Mustaqilish Mavzu: Nyuton binomi formulasining isboti. Binomal koeffisientlar xossalari BajardiIminjonovAzimjon Toshkent 2022 Nyutonbinomiformulasiningisboti. Binomalkoeffisientlarxossalari reja

Download 137,85 Kb.
Sana	22.01.2024
Hajmi	137,85 Kb.
	#143516

Bog'liq
Mustaqil ish Mavzu Nyuton binomi formulasining isboti Binomal

Mavzu:Nyuton binomi formulasining isboti. Binomal koeffisientlar xossalari BajardiIminjonovAzimjon Toshkent 2022
Polinomial formula. Kiritishvachiqarishusuli. Rekurentmunosabatlar.
Мактаб курсидан маълумки (а +b) 2 = а 2 +2аb+b 2 , (а+b) 3 =а 3
кавсни кандай очиш мумкин деган савол туғулиши табиийдир. Бу саволга қуйидаги теорема жавоб беради: Nyuton binomi

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA
KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI

Mustaqilish

Mavzu:Nyuton binomi formulasining isboti. Binomal koeffisientlar xossalari

BajardiIminjonovAzimjon

Toshkent 2022

Nyutonbinomiformulasiningisboti.
Binomalkoeffisientlarxossalari

REJA:

Nyutonbinomi.
Polinomial formula.
Kiritishvachiqarishusuli.
Rekurentmunosabatlar.

Nyuton binomi - ikki qoʻshiluvchi yigʻindisining ixtiyoriy butun musbat darajasini qoʻshiluvchilar darajalari yigʻindisi koʻrinishda ifodalovchi formula. Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak tashkil qiladi.
N.b.formulasi I. Nyutondananchaavval ham maʼlumboʻlgan. Mac, Umar Xayyom (11 — 12-a.lar), Jamshid Koshiy (14—15-a.lar) binomial koeffitsiyentlarnihisoblashqoidasinibilganlar. I. Nyutonesabinomyoyilmasiniixtiyoriykoʻrsatkichuchunumumlashtirgan. N.b.matematikanaliz, sonlarnazariyasi, ehtimollarnazariyasiva b. sohalardamuhimahamiyatgaega.
Мактаб курсидан маълумки
(а +b)²= а²+2аb+b²,
(а+b)³=а³+3а²b+3аb²+b³
Бу формулаларни умумлаштириб (а+b)ⁿ кавсни кандай очиш мумкин деган савол туғулиши табиийдир. Бу саволга қуйидаги теорема жавоб беради:
Nyuton binomi - ikki qoʻshiluvchi yigʻindisining ixtiyoriy butun musbat darajasini qoʻshiluvchilar darajalari yigʻindisi koʻrinishda ifodalovchi formula. Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak tashkil qiladi.
Nyuton binomi formulasi I. Nyutondan ancha avval ham maʼlum boʻlgan. Mac, Umar Xayyom (11 — 12-asrlar), Jamshid Koshiy (14—15-asrlar) binomial koeffitsiyentlarni hisoblash qoidasini bilganlar. I. Nyuton esa binom yoyilmasini ixtiyoriy koʻrsatkich uchun umumlashtirgan. Nyuton binomi matematik analiz, sonlar nazariyasi, ehtimollar nazariyasi va boshqa sohalarda muhim ahamiyatga ega.

Binomteoremasi (a+b)ⁿ shaklidagi (x+y)⁷kabiifodalarniqandaykengaytirishkerakliginiaytadi. Darajaqanchalikkattaboʻlsa, shunga oʻxshashifodalarnitoʻgʻridantoʻgʻrikengaytirishshunchalikqiyinboʻladi. Ammo Binomteoremasibilanjarayontezroqamalgaoshadi! Salmon tomonidanyaratilgan.

Nyuton binomi - ikki qoʻshiluvchi yigʻindisining ixtiyoriy butun musbat darajasini qoʻshiluvchilar darajalari yigʻindisi koʻrinishda ifodalovchi formula. Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak tashkil qiladi.
Nyuton binomi formulasi I. Nyutondan ancha avval ham maʼlum boʻlgan. Mac, Umar Xayyom (11 — 12-asrlar), Jamshid Koshiy (14—15-asrlar) binomial koeffitsiyentlarni hisoblash qoidasini bilganlar. I. Nyuton esa binom yoyilmasini ixtiyoriy koʻrsatkich uchun umumlashtirgan. Nyuton binomi matematik analiz, sonlar nazariyasi, ehtimollar nazariyasi va boshqa sohalarda muhim ahamiyatga ega.
Bernulli sxemasining amalga oshirilishini ko'rib chiqing, ya'ni. bir necha marta takrorlangan mustaqil testlar o'tkaziladi, ularning har birida berilgan A hodisasi test sonidan mustaqil ravishda bir xil ehtimollikka ega. Va har bir sinov uchun faqat ikkita natija mavjud:

1) voqea - muvaffaqiyat;

2) voqea - muvaffaqiyatsizlik,
doimiy ehtimolliklar bilan
Diskret X tasodifiy o'zgaruvchini hisobga olamiz - "A hodisaning sodir bo'lish soni p testlar "va ushbu tasodifiy o'zgaruvchining tarqalish qonunini toping. X miqdori qiymatlarni qabul qilishi mumkin
Ehtimollik tasodifiy X ning qiymatni qabul qilishi x k Bernulli formulasi bo'yicha topilgan
Bernulli formulasi (1) bilan aniqlangan diskret tasodifiy o'zgaruvchining tarqalish qonuni deyiladi binomial tarqatish qonuni. Doimiy p va r (q \u003d 1-p)formulada (1) deyiladi binomial taqsimotparametrlari.
"Binomial taqsimot" nomitenglikdagio'ngtomon (1) Nyutonbinomialiningkengayishidagiumumiyatamaekanligibilanbog'liq, ya'ni.
(2)
Vaberi p + q \u003d 1, keyintenglikningo'ngtomoni (2) 1 ga teng
Bu shunianglatadiki
(4)
Tenglikda (3), birinchimuddat q n o'ngtomondabuehtimollikdeganma'nonianglatadi p sinovhodisasi A ikkinchimarta ham birmartapaydobo'lmaydi a hodisasibirmarta, uchinchimuddat A hodisaningikkimartapaydobo'lishehtimoli vanihoyatoxirgimuddat p p - A hodisasiningto'liqpaydobo'lishehtimoli p vaqt.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish binomial qonuni jadval shaklida keltirilgan:

…

q n

…

p p

Binomial taqsimotning asosiy raqamli xususiyatlari:

1) matematik kutish (5)
2) dispersiya (6)
3) standart og'ish (7)
4) voqea sodir bo'lishining eng katta ehtimoli k 0 bu berilgan raqam p maksimal binomial ehtimolga mos keladi
hisobga olib p va r bu raqam tengsizliklar bilan aniqlanadi
(8)
agar raqam bo'lsa pr + p to'liq emas, keyin k 0 bu sonning butun qismiga teng, ammo agar pr + p tamsayı, keyin k 0 ikki ma'noga ega
Ehtimollarni taqsimlash binomial qonuni o'q otish nazariyasida, mahsulot sifatini statistik nazorat qilish nazariyasi va amaliyotida, navbatlar nazariyasida, ishonchlilik nazariyasida va boshqalarda qo'llaniladi. Ushbuqonunmustaqiltestlarketma-ketligimavjudbo'lgandaqo'llanilishimumkin.
Bu jadvalda gruppalashlar sonining quyidagi xossalarini kuzatish mumkin: – har bir qatorning chetlarida birlar joylashgan (bu tasdiq 1 0  n Cn Cn formula bilan ifodalanadi); – har bir qatordagi m Cn sonlar qatorning teng o‘rtasiga nisbatan simmetrik joylashgan, ya’ni qatorning boshidan va oxiridan baravar uzoqlikda turgan sonlar o‘zaro teng ( n m n m Cn C  ); – ikkinchi qatordan boshlab har bir qatordagi birlardan tashqari ixtiyoriy son bu qatordan yuqorida joylashgan qatordagi biri shu son ustida, ikkinchisi esa undan chapda joylashgan ikkita gruppalashlar sonining yig‘indisiga teng ( 1 1 1  m n m n m Cn C C ); – har bir qatordagi m Cn sonlar shu qator teng o‘rtasigacha o‘sib, so‘ng kamayadi. Ta’rif sifatida 1 0 C0  deb qabul qilinsa va bu son yuqoridagi jadvalning n 1 raqamli qatoridan oldin n  0 raqamli qatori sifatida joylashtirilsa, uchburchak figurasiga o‘xshash 1-shakldagi sonlar jadvalini hosil qilish mumkin. 1-shakldagi sonlarjadvaliPaskaluchburchagi deb ataladi. Bu jadvalarifmetikuchburchaknomibilan ham yuritiladi.
UningPaskalnomibilanatalishigaqaramasdan, bundaysonlarjadvalijudaqadimdandunyoningturlimintaqalarida, jumladan, sharqmamlakatlarida ham ma’lumbo‘lgan. Masalan, Erondagi Tus shahrida (hozirgiMashhadda)  1 7 21 35 35 21 7 1 1 6 15 20 15 6 1 1 5 10 10 5 1 1 4 6 4 1 1 3 3 1 1 2 1 1 1 1 1- shakl 2 yashabijodqilganNosir at-Tusiy1 XIII asrdabujadvaldanfoydalanib, berilganikkita son yig‘indisining natural darajasinihisoblashusulinio‘ziningilmiyishlaridakeltirganbo‘lsa, g‘arbda Al-Kashi nomibilanmashhurSamarqandlik olim Ali Qushchi2 butunsonningistalgan natural ko‘rsatkichliarifmetikildiziqiymatinitaqribiyhisoblashdabujadvaldanfoydalanabilganligihaqidama’lumotlar bor. KeyinchalikG‘arbiyYevropadabusonlaruchburchagihaqida M. Shtifel3 arifmetikabo‘yichaqo‘llanmalaridayozganva u ham butunsondanistalgan natural ko‘rsatkichliarifmetikildizningtaqribiyqiymatinihisoblashdabuuchburchakdanfoydalanabilgan. 1556 yilda bu sonlar jadvali bilan N. Tartalya4 , keyinroq logarifmik lineyka ijodkori U. Otred5 (1631 yil) ham shug‘ullanganlar. 1654 yilga kelib B. Paskal o‘zining “Arifmetik uchburchak haqidagi traktat” nomli asarida bu sonlar jadvali haqidagi ma’lumotlarni e’lon qildi.
Nyuton binomi haqida umumiy ma’lumotlar O‘rta maktab matematikasi kursidan quyidagi ikkita qisqa ko‘paytirish formulalarini eslaylik: 2 2 2 (a  b)  a  2ab b – yig‘indining kvadrati; 3 3 2 2 3 (a  b)  a  3a b  3ab  b – yig‘indining kubi. Yig‘indiningnavbatdagiikkita, ya’ni 4-va 5-darajalarini hisoblaymiz: (  )  (  )(  )  (  )(  3  3  )  4 3 3 2 2 3 a b a b a b a b a a b ab b 4 3 2 2 3 4  a  4a b  6a b  4ab  b ,  5 4 (a b) (a b)(a b) 5 4 3 2 2 3 4 5  a  5a b 10a b 10a b  5ab  b . Shundayqilib, yig‘indiningbikvadrati (ya’nito‘rtinchidarajasi) 4 4 3 2 2 3 4 (a  b)  a  4a b  6a b  4ab  b vayig‘indiningbeshinchidarajasi
Yuqorida keltirilgan yig‘indining kvadrati, kubi, bikvadrati va beshinchi darajasi formulalari o‘ng tomonlaridagi ko‘phad koeffitsientlari Paskal uchburchagining mos qatorlaridagi m Cn ( n  2,3,4,5 ) sonlar ekanligini payqash qiyin emas. 1-t e o r e m a . Barchahaqiqiy a va b hamda natural n sonlaruchun n nnnnnnnnn a  b  a C a b C a b C ab  b 1 1 2 2 2 1 1 ( ) ... formula o‘rinlidir. I s bo t i . Matematikinduksiyausuliniqo‘llaymiz. Baza: n 1 bo‘lganda formula to‘g‘ri: a  b  a  b 1 ( ) . Induksiono‘tish: isbotlanishikerakbo‘lgan formula n  k uchunto‘g‘ribo‘lsin, ya’ni k kkkkkkkkk a  b  a C a b C a b C ab  b 1 1 2 2 2 1 1 ( ) ... . Formula n  k 1 bo‘lganda ham to‘g‘riekanliginiisbotlaymiz. Haqiqatdan ham, 1 1 1  m n m n m Cn C Cformuladanfoydalanib, quyidagilarnihosilqilamiz:  kk (a b) (a b)(a b) 1  ( )( ... ) 1 1 2 2 2 k 1 k 1 k kkkkkk a b a C a b C a b C ab b  k kkkkkkk a C a b C a b ... C ab 1 1 2 1 2  0 1 1 2 1 1 ... k kkkkkk Ck a b C a b C ab b ( ) ( ) ... 1 0 1 1 2 1 2  a C C a b C C a b k kkkkkk1 1 ... ( ) k kkkk Ck C ab b 1 1 2 1 2 1 1 1 1 ...  k kkkkkkkk a C a b C a b C ab b . ■ Ixtiyoriy a va b haqiqiysonlarhamda n natural son uchun n (a  b) ifodaningko‘phadshaklidagiyoyilmasi (tasvirlanishi) Nyuton6 binomi deb ataladi. Umumanolganda, “Nyutonbinomi” iborasigatanqidiynuqtainazardanyondoshilsa, undagiikkalaso‘zganisbatan ham shubhatug‘iladi: birinchidan, n (a  b) ifodabirdankatta natural n sonlaruchunbinom (ya’niikkihad) emas; ikkinchidan, natural sonlaruchunbuifodaningyoyilmasiNyutongachama’lum edi7 . Greklar n (a  b) ifodaningqatorgayoyilmasini n ningfaqat n  2 bo‘lganholida (ya’ni, yig‘indikvadratiningformulasini) bilaredilar. Umar Hayyom8 va Ali Qushchi n (a  b) ifodani n  2 bo‘lgan natural sonlaruchun ham qatorgayoyabilganlar. Nyutonesa 1767 yildayoyilmaformulasiniisbotsizmanfiyvakasr n sonlaruchun ham qo‘llagan. L. Eyler 1774 yildaNyutonbinomiformulasinikasr n sonlaruchunisbotladi, K. Makloren9 esabuformulanidarajaningratsionalko‘rsatkichlariuchunqo‘lladi. Nihoyat, 1825 yilda N. Abel10 darajako‘rsatkichiningistalgankompleksqiymatlariuchunbinomhaqidagiteoremaniisbotladi.

Download 137,85 Kb.