Teorema (maksimum prinsipi). Faraz qilaylik miqdorlar da aniqlangan bo’lib, tugunlarda
, ;
tenglamalarni qanoatlantirsin. U holda o’zining modul bo’yicha eng katta qiymatini chegarada qabul qiladi.
Teoremaning isboti 1-va 2-lemmalardan kelib chiqadi.
Bu teoremadan va bo’lganda (21) va (22) bir jinsli tenglamalar sistemasi faqat nol yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. Chunki, agar bo’lsa, u holda o’zining eng katta va eng kichik qiymatlarini maksimum prinsipiga ko’ra chegarada qabul qiladi; ammo da , demak butun sohada . Shuning uchun ham (20), (21) ayirmali sxema yagona yechimga ega.
Endi (20) ayirmali sxemaning turg’unligini ko’rsatamiz. Buning uchun 1.2 dagi taʼriflarni bu yerdagi holga qo’llaymiz. Faraz qilaylik , va lar , va larda aniqlangan funksiyalar fazosi bo’lsin. Bu fazolarda shunday normalar kiritamizki, ular uzluksiz funksiyalar fazolaridagi normalar bilan moslashgan bo’lishi kerak. 1.2 dagi 5-taʼrifga ko’ra, (20), (21) ayirmali sxemalar turg’un bo’lishi uchun , va ga bog’liq bo’lmagan shunday o’zgarmas topilib, (20), (21) masalaning yechimi uchun
baho o’rinli bo’lishi kerak. Biz , , fazolarda quyidagi normalarni kiritamiz:
, ,
.
Endi yuqoridagi bahoni o’rnatish uchun Gershgorin qoidasiga ko’ra funksiya uchun majorant funksiya quramiz. Ushbu
ikkinchi darajali ko’phad uchun
.
Endi majorant funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:
.
Ushbu funksiyaning geometrik maʼnosini tushuntiramiz: 3-chizmada chegarasi bo’lgan soha tasvirlangan. Bu chizmada diagonalning uzunligi ga teng bo’lib, egri chiziq, markazi koordinatalar boshida va radiusi bo’lgan aylanani bildiradi. Shunday qilib, agar bo’lsa, u holda bo’lib, sohaning faqat nuqtasida nolga aylanadi, ammo bu nuqta ga tegishli emas. Demak,
.
Osonlik bilan ko’rish mumkinki, ning barcha nuqtalarida
,
; .
Shuning uchun ayirma tugunlarda
tengsizlikni qanoatlantiradi. 1-lemmaga ko’ra o’zining eng katta qiymatini da qabul qiladi. Ammo chegarada quyidagi munosabat o’rinlidir:
.
Shunday qilib, da , yaʼni . Shunga o’xshash da funksiya uchun quyidagi tengsizliklarni hosil qilamiz:
, .
U holda 2-lemmaga ko’ra da yoki tengsizlik o’rinli bo’ladi. Demak, da bahoni ko’rsatdik. Bundan esa
hosil bo’ladi. Agar deb belgilasak, u holda oxirgi tengsizlikdan
kelib chiqadi. Bundan esa (20), (21) chegaraviy masalaning turg’unligi ham kelib chiqadi. Demak, (20), (21) ayirmali masala (17) tenglamaning aniq yechimiga yaqinlashadi va yaqinlashish tartibi bo’ladi, chunki yaqinlashish tartibi approksimatsiya tartibi bilan ustma-ust tushadi. Boshqa chegaraviy shartlarda (17) tenglama uchun to’r metodining turg’unlik masalasini [5, 24, 44] dan qurish mumkin.
|
