|
Kvant kimyosida chiziqli garmonik otsilyator
|
| bet | 5/9 | | Sana | 30.11.2022 | | Hajmi | 0.74 Mb. | | #32458 |
Bog'liq Elektronlar difraksiyasi. Shredinger tenglamasi Best places for travel5. Kvant kimyosida chiziqli garmonik otsilyator.
Klassik va kvant nazariyalarning ko`p masalalarini echishda elastik kuchga o`xshagan kuch ta`sirida tebranma harakat qiluvchi sistemadan model sifatida foydalaniladi va uni chiziqli garmonik ostsillyator deb ataladi.
Prujinali, fizik va matematik mayatniklar garmonik ossillyatorlarga misol bo`la oladi. Garmonik ossillyatorning potensial energiyasi
U= (9.1)
formula bilan aniqlanishi bizga ma`lum. Bu yerda 0 - ossillyatorning xususiy chastotasi, m - ossillyatorning massasi. (9.1) bog`lanish grafigi paraboladan yoki boshqacha aytganda parabola shaklidagi "potensial chuqurlikdan" iborat bo`ladi (1-rasm).
Ossillyatorning to`liq energiyasi uni potensial va kinetik energiyalarining yig`indisiga teng va u vaqt o`tishi bilan o`zgarmaydi:
Е=Ek +U=m2A2/2 Е=Ek +U=m2A2 (9.2)
(9.2) formula energiyaning saqlanish qonunini ifodalaydi. Doimo potensial energiyaning maksimal qiymati, kinetik energiyaning minimal qiymatiga va ularning har biri ostsillyatorning to`plagan to`liq energiyasiga teng:
Umax=Ekmax =Е
Energiyaning saqlanish qonuniga ko`ra to`liq energiya ossillyatorga berilgan dastlabki energiyaga teng bo`ladi. Ossillyatorning to`liq energiyasi uni tebranishi davomida potensial va kinetik energiya orasida turlicha taqsimlanadi. Agar 1-rasmda ko`rsatilgan grafikda to`liq energiyaga mos joydan gorizontal chiziq o`tkazsak, bu chiziqni koordinatalari x=A bo`ladi, bu yerda A- ostsillyatorning tebranish amplitudasi. Ostsillyator -A,+A oraliqdan chiqa olmaydi. Agar u bu oraliqdan chiqadi desak, uni potensial energiyasi to`liq energiyadan katta bo`lib, energiyaning saqlanish qonuni buziladi. Demak, klassik ossillyator chegaralangan fazo sohasida tebranadi. Yuqorida garmonik ostsillyator haqida yuritgan fikrimiz klassik mexanika nuqtai nazaridan to`g`ri.
Kvant kimyoda chiziqli garmonik ossillyator - kvant ossilyator deb ataldi. Kvant ossillyatorga misol qilib, kristall panjara tugunida tebranma harakat qilayotgan atomni, molekulani va umuman olganda tebranma harakat qilayotgan har qanday mikrozarrachani olish mumkin.
Kvant ostsillyatori uchun Shredinger tenglamasi quyidagi ko`rinishda bo`ladi:
(9.3)
Bu yerda U= - ossillyatorning potensial energiyasi.
E-ossillyatorning to`liq energiyasi.
Differensial tenglamalar nazariyasidan ma`lumki, (9.3) ko`rinishdagi differensial tenglama energiyaning
En=(n+1/2)h0 (9.4)
bo`lgan xususiy qiymatlarida yyechimga ega. (9.4) formuladan ko`rinadiki, kvant ostsilliyatorning energiyasi diskret qiymatlarni qabul qilib o`zgaradi, ya`ni uning energiyasi kvantlanadi. Kvant ossillyatorning ham eng kichik energiyasi vertikal devorli potensial o`ra ichidagi zarrachaning energiyasiga o`xshab, noldan katta bo`ladi. Ossillyatorning bu eng kichik energiyasi (9.4) formuladan n=0 bo`lganda
E0=(0+1\2)h0=1\2h0 bo`ladi.
Bu minimal energiya-nolinchi tebranish energiyasi deb ham ataladi va uning bo`lishligi noaniqliklar munosabati bilan bevosita bog`liqdir.
Ossillyatorning nolinchi tebranishini mavjudligi zarrachani potensial chuqurning tubiga hech qachon tushmasligini ko`rsatadi yani E0=0 bo`lishi mumkin emas va bu xulosa har qanday shakldagi "potensial chuqur" uchun ham to`g`ridir. Zarrachani potensial o`raning tubiga tushishi noaniqliklar munosabatiga zid keladi. Chunki, u o`raning tubiga tushgan taqdirda, uning impulsi va impulsining noaniqligi ham nol bo`ladi, koordinatasining noaniqligi ∆x→∞ esa cheksiz katta bo`lib qoladi. Bu holda zarrachani chuqur ichida bo`lishi ham noaniq bo`lib qoladi. Kvant ossillyatorida nolinchi tebranish energiyasini bo`lishi klassik nazariyaga butunlay zid keladi. Chunki, klassik nazariyada ostsillyatorning eng kichik energiyasi uni tebranmasdan tinch turgan holatiga mos keladi. Haqiqatdan ham, bu vaqtda uning energiyasi nol bo`lishi kerak. Masalan, klassik fizikaga ko`ra temperatura T=0 bo`lganda kristall pajara tugunlaridagi atomlarning tebranma harakat energiyasi ham nol bo`lishi kerak. Shuningdek atomlarning tebranishi to`htashi tufayli yorug`likning moddada sochilishi ham yo`qolishi kerak. Lekin temperatura absolyut nolga yaqinlashganda (T0) ham yorug`likning moddada sochilishi nol bo`lmasdan, qandaydir o`zgarmas chegara qiymatga intiladi. Bu absolyut nol temperaturada ham atomlar tebranishdan to`xtamasligini, ya`ni nol tebranish energiyasi mavjudligini tasdiqlaydi. Absolyut nolga juda yaqin temperaturada geliyning suyuq holda qolishi ham nol tebranish energiyasi orqali izohlanadi.
(9.4) formuladan ko`rinadiki, ostsillyatorning energiya sathi kvant soni n ga bog`liq bo`lmaydi va ular bir-biridan bir xil oralikda joylashadi Vertikal devorli cheksiz chuqur o`rada bo`lsa, n ortishi bilan energiya sathlari orasidagi masofa ham ortib boradi (1-rasm). (9.4) formulada n>>1 (n+1/2n) bo`lganda ossillyatorning energiya sathlari uchun
En=n . h0
formulani yozish mumkin. Bu formula absolyut qora jism nurlanishining kvant nazariyasini yaratishda M.Plank gipoteza tarzida keltirgan formulaning o`zi.
Kvant garmonik ostsillyatorning n=0,1 va 2 kvant holatlar uchun to`lqin funksiyasi grafigi 2-rasmda ko`rsatilgan. n n-to`lqin funksiyaning nolga aylanadigan nuqtalari to`lqin funksiya tugunlari deb ataladi. Ya`ni , 0 (x) ni ikki chekkasida tugun yo`q. n =1 bo`lganda 1 (x) funksiyani x=0 bo`lgan nuqtada bitta tuguni bor. n=2, bo`lganda 2(x) funksiyani ikkita tuguni bor. Demak, to`lqin funksiyadagi tugunlar soni kvant soniga teng bo`ladi.
Kvant ostsillyator haqidagi masalaning yyechimidan klassik fizikaga xos bo`lmagan yangi natija kelib chiqadi. Kvant ossillyatori sifatida harakatlanayotgan zarracha klassik fizika nuqtai nazaridan mumkin bo`lmagan sohada ham bo`lishi mumkin. Klassik nuqtai nazardan qaraganda zarracha (-A va +A) oraliqdan chiqa olmasligi kerak. Ammo kvant ossillyatori parabola shaklidagi potensial chuqurdan ham tashqariga chiqishi mumkin.
3-rasmda n=1 kvant holati uchun kvant mexanikasidagi ehtimollik zichliklari solishtirilgan. Grafikdan ko`rinib turibdiki, kvant ostsillyator zichligi klassik fizika ruxsat bermagan sohada ham bo`lishi mumkin. Bu zarrachaning to`lqin xususiyatidan, bevosita Shredinger tenglamasining yyechimidan kelib chiqadi. Bu yechim murakkab bo`lgani uchun biz unga to`xtalmaymiz.
|
| |
