0<
Lekin bunday bo’lishi mumkin emas, chunki
Demak, shunday mavjud bo’lib . U xolda . Lekin SF ochiq to’plam. Shuning uchun X ning atrofi bo’lgan A(x) A(x) SF bo’lgan A(x) to’plam mavjuddir. Endi V(,r)- ochiq to’plam bo’lgani uchun
bo’lgan U(x) to’plamni olaylik. Faraz qilaylik
bo’lsin. U xolda V(x) to’plam x nuqta atrofidir va
bo’lganidan
Bu muxokamalarga asosan
bo’lib
bo’lgan V(,r’) ochiq shar mavjud.
Demak F to’plam hech qaerda zich emas.
5-Masala. Agar –1 x 0 bo’lganda f(x)-x2 va 0 x 1 bo’lganda f(x)1 bo’lsa, u xolda ixtiyoriy aR1 con uchun E(fa) to’plam o’lchovli bo’ladimi?
Yechish. Agar a 1 bo’lsa E(f a) Agar 0 a 1 bulsa, E(f a)(0,1]. Agar -1 a 0 bo’lsa, E(fa)(- ,1]. Nihoyat agar a -1 bo’lsa, u xolda E(f a)[-1,1]. Endi , (0,1], (- , 1), [-1,1] to’plamlar o’lchovi bo’lganidan aR1 uchun E(fa) tuplam ulchovli bo’ladi.
Kerakli adabiyotlar ( Amaliy mashg’ulot uchun)
Sarimsoqov T.A. Haqiqiy o’zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi, 3,4- boblar, 74-126 betlar.
Ochan Yu.S. Sbornik zadach po matematicheskomu analizu., 1981, 407-451 str. 46-51.
III. Mustaqil topshiriqlar.
1 - Topshiriq
1. O’lchovsiz to’plamlarga doir misollar tuzing.
2 - topshiriq
Quyidagi masalalarni eching
1. Agar
A{t[0,1]: x’(t)0, x’(t)C[0,1]}
bo’lsa u holda
bo’lishini isbotlang.
2. Agar [0,1] kesmaning qism to’plami bo’lgan Ak (k1,2,…,n) to’plam uchun
bo’lsa, u holda
bo’lishini isbotlang.
3. [0,1] kesmaning hamma o’lchovli qism to’plamlar tuplamining quvvati kontinuum quvvatdan katta ekanligi isbotlansin.
4. Tekislikning birlik kvadratdagi irratsional son bo’ladigan (x,u)R2 nuqtalar to’plamining qism to’plam o’lchovini toping.
5.Sonni o’nli sanoq tizimida yozganda, 2 raqam 3 raqamdan avval uchraydigan [0,1] kesmaning qism to’plam o’lchovini toping.
6. Faraz qilaylik S aylananing uzunligi 1 ga teng bo’lsin va biror irratsional son bo’lsin. S aylanani n (n-butun son) burchakka burishda biror nuqta aylananing boshqa nuqtasiga o’tuvchi nuqtalarni bir sinfga kiritamiz. Bu sinflarning har biri nuqtalarning sanoqli to’plamidan iborat bo’ladi. Har bir sinfda bittadan nuqta tanlaymiz. Bunday nuqtalar to’plamini Fo deb belgilaymiz. Fo to’plamning o’lchovsiz ekanligini ko’rsating (Ko’rsatma [4] 264-265 betga qarang)
IV. Mavzu bo’yicha yakuniy mashg’ulot
1) To’planing o’lchov tushunchasi uzunlik, yuza, hajm, funktsiya orttirmasi, biror chiziq bo’ylab yoki biror soha bo’ylab olingan integral kabi tushunchalarning umumlashmasidir.
2) To’plamning o’lchov tushunchasi haqiqiy o’zgaruvchili funktsiyalar nazariyasida vujudga kelib, undan ehtimollar nazariyasiga, dinamik sistemalarga va matematikaning boshqa sohalariga tadbiqlash boshlandi.
3) Agar to’plamning ichki va tashqi o’lchovlari teng bo’lsa, u holda bunday to’plam o’lchovli to’plam deyiladi.
Sannoqli miqdordagi o’lchovli to’plamlar birlashmasi va kesishmasi yana o’lchovli to’plamdan iborat.
Chegaralangan o’lchovsiz to’plamlar ham mavjuddir.
Nazorat savollar.
1. To’plamning tashqi va ichki o’lchovi nima?
2. Tashqi o’lchov xossalarini ayting.
3. Ichki o’lchov xossalarini ayting.
4. O’lchovning Lebeg ta’rifini izoxlang.
5. O’lchovli to’plam qanday xossalarga ega?
6. Lebeg teoremasini izoxlang.
7. Kantor to’plam qanday tuziladi ?
8. Kantorning P va G to’plamning o’lchovlarini xisoblab ko’rsating.
9. O’lchovli to’plamlar ketma – ketligi haqidagi teoremani izoxlang.
10. Luzin teoremasini izoxlang.
11. To’plamlar halqasi ta’rifini ayting.
12. Yarim xalqa ta’rifini ayting.
13. To’plamlar algbrasini izoxlang.
14. Minimal xalqa nima?
15. To’plam funktsiyasi nima?
16. Additiv o’lchamni izoxlang?
17. O’lchamni davom ettirish nima?
18. Xar xil additiv o’lchovini izoxlang.
19. O’lchovni davom ettirish haqidagi teoremani izoxlang.
20. O’lchovni Lebeg ma’nosida davom ettirish va u xaqida teoremalarni isbotlang.
Tavsiya etilgan adabiyotlar:
Sarimsoqov T.A. Xaqiqiy o’zgaruvchilarning funktsiyalar nazariyasi, Toshkent 1994 y
Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementi teorii funktsiy i funktsiyanalnogo analiza, god 1980.
Ochan Yu.S. Sbornik zadach po matimaticheskomu analizu, Mosk. 1981 g.
|
