(28)
belgilashni kiritamiz. Bunda biz quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:
, (29)
Endi vektorlar uchun fazoning to’rdagi skalyar ko’paytmasi va normasini kiritamiz:
, ,
Ravshanki, (14) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
Bu tenglamani (22) va (23) tengliklar asosida quyidagicha yozib olamiz:
Ohirgi tengliklarni har ikkala tomonini vektor bilan skalyar ko’paytiramiz. Natijada quyidagi hosil bo’ladi:
(30)
Ushbu
qismiy yig’ish formulasida , deb va , tengliklarni hisobga olib,
ni hosil qilamiz. Endi operatorning simmetrikligidan foydalanib,
tenglikka ega bo’lamiz. Oxirgi ikkita munosabatdan foydalanib, (24) ni quyidagicha yozib olamiz:
(31)
Bu tenglik fazoning to’rdagi normasi bo’yicha energetik ayniyat deyiladi.
Endi ushbu
tengsizlikda , deb olib, skalyar ko’paytma uchun quyidagi
tengsizlikni hosil qilamiz. Buning natijasida (25) dan quyidagi baho hosil bo’ladi:
(32)
Hozirgacha ixtiyoriy son edi, endi deb olamiz. U holda shart bajarilganda katta qavslar ichidagi ifoda manfiy bo’lmaydi. Shuning uchun ham (26) dan ushbu
(33)
baho kelib chiqadi.
Ko’rsatish mumkinki, bo’lganda (27) baho o’rinli bo’lishi uchun
(34)
Shart bajarilishi kerak. Endi (27) bahoni ketma-ket qo’llab,
,
bahoni hosil qilamiz. O’ng tomondagi yig’indi integral uchun kvadrat yig’indi bo’lganligi sababli shunday topiladiki,
tengsizlik bajariladi.
Bu yerda
Demak,
.
Bu tengsizlik esa (14), (18) sxemaning boshlang’ich ma’lumotlar hamda o’ng tomonga nisbatan turg’unligini bildiradi.
Shunday qilib, (14), (18) ayirmali sxema bo’lganda shartsiz turg’un bo’lib, bo’lganda va qadamlar orasida (28) shart bajarilganda turg’un bo’ladi.
2.3 Ayirmali sxema qurishning balans metodi.
Issiqlik o’tkazuvchanlik, diffuziya, tebranish va shu kabi turli xil fizik jarayonlar issiqlik, massa, harakat miqdori, energiya va h.k. saqlanishning integral formadagi kqonunlari bilan tavsiflanadi. Matematik fizikaning differensial tenglamalarini chiqarishda kichik hajm uchun saqlanish qonunini ifodalovchi muayyan integral munosabatdan (balans tenglamasidan) ishni boshlashadi. Tenglamada qatnashadigan funksiyalarning barcha kerakli hosilalarini mavjud deb faraz qilib va balans tenglamasidagi hajmlarni nolga intiltirib, differensial tenglama hosil qilinadi. Chekli-ayirmali metodning fizik ma’nosi shundan iboratki, biz uzluksiz muhitdan uning qandaydir diskret modeliga o’tamiz. Tabiiyki, bunday o’tishda fizik jarayonning asosiy xossalari saqlanishini talab qilish kerak. Bunday xossalar qatorida, birinchi navbatda, saqlanish qonunlari turadi. To’r sohada saqlanish qonunlarini ifodalaydigan ayirmali sxemalar konservativ sxemalar deyiladi. Konservativ ayirmali sxemalarni hosil qilish uchun to’r sohada elementar hajm uchun yozilgan balans tenglamalarida qatnashadigan integrallarni va hosilalarni taqribiy ayirmali ifodalari bilan almashtirish kerak. Konservativ ayirmali sxemalarni hosil qilishning bunday usuli balans metodi yoki integral-interpolyatsion metod deyiladi. Balans metodini qo’llashga misol sifatida issiqlik o’tkazuvchanlikning statsionar tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalani qaraymiz:
, (35)
, (36)
Bunda , , lar yetarlicha silliq funksiyalar bo’lib, , shartlarni qanoatlantiradi, va esa berilgan sonlar. Bu shartlar bajarilganda (35), (36) chegaraviy masala yagona yetarlicha silliq yechimga ega bo’ladi. Ayirmali sxema qurish uchun kesmada muntazam
to’rni olamiz. Quyidagi
, ,
belgilashlarni kiritib, (29) tenglamani oraliqda integrallaymiz, natijada
(37)
tenglama hosil bo’lib, u kesmada issiqlikning balans tenglamasini aniqlaydi. Endi
integralni uning taqribiy qiymati bilan almashtirib, quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
, (38)
Natijada (37) tenglama
|
