C
MODELIRANJE PROCESA U EKO SUSTAVU
Uvod
Oko 1 500 000 vrsta obitava na zemaljskoj kugli i sve su međusobno povezane. To zasigurno zahtijeva sustavno modeliranje. Ipak postoje karakteristični ekološki sustavi u kojem životne zajednice imaju neki oblik autonomije od vrsta koje obilježavaju neki drugi ekološki sustava. Primjerice vrste koje obitavaju na kopnu i u vodi. Potonje možemo podijeliti na fitoplanktone (biljke) i zooplanktoni. Dalje zooplanktone koji su herbivori ili karnivori itd... Definiranjem interakcijskih odnosa između takovih, većih cjelovitih grupa, kao i njihove odnose sa okolinom predstavlja okosnicu ekološkog modeliranja.
Populacijski model
Ekološki sustav obuhvaća međusobno povezene životinje, biljke, nutrijente i metaboličke produkte. Najjednostavniji ekološki model opisuje samo jednu varijablu-vrstu i to temeljem jedne jednadžbe poput:
 (2.1)
gdje je: r, K konstante; P populacija (broj jedinki) analizirane varijable odnosno vrste.
Gore navedena jednadžba zove se „logistička“ u kojoj konstanta r predstavlja brojevni kvantifikator kojim se definira brzinu prirasta od P a konstanta K je potencijalni kapacitet vrste odnosno maksimalni broj jedinki vrste P koji se može razviti. Ukoliko K poprimi vrijednost P dolazi do trenutnog prekida rasta i stacioniranja procesa koji se u realnosti ustvari nikada ne ostvaruje.
Primjer rezultata korištenja jednadžbe 1 u slučaju povećanja broja stanovnika u SAD dana je u tablici 2.1. te na slici 2.1. Očigledno je da bliskost sa logističkom jednadžbom predviđenog i izmjerenog broja stanovništava ima zahvaliti „dobrom“ izboru konstanti r i K. Vrijednosti tih konstanti dobiveno je temeljem baždarenja temeljem većeg niza podataka o broju stanovnika iz prethodnih godina.
Ukoliko se primjerice usvoji vrlo velika vrijednost za konstantu K jednadžba 2.1 poprima oblik
P = P0 e –r t (2.2)
gdje je: P0 broj jedinki u trenutku t0.
Očigledno je da će vrijednost P nakon velikog broja godina t poprimiti vrlo veliku i intuitivno nerealnu vrijednost. Prema tome koeficijentom K uzet je u obzir cijeli niz čimbenika koji su zasigurno utjecali na razvoj P kroz analizirani period, poput svjetskih ratova, otkrića kontracepcijskih pilula itd. Nemogućnost opisivanja, a u realnosti postojećeg, velikog broja interakcijskih veza unutar realnog ekološkog sustava, otvara vrata upravo ovakvom jednostavnom matematičkom modeliranju.
Slika 2.1 – rezultati korištenja logističke jednadžbe 2.1 u analizi povećanja broja stanovnika u SAD
Tablica 2.1 - rezultata korištenja jednadžbe 1 u analizi povećanja broja stanovnika u SAD
Očigledno je da će vrijednost P nakon velikog broja godina t poprimiti vrlo veliku i intuitivno nerealnu vrijednost. Prema tome koeficijentom K uzet je u obzir cijeli niz čimbenika koji su zasigurno utjecali na razvoj P kroz analizirani period, poput svjetskih ratova, otkrića kontracepcijskih pilula itd. Nemogućnost opisivanja, a u realnosti postojećeg, velikog broja interakcijskih veza unutar realnog ekološkog sustava, otvara vrata upravo ovakvom jednostavnom matematičkom modeliranju. Logistička jednadžba 2.1 rješava se separacijom varijabli sa konačnim rješenjem
 (2.3)
Mogući su i složeniji oblici logističke jednadžbe koji su „opterećeni“ sa još više konstanti sa kojima se omogućuje dodatno poboljšanje u koreliranju izmjerenih i upotrebom jednadžbe dobivenih vrijednosti. Primjerice:
 (2.4)
gdje je: r rata odumiranja; , , koeficijenti modela.
U numeričkoj implementaciji jednadžbe 2.4 potrebno je paziti na eksplicitne uvjete nepostojanja negativne vrijednosti jedinka te da se nakon postizanja vrijednosti P = 0 ta vrijednost mora zadržati.
Michaelis-menten kinetika
Michaliss-Mentenov izraz kojim se izvorno opisuje kinetika enzimske reakcije vrlo je raširene primjene u ekološkim modelima zbog čega se na nju skreći i posebna pažnja. Autori su došli do spoznaje da se krivulja rate inicijalne reakcije nasuprot molekularne koncentracije poprima uvijek jedan te isti oblik. U njihovom eksperiment količina enzima je držana konstantnom a koncentracija supstrata (određeni set molekula) je graduirano povećavana. Rezultati eksperimenta su pokazivali povećanje brzine reakcije sve do asimptotskog postizanja maksimuma (slika 2.2).
|
