|
Yaqinlashuvchi qator haqida asosiy teoremalar va misollar
|
| bet | 5/19 | | Sana | 30.11.2023 | | Hajmi | 0,66 Mb. | | #108619 |
Bog'liq Saidov Jahongir1.2 Yaqinlashuvchi qator haqida asosiy teoremalar va misollar
Dalamber alomati
2.1-Teorema. Agar an hadlari musbat bo`lgan qator uchun quyidagi
(1)
shart bajarilsa, q < 1 bo`lganda qator yaqinlashuvchi, q1 bo`lganda esa qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
Isboti: Ketma – ketlik limiti ta`rifidan ma`lumki, har qanday son uchun shunday N mavjud bo`ladiki, uning uchun barcha n ≥ N larda
tengsizlik o`rinli bo`ladi.
Agar q<1 bo`lsa, ni q+ <1 bo`ladigan qilib tanlab, barcha
n ≥ N lar uchun
ni hosil qilamiz. Bundan ko`rinadiki, berilgan qatorning N – qoldig`i lemmaning (1) shartini qanoatlantiradi. Demak, qator yaqinlashuvchi ekan.
Agar q>1 bo`lsa, ni q– >1 ko`rinshida tanlab, barcha n≥N lar uchun
tengsizlikni hosil qilamiz. Bu holda qatorning N–qoldig`i lemmaning (2) – shartini qanoatlantiradi. Demak, qator uzoqlashuvchi bo`ladi. Teorema isbot bo`ldi.
2.1-misol. qatorni Dalamber alomati yordamida tekshiring.
Yechilishi: Shartga asosan
Demak,
Ammo berilgan qator garmonik qator bo`lganligi sababli u uzoqlashuvchidir.
2.2-misol. qatorni Dalamber alomati yordamida tekshiring.
Yechilishi: Berilganlarga ko`ra , bundan
U holda,
.
Demak, berilgan qator yaqinlashuvchi ekan.
2.3–misol. qatorni tekshiring
Yechilishi: Shartga asosan
va
.
U holda,
.
Dalamber alomatiga asosan berilgan qator yaqinlashuvchi bo`ladi.
Koshi alomati
qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi uchun har qanday son uchun shunday N nomer mavjud bo`lib, barcha n>N lar va p≥1 da
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir.
Qatorning bunday shartiga Koshi alomati yoki Koshi kriteriyasi deyiladi. Bunda p=1 da qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi uchun shartning bajarilishi zaruriydir. Bu esa
ni anglatadi. Demak, qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi uchun uning nomeri cheksiz oshishi bilan qatorning umumiy hadi nolga intilishi zarur. Ammo bu shart qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi uchun yetarli bo`la olmaydi. Bo`nga quyidagi garmonik qator misol bo`la oladi:
Bunda n→∞ da bo`ladi, lekin garmonik qator Koshi alomatini qanoatlantirmaydi. Shuning uchun u yaqinlashuvchi bo`la olmaydi, chunki
Bundan ko`rinadaki, < da p = n bo`ladi. U holda, garmonik qator uchun quyidagi tengsizlik n qanday bo`lishidan qat`iy nazar o`rinli bo`lmaydi:
Demak, garmonik qatorda har bir son uchun Koshi shartidagi N nomer topilavermaydi. Shuning uchun ham garmonik qator uzoqlashuvchi bo`ladi, chunki
shart faqatgina zaruriy shart bo`lib qoladi, ammo qator yaqinlashishining yetarli sharti bo`la olmaydi.
|
| |
