1-m i s o l. gruppada ixtiyoriy elementlar uchun tenglamalarning har biri bir qiymatli yechiladi.
Yechish.Avval birinchi tenglamani qanoatlantiradigan element mavjud deb faraz qilamiz va uning qanday element ekanligini aniqlaymiz (ya’ni yagonaligini isbot qilamiz), keyin topilgan element haqiqatan berilgan tenglamani qanoatlantirishini tekshiramiz (ya’ni mavjudligini isbot qilamiz).
element bo’ladigan konkret element bo’lsin. U holda , bundan
.
Demak, izlanayotgan element faqat ko’rinishda bo’lishi mumkin. Shu element berilgan tenglamani qanoatlantirishini tekshiramiz: Ikkinchi tenglama uchun ham xuddi shunday muhokama yuritiladi. ■
2-m i s o l. (olmosh (o’rniga qo’yish) lar gruppasi).
barcha ta darajali olmoshlar to’plami bo’lsin.
olmoshlarning ko’paytmasi deb olmoshga aytiladi.
Ixtiyoriy uchun to’plam olmoshlarni ko’paytirishga nisbatan gruppa tashkil etishni ko’rsatamiz. Shu bilan birga n=1; 2 bo’lgan hollarda bu Abel gruppasi, n 3 bo’lganda esa Abel gruppasi emas.
sistema uchun gruppa ta’rifining to’rt shartining hammasini tekshiramiz:
1. bo’lsa bo’lishi olmoshlar ko’paytmasining ta’rifidan bevosita kelib chiqadi.
2. – ixtiyoriy son va bo’lsin.
U holda . Shunday qilib, dagi qanday i sonni olmaylik har ikkala va olmoshlarning har biri uni bitta son ga o’tkazadi. Bu o’z navbatida va -- podstanovkalar dagi bitta podstanovkaning o’zi ekanligini ko’rsatadi., ya’ni = =.
3. da neytral element bo’lib ayniy olmosh xizmat qiladi: ixtiyoriy uchun bo’lishini ko’rish oson.
4. Agar bo’lsa, u holda bo’ladi. Haqiqatan .
Shunday qilib - gruppa.
faqat bitta elementdan iborat. esa ikkita
elementlardan iborat:
va gruppalarning har ikkalasi abel gruppalardir.
Endi bo’lsin.
olmoshlarni olib qaraylik. U holda
ya’ni bo’lganda - abel gruppa emas. ■
n-darajali simmetrik gruppa deyiladi.
| 