To‘plamlarning birlashmasi

to‘plamlarning birlashmasi A  B kabi belgilanadi. Bu yerda “ ^A
va ^B

to‘plamlarga birlashma amalini qo‘llab (yoki
^A va ^B
to‘plamlar ustida

birlashma amali bajarilib), A  B to‘plam hosil qilindi” deyish mumkin. 1-

shaklda ^A va ^B to‘plamlar doiralar ko‘rinishida, A  B
to‘plam esa bo‘yab

tasvirlangan.

1. 
   m i s o l . ^{A  {a, b}} , ^{B  {a, b, c}} va ^{C  {e, f , k}}
   

bo‘lsin. U holda

^{E  A  B  {a, b, c}}, bo‘ladi. ■
^{E  C  {a, b, c, e, f , k}},
^{C  B  {a, b, c, e, f , k}} ,
A  C  {a, b, e, f , k}

2. 
   m i s o l . O‘zbekiston Respublikasining yoshi 16dan 25gacha bo‘lgan
   

fuqarolari to‘plamini ^A bilan, yoshi 21dan 30gacha bo‘lgan fuqarolari
to‘plamini esa ^B bilan belgilasak, ^A va ^B to‘plamlarning A  B birlashmasi
O‘zbekiston Respublikasining yoshi 16dan 30gacha bo‘lgan fuqarolari to‘plamini tashkil etadi. ■

3. 
   m i s o l . N  R  R . ■
   

Shuni ta’kidlash kerakki, to‘plamlar bilan bog‘liq tushunchalar va ular ustidagi amallar, mos ravishda, sonlar bilan bog‘liq tushunchalar va oddiy arifmetik amallar bilan qiyoslanadi. Jumladan, to‘plamlar yig‘indisini (birlashmasini) topish amali sonlarni qo‘shish amali bilan qiyoslanadi. Bunday qiyoslashlar, ko‘pincha, bir-biriga o‘xshash natijalarning mavjudligini ko‘rsatadi, ba’zan esa ular to‘plamlarning farqli xususiyatlarga egaligini

namoyon etadi. Masalan, ixtiyoriy
A _va B
to‘plamlar uchun
A  B
bo‘lsa, u

holda A  B  B va
B  A  B bo‘ladi, lekin, ixtiyoriy ^a
va ^b sonlar uchun ^{a  b}

bo‘lgan holda
^{a  b  b} va ^{b  a  b}
tengliklar bajarilmasligi mumkin, ular faqat

a  0
bo‘lsagina o‘rinlidir.

2. To‘plamlarning kesishmasi.

Har qanday ikkita to‘plamning barcha umumiy elementlaridan tuzilgan

to‘plamga to‘plamlarning kesishmasi (yoki ko‘paytmasi) deyiladi.

Berilgan ^A va ^B
to‘plamlarning kesishmasi A  B
kabi belgilanadi. Bu

yerda “ ^A va ^B to‘plamlarga kesishma amalini qo‘llab,
A  B to‘plam hosil

qilindi” deyish mumkin. 2- shaklda
^A va ^B
to‘plamlar doiralar ko‘rinishida,

A  B to‘plam esa bo‘yab tasvirlangan. To‘plamlar ustidagi

A  B
amallarning yuqorida ta’kidlangan o‘ziga xos xususiyatlari to‘plamlar ko‘paytmasini (kesishmasini) topishda ham

namoyon bo‘ladi. Masalan,
A  B
bo‘lsa, u holda
A  B  A

2- shakl
va B  A  A bo‘ladi.

Bitta ham umumiy elementga ega bo‘lmagan ikkita to‘plamlarning kesishmasi bo‘sh to‘plam bo‘lishi tabiiydir. Kesishmasi bo‘sh bo‘lgan to‘plamlar o‘zaro kesishmaydigan, kesishmasi bo‘sh bo‘lmagan to‘plamlar esa o‘zaro kesishadigan to‘plamlar deb ataladi.

4. m i s o l .

^{A  {a, b, c}} ,
^{B  {a, b, c, d}} ,
C  {e, f , k}
bo‘lsa, u holda

^{D  A  B  {a, b, c}},
D  C   ,
A  C   ,
B  C   ,
D  B  {a, b, c}
bo‘ladi. ■

5. 
   m i s o l . 2- misolda aniqlangan
   

^A va ^B
to‘plamlarga kesishma amalini

qo‘llasak, O‘zbekiston Respublikasining yoshi 21dan 25gacha bo‘lgan

fuqarolari to‘plami ( A  B to‘plam) hosil bo‘ladi. Bu yerda
A _va B
to‘plamlar

o‘zaro kesishadigan to‘plamlardir. ■

6. 
   m i s o l . N  R  N . ■
   
7. 
   m i s o l . Butun dunyoda 2005 yilda tug‘ilgan bolalar to‘plamini T₅
   

bilan, 2006 yilda tug‘ilgan bolalar to‘plamini esa T₆ bilan belgilasak, u holda

T₅  T₆  
bo‘ladi. Demak, T₅
va T₆
to‘plamlar o‘zaro kesishmaydigan

to‘plamlardir. ■

3. To‘plamlarning ayirmasi.

Ixtiyoriy
^A va ^B
to‘plamlar berilgan bo‘lsin.
^A to‘plamning ^B
to‘plamda

bo‘lmagan barcha elementlaridan tuziladigan to‘plamni hosil qilish ^A

to‘plamdan ^B

to‘plamni ayirish deb, tuzilgan to‘plam esa, shu
^A va ^B

to‘plamlarning ayirmasi deb ataladi.
^A to‘plamdan ^B to‘plamni ayirish natijasida hosil bo‘lgan to‘plam, ya’ni

^A va ^B
to‘plamlarning ayirmasi
A \ B
yoki
A  B
ko‘rinishida

A \ B
belgilanadi. Bu yerda “ ^A
to‘plamdan ^B
to‘plamni ayirish amalini

qo‘llab,
A \ B
to‘plam hosil qilindi” deyish mumkin. 3- shaklda ^A

va ^B
to‘plamlar doiralar ko‘rinishida,
A \ B
to‘plam esa bo‘yab

3. 
   shakl
   

tasvirlangan.
Ixtiyoriy


A _va B

to‘plamlar uchun

A  B  

bo‘lsa, u

holda
^{A \ B  } va
B \ A  
bo‘lishi ta’rifdan bevosita kelib chiqadi.

8. 
   m i s o l . 1- misoldagidek,
   

^{A  {a, b}} ,
^{B  {a, b, c}} ,
C  {e, f , k}
bo‘lsa, u

holda
^{A \ B  } ,
^{B \ A  {c}} ,
B \ C  
bo‘ladi. ■

8. m i s o l .

^A va ^B
to‘plamlar 2- misoldagidek aniqlangan bo‘lsin. U

holda,
^A to‘plamdan ^B
to‘plamning ayirmasi
A \ B
O‘zbekiston

Respublikasidagi yoshi 16dan 21gacha bo‘lgan fuqarolari to‘plamini, ^B

to‘plamdan
^A to‘plamning ayirmasi
B \ A
esa O‘zbekiston Respublikasining

yoshi 25dan 30gacha bo‘lgan fuqarolari to‘plamini anglatadi. ■

8. m i s o l .

R \ N
ayirma tarkibida natural sonlar qatnashmagan barcha

haqiqiy sonlar to‘plamidan iboratdir va N \ R   . ■

4. To‘ldiruvchi to‘plam.

Faraz qilaylik,
A _va B
to‘plamlar berilgan va
A  B
bo‘lsin. Bu holda ^B

to‘plamning
^A to‘plamga kirmagan barcha elementlaridan tashkil topgan
B \ A

to‘plam ^A to‘plamning ^{B A} to‘plamning ^B
to‘plamgacha to‘ldiruvchi to‘plami deb ataladi. to‘plamgacha to‘ldiruvchi to‘plami,

odatda, A_B
A
ko‘rinishda belgilanadi. Bu yerda “ A_B to‘plam ^{A B}

to‘plamni ^B
to‘plamgacha to‘ldiradi” yoki “ ^A
to‘plamni ^B

to‘plamgacha to‘ldirish amalini qo‘llab, A_B to‘plam hosil qilindi”
deyish mumkin. 4- shaklda ^A to‘plam kichik doira, ^B to‘plam

katta doira ko‘rinishida, A_B to‘plam esa bo‘yab tasvirlangan.

3. 
   shakl
   

To‘plamlar ustidagi yuqorida keltirilgan birlashma, kesishma va

to‘ldiruvchi to‘plam tushunchalari ta’riflarini bevosita qo‘llab,
A  A_B  B ,

A  A_B   , A \ A_B  A va A_B \ A  A_B tengliklarni hosil qilish qiyin emas.

11. 
    m i s o l . Barcha juft sonlar to‘plamini
    

A  {2, 4,...,2n,...}
( ^{n N} ) deb

belgilasak,
^A to‘plamni ^N
to‘plamgacha to‘ldirish amalini qo‘llab

A_N  {1,3,...,2n 1,...} to‘plamni, ya’ni barcha toq sonlar to‘plamini hosil qilamiz.
Demak, barcha toq sonlar to‘plami barcha juft sonlar to‘plamini natural sonlar to‘plamigacha to‘ldiradi. Xuddi shunga o‘xshash, barcha toq sonlar to‘plamini natural sonlar to‘plamigacha to‘ldirish amalini qo‘llab, barcha juft sonlar to‘plamini hosil qilish mumkin. ■