II BOB. CHIZIQLIMAS ISSIQLIK O’TKAZUVCHANLIK TENGLAMASI UCHUN AYIRMALI SXEMALAR.
Ko’plab amaliy masalalar chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechishga olib kelinadi. Umumiy holda n noma’limli n ta chiziqli bo’lmagan algebraik yoki transendent tenglamalar sistemasi quyidagicha yoziladi:
.
Ushbu (1.1) sistemani vektor shaklida quyidagicha yozish mumkin:
.
bu yerda T – argumentlarning vektor ustuni; ( )T – funksiyalarning vektor ustuni; (…)T – transponirlash operatsiyasi belgisi.
Chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasi yechimini izlash – bu bitta chiziqli bo’lmagan tenglamani yechishga nisbatan ancha murakkab masala. Bitta tenglamani yechish uchun qo’llanilgan usullarni chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechishga umumlashtirish juda ko’p hisoblashlarni talab qiladi yoki uni amaliyotda qo’llab bo’lmaydi. Xususan, bu oraliqni teng ikkiga bo’lish usuliga tegishli. Shunga qaramasdan chiziqli bo’lmagan tenglamani yechishning bir qator iteratsion usullarini chiziqli bo’lmagan tenglamalar sistemasini yechishga umumlashtirish mumkin.
2.2 Ikki qatlamli ayirmali sxemalarning turg’unligini tekshirish.
Qulaylik uchun quyidagi vektorlarni kiritamiz:
, ,
, .
Ushbu , ,…, tugunlar to’plamini –qatlam deymiz, shuning uchun ham va vektorlarni va funksiyalarning –qatlamidagi qiymatidek qarash mumkin. Quyidagi normalarni kiritamiz:
,
, .
Ta’rif. Ayirmali sxema fazoning to’rdagi normasi turg’un deyiladi, agar va ga bog’liq bo’lmagan shunday o’zgarmas son topilib, uning uchun
(24)
baho o’rinli bo’lsa.
Endi (7), (8) ayirmali sxemaning turg’unligini tekshiramiz.
1-teorema. Agar bo’lsa, u holda (7), (8) ayirmali sxema fazoning to’rdagi normasida turg’undir.
Isboti. (7) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:
,
bunda . Agar ga ichki nuqtada erishilsa, u holda
aks holda
demak,
(25)
Endi (7), (8) masalaning yechimini
ko’rinishda yozib olamiz, bunda (7), (8) masalaning o’ng tomoni bo’lgandagi yechimi, esa (7), (8) masalaning chegaraviy va boshlang’ich shartlari nolga teng bo’lgan yechimi. (19) ga ko’ra uchun quyidagini hosil qilamiz:
Ikkinchi tomondan uchun (19) ga ko’ra
bu yerda dan foydalandik. Shunday qilib, quyidagiga ega bo’lamiz:
bunda . Bu tengsizlik barcha , uchun o’rinli, demak, ayirmali sxema fazoning to’rdagi normasi uchun turg’un ekan. Teorema isbotlandi.
|
