və buradan sadə funkisya keçirməklə onu interpolyasiya etmək mümkün olur. Əlbəttə sadə funksiyanın tətbiqi əldə olunan nəticələrin (qiymətlərin) dəqiqliyini aşağı salır. Buna baxmayaraq bir çox məsələlərin həllində interpolyasiya üsulundan istifadə etməklə əldə olunan qazanc, yaranan xətaların nəzərdən atılmasına imkan verir.
Bəzən elə olur ki, funksiya analitik şəkildə verilir, lakin onun qiymətini təyin oblastının ixtiyari nöqtəsində, tapmaq böyük hesablama işi tələb edir. Bu halda da interpolyasiya məsələlərindən istifadə edilir: funksiyanın analitik ifadəsindən istifadə edərək, onun qiymətini, hesablaması asan olan bir neçə nöqtədə tapırlar və bu qiymətlərdən istifadə edərək çoxhədlini qururlar.
Təcrubələr zamanı ən çətin məsələlərdən biri, ölçmələrin nəticələrinin emalında sonlu saydan ölçmə olduqda, dəyişənlər arasında yaranan funksional acılıqı təyin eyməkdir. Belə bir məsələlərin həlli üçün yalniz bir kəmiyyətdən asılı funksiyaya baxaq:
y=f(x),
ancaq qiymətləri sonlu sayda nöqtələrdə ölçülür,
yi =f(xi) (i=1...n).
İnterpolyasiya məsələsində sözun geniş mənasında, bütün verilən n nöqtələrdən keçən Ai(xi,yi) (i=1,...n) əyrisinin, y = f(x) tənliyi ilə verilən əyrinin tənliyinin tapmaqdir.
Approksimasiya məsələsində axtarilan əyri (funksiya) gərək bu və ya digər mənada verilən nöqtələrin yaxinliqindan keçsin. Hər iki məsələ üçün məlum olur ki, bir mənalı həlli yoxdur. Bir mənalı həlli tapmaq üçün interpolyasiyalı funksiyani tipi (vidi) apriori yəni qabaqcadan məlum deyil, adətən polinomial interpolyasiyaya(dəyişiklik approksimasiyaya) gəlirlər, yəni daha aşaqı səviyyəli polinomdan istifadə edirlər.
Ai(xi,yi) (i=1,...n) n nöqtələri üçün daha dəqiq həll (interpolyasiya) həmişə aşaqi dərəcəli (n-i) polinom y = L(x) şəklində almaq olur, hansiki, bir mənali bu nöqtələrlə təyin edilir. L(x)-polinonunun n-1 dərəcədən az ola bilər .
İnterpolyasiyanin polinononunun ən sadə formasından biri Loqranjın interpolyasiya polinomudur.
(1)
Əgər x = x1 olarsa, (1) də cəmdə 1-ci toplananan y1qiymət alır, qalanlar isə 0 (sifıra) bərabər olur.
Misal : Fərz edək ki, x=0,1,2 uyğun olaraq y=0,1,3 olur, onda L(x) tapaq
Bu əyrisini düzgün yoxladiqdan sonra əmin oluruq ki, həqiqətən əyri (0,0); (1,1) nöqtələrindən keçir.
İnterpolyasiya funksiyasini y = L(x)-i tapdıqdan sonra, Y-in x arqumentinin ardicil qiymətlərində onu təyin etmək olur, hansiki eksprement zamani təcrubələrdə bu ölçmələrlə aparılmışdır. Bu interpolyasiyanin əsas məsələsidir.
Məsələn L(x) = x(x+1)/2 asanlıqla L(1/2)=3/8, L(3/2)=15/8 təyin olunur.
Beləliklə, bir qayda olaraq bir çox təcrübələrdə ölçmələrin funksional asılılıqi - polinomlu interpolyasiya yetərincə yaxşı nəticə verir.
Tapılan funksional asılılığı (L(x))-i daha az əminliklə yerinə yetirilmiş ölçmələrin intervalından kənarada da tətbiq etmək olar, bununla da ektapolyasiya məsələsini də həll etmiş olarıq.
Məsələn,
Y = L(x)=x*(x+1)/2 x=3 olduqda, y=6, x=4 isə y=10 və s olur.
Beləliklə görünr ki, ölçmələrin aparıldığı intervalın çox yaxınlığında ektrapolyasiya yaxşı nəticələr verir, nəyin ki interpolyasiya.
Məsələn: Yüksək dəqiqliklə yuxarıda baxılan funksiyanın ölçmələrin nəticələri üçün x = 2.2 nöqtəsində L(2,2)=3,52 çox yaxşı qiymətdir,.
Yüksək dərəcəli polinomlardan qaçmaq(alınmaması) üçün polinomial interpolyasiyada (ya da ektrapolyasiyada) daha çox 2 vəya 3 qonşu nöqtələrdən istifadə edirlər. Belə sadə interpolyasiya (ekstrapolyasiya) uyğun olaraq xətti və kvadratik interpolyasiya (ekstrapolyasiya) adlanır. Bu halda axtarılan interpolyasiya yaxud funksiya müxtəlif ölçmə intevalının sahələrində müxtəlif ifadələri alacaqdır.
Пример[править | править код]
1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений � определяет соответствующие значения � :
�
|
�(�)
|
0
|
0
|
1
|
0,8415
|
2
|
0,9093
|
3
|
0,1411
|
4
|
−0,7568
|
5
|
−0,9589
|
6
|
−0,2794
|
Интерполяция помогает нам узнать, какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных точек (например, при x = 2,5).
К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.
2. Найти промежуточное значение (способом линейной интерполяции).
6000
|
15.5
|
6378
|
?
|
8000
|
19.2
|
?=15.5+(6378−6000)8000−6000∗(19.2−15.5)1=16.1993
Polinomial təsəvvür (həll) istifadədə ölçmələr üçün çox rahatdır, başqa şəkildə verilən funksiyalar üçün də polinomial interpolyasiya, xüsusilədə ekstrapolyasiya çox əlverişlidir. Məsələn: axtarılan funksiya y=f(x) T dövrü ilə periodikdir və aşağıdakı kimi təsvir edilir.
(2)
Furye sırası, hardaki, p=2π/T a1 və b1 2n+1 xətti tənliklə sistemi ilə tapılır.
Daha çətin hallar sistem tənliklərin həlləri üçün müxtəlif üsullar mövcuddur.
Müasir FK-in köməyilə (EHM) belə məsələlərin həlli çox asandırılmışdır.
Approksimasiya məsələlərində elə sinif funksiyalar vardır ki,
Y = f(x1 a1....am)
a1...am - parametrindən asılı olan funksiyalar, polinomun verilmiş dərəcəsinin əmsalları məlum deyil. Verilmiş Ai(xi , yi) nöqtələrini istifadə edərək,
di = f - yi (i= 1,....n) ,
a1,....am - qiymətlərini seçərək.
di - fərqindən asılı olaraq məqsəd funksiyasını minimallaşdıraq. Belə bir funksiya çox hallarda fərqlərin kvadratı(di)2 cəmini seçirlər -( ) və yaxud bu fərqlərin mütləq(absalyut) - modulunun maksimal qiymətini seçirlər.
1-ci halda -Ən kiçik kvadratlar metodu.
2-ci halda - Çebışev (minimaks) approksimasiyası.
Bütün hallarda approksimasiya funksiyasının həlli üçün tələb olunur ki, optimallaşdırma məsələsini həll edilsin.
1-ci halda ən kiçik kvadratlar metodunda axtarılan həll aşağıdakı tənliklər sistemindən tapılır;
di-verilmiş nöqtədə Ai(xi;yi) (i=1...n).
Di - ə Ai ; (xi , yi)- kordinantlarını qoyaraq tənliklər sistemi həll edilir.
|
| |
