1-chizma.
Agar to’r soha chegarasi bilan birgalikda qaralsa, u holda u yopiq to’r soha deyiladi va orqali belgilanadi.
Biz to’r ustida aniqlangan funksiya uchun belgilash kiritamiz va har bir tugun uchun (1) tenglamada qatnashadigan barcha hosilalarni bo’lingan ayirmalar bilan quyidagicha almashtiramiz:
, (3)
(4)
(5)
(6)
bunda miqdorlar yechimning to’rning tugunidagi taqribiy qiymatlaridir. Tenglama koeffisiyentlarining tugundagi qiymatini , , , , , , orqali belgilaymiz. Hosilalar o’rniga (3)—(6) taqribiy qiymatlarini qo’yib, natijada (1) differensial tenglamaga mos keladigan quyidagi ayirmali tenglamaga ega bo’lamiz:
(7)
Bunday tenglamani har bir ichki tugun uchun yozish mumkin. Agar chegaraviy tugun bo’lsa, u holda ni bu tugunga yaqinroq bo’lgan ning ustidagi qiymatiga teng deb olamiz (chegaraviy tugunlarda larning qiymatini boshqacha yo’l bilan topishni biz keyinroq ko’rib chiqamiz). Shunday qilib, yechimning ichki tugunlardagi qiymatini topish uchun algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Bu sistemada tenglamalarning soni nomaʼlumlar soniga teng. Agar bu sistema yechimga ega bo’lsa, u holda uni yechib, ichki tugunlarda qidirilayotgan yechimning taqribiy qiymatiga ega bo’lamiz.
Biz bu yerda to’g’ri burchakli to’rtburchakdan tuzilgan to’rni ko’rdik. Keyinchalik boshqa xildagi to’rlarni ham ko’rib chiqamiz.
1.2 Turg’unlik, approksimatsiya va yaqinlashish
Faraz qilaylik chegarasi bo’lgan sohada ushbu
(8)
, (9)
chegaraviy masala berilgan bo’lsin. Bu yerda — ixtiyoriy ikkinchi tartibli chiziqli differensial operator, — birinchi tartibli differensial operator yoki chekli algebraik ifoda, xususiy holda va , , , …, — berilgan funksiyalar.
Endi da yotuvchi qandaydir to’r sohani quramiz, keyin orqali ning nuqtalarida (tugunlarda) aniqlangan funksiyalarning fazosini belgilaymiz, operator dagi funksiyalarni biror to’r sohada aniqlangan funksiyalarga o’tkazsin, da aniqlangan funksiyalar to’plamini orqali belgilaymiz. Chegaraviy shartlarni approksimatsiyalash uchun sohaning chegarasiga mos keladigan to’r chegarasini tanlab, orqali da aniqlangan funksiyalar to’plamini belgilaymiz.
1 - taʼrif. Agar bo’lib, funksiya da aniqlangan bo’lsa, u holda ning to’plamdagi izi deb shunday funksiyaga aytiladiki, u to’plamda aniqlangan va bu yerda bilan ustma-ust tushadi.
Agar funksiya ni o’z ichiga olgan to’plamda aniqlangan bo’lsa, u holda ning dagi izini orqali belgilaymiz.
Faraz qilaylik (8) va (9) chegaraviy masala yechimlarining fazosi, (8) tenglamaning o’ng tomonidagi funksiyalarning fazosi, esa da aniqlangan funksiyalarning fazosi bo’lsin.
2 – ta’rif. Faraz qilaylik , , , , , fazolarda
, , , , ,
normalar aniqlangan bo’lsin. Bu normalar moslangan deyiladi, agar da har qanday yetarlicha silliq , , funksiyalar uchun quyidagi
,
,
munosabatlar o’rinli bo’lsa.
3 - taʼrif. Agar
bo’lsa, u holda to’r funksiyasi (8), (9) chegaraviy masalaning yechimiga yaqinlashadi deyiladi.
Agar ga bog’liq bo’lmagan va o’zgarmas sonlar uchun
tengsizlik bajarilsa, u holda yaqinlashishning tartibi ga nisbatan ga teng deyiladi.
To’r ustida ushbu
, (10)
|
