(39)
ko’rinishga ega bo’ladi. Endi ni ning to’r nuqtalaridagi qiymatlari orqali ifodalaymiz. Buning uchun ifodani kesmada intefallaymiz, natijada
(40)
hosil bo’ladi. Agar
(41)
deb belgilab olsak, (40) dan quyidagi takribiy tengliklarni hosil qilamiz:
,
Bu ifodalarni (39) tenglamaga qo’yib, izlanayotgan funksiyaning , , nuqtalardagi qiymatini o’z ichiga olgan ushbu
(42)
ayirmali tenglamaga ega bo’lamiz. (42) tenglamani to’r sohaning barcha ichki nuqtalari, ya’ni uchun yozsak, u holda ta noma’lumli tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Ikkita yetmagan tenglamani (36) dastlabki shartdan hosil qilamiz:
(43)
Ayirmali masalaning yechimini differensial masalaning yechimidan farq qilish uchun urgi orqali belgilaymiz, demak, , . Endi (42) va (43) tenglamalarni birlashtirib, (35), (36) chegaraviy masala uchun quyidagi ayirmali sxemaga ega bo’lamiz:
(44)
Bu sistemani haydash metodi bilan yechish maqsadga muvofiq bo’ladi. Buning uchun (38) sistemani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:
, , ,
bunda
, , ,
Chegaraviy masalaning koeffitsientlariga qo’yilgan shartlardan va kelib chiqadi, bulardan esa ni, ya’ni haydash metodining turg’unlik shartini hosil qildik. Demak, (38) ayirmali masala yagona yechimga ega va bu yechimni haydash metodi bilan topish mumkin.
Endi (35) differensial tenglamani (44) ayirmali tenglama bilan almashtirganda yuzaga keladigan approksimatsiya xatoligini tekshiramiz. Buning uchun (29) tenglamaning chap tomonini va (38) tenglamaning chap tomonini orqali belgilaymiz, ya’ni
,
Faraz qilaylik, yetarlicha silliq funksiya bo’lib, uning to’rdagi qiymati bo’lsin. Endi
(45)
baho o’rinli ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun operator tarkibidagi ni nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyamiz. Ravshanki,
Demak
Ikkinchi tomondan
Bu munosabatlardan
ni hosil qilamiz. (39) shart bajarilishi uchun
, (46)
, (47)
tengliklar o’rinli bulishi kerak.
Endi deb belgilaymiz va ni nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyamiz, natijada
hosil bo’ladi. Demak,
Shunga o'xshash
Bulardan esa
,
larga ega bo’lamiz, bular esa (45) ni isbotlaydi. (47) tengliklarning bajarilishini kursatish qiyin emas. Haqiqatan ham, va ni mos ravishda va bilan almashtirish (38) integralni o’rta tugunli to’g’ri burchakli to’rtburchak formulasi bilan hisoblashdan iboratdir. Ma’lumki, bunday formulaning qoldiq hadi . Shunday qilib, biz (46), (47) tengliklarni va shu bilan birga (45) bahoni ko’rsatdik. Bu esa operator ni (35), (36) masalaning yechimida ga nisbatan ikkinchi tartibli approksimatsiya qilishini ko’rsatadi.
|
