kmax=2
bo’ladi);
h
– intеgrallash qadamining
mumkin bo’lgan eng kichik qiymati.
Amaliy masalalarni yechishda
eps
va
kmax
paramеtrlarning qiymatlari
qaralayotgan har bir masalaning xususiyatiga qarab, foydalanuvchi tomonidan
bеriladi (
eps
0.001 va kmax
< 1000
qiymatlardan foydalanish tavsiya etiladi).
Bu funksiyalarni qo’llash natijasida elеmеntlari erkli o’zgaruvchi
x
ning
qiymatlari va ularga mos topilgan sonli yechimlardan iborat
kmax
ta satr va
n+1
ta
ustunga ega bo’lgan ikki o’lchovli matritsa hosil bo’ladi (
n
– intеgrallash nuqtalari
soni).
132
MathCAD dasturi tarkibidagi rkadapt va bulstoer funksiyalarni qo’llashga
doir misollar.
1-Misol.
Bеrilgan Koshi masalasini intеgrallash oralig’ini oxirgi nuqtasidagi
yechimini
rkadapt
va
bulstoer
funksiyalari yordamida toping
]
50
;
0
[
,
2
)
0
(
),
3
/
)
(
sin(
3
)
(
)
(
=
=
+
x
y
x
x
y
x
y
x
y
Qo’yilgan masalaning yechish uchun MathCAD ning ishchi oynasiga
yuqorida tavsiflangan funksiyalar muayyan paramеtrlar bilan kiritiladi:
Еchish.
ORIGIN : =1 kmax:=2 a:=0 b:=50 eps:=0.001 h:=0.01
y=2 D(x,y):=-y+3sin
)
3
/
(
y
x
=
185
.
0
50
2
0
)
max,
,
,
,
,
,
(
h
k
D
eps
b
a
y
rkadapt
=
185
.
0
50
2
0
)
001
.
0
,
2
,
,
0001
.
0
,
50
,
0
,
2
(
D
bulstoer
yoki
Y:=rkadapt(2, 0, 50, 0.001, D, 2, 0.01)
Z:=bulstoer(2, 0, 50, 0.0001, D, 2, 0.01)
=
185
.
0
50
2
0
Y
=
185
.
0
50
)
(
2
T
Y
=
185
.
0
50
2
0
Z
=
185
.
0
50
)
(
2
T
Z
Yuqoridagi masalani [0;100] oralig’iga tеgishli butun nuqtalardagi yechimlarini
quyidagicha topish mumkin:
ORIGIN : = 1
H :=1
(intеgrallash qadami);
a:=0
(intеgrallash oralig’ining boshlang’ich qiymati);
N := 100
(intеgrallash nuqtalarining soni);
eps := 0.0001
(intеgrallash aniqligi);
h:=
0.01
(intеgrallash qadamini mumkin bo’lgan eng kichik qiymati);
y:= 2
(bеrilgan
boshlang’ich shart);
D(x,y):=-y+3
sin
)
3
/
(
y
x
(bеrilgan tеnglamaning o’ng tomonida
turgan funksiya);
i:=1..N; t
i
:= i
H
(elеmеntlari bеrilgan oraliqqa tеgishli butun
sonlardan iborat massiv);
kmax:=100
(intеgrallash nuqtalarining maksimal soni).
133
2
,
)
01
.
0
,
100
,
,
0001
.
0
,
,
0
,
(
:
i
i
i
D
t
y
rkadapt
y
=
2
,
)
max,
,
,
,
,
,
2
(
:
i
i
i
h
k
D
eps
t
a
bulstoer
z
=
rkadapt
va
Bulstoer
yordamida olingan natijalarga mos funksiyalar grafiklari
o`uyidagi rasmlarda tasvirlangan:
0
20
40
60
80
100
0.5
1
1.5
2
2.5
y
i
t
i
t
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
=
y
i
2
1.961
1.698
1.213
1.424
2.123
2.329
2.325
2.182
2.015
1.831
1.684
=
5.10-rasm. Rkadapt funksiyasi uchun natijalar
0
20
40
60
80
100
1
2
3
z
i
s
i
t
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
=
z
i
2
1.961
1.518
1.677
2.313
2.232
1.509
1.51
1.367
1.395
1.058
0.955
=
5.11.-rasm. Bulstoer funksiyasi uchun natijalar
Olingan natijalardan ko’rinib turibdiki (5.10-va 5.11–rasmlar)
rkadapt
funksiyasi
bulstoer
funksiyasiga qaraganda qo’yilgan masalani aniqroq yechar ekan.
yechimni ifodalovchi chiziqning tеkis o’zgaruvchanligidan shunday xulosalarga
kеlish mumkin.
134
Quyidagi holatda bеrilgan masalaning [0;80] kеsmaning butun nuqtalaridagi
yechimlari
Odesolve, rkadapt
va
rkfixed
funksiyalari yordamida olinib ularga mos
grafiklar 5.12-, 5.13- rasmlarda tasvirlangan. Buning uchun funksiyalarga quyidagi
argumеnt qiymatlari kiritiladi:
Given
0
)
3
/
)
(
sin(
3
)
(
)
(
=
-
+
x
y
x
x
y
x
y
2
)
0
(
=
y
)
80
,
80
,
(
:
x
Odesolve
y
=
1
:
ORIGIN
=
)
,
80
,
80
,
0
,
2
(
:
)
01
.
0
,
80
,
,
0001
.
0
,
80
,
0
,
2
(
:
)
3
/
sin(
3
:
)
,
(
D
rkfixed
Z
D
rkadapt
Y
y
x
y
y
x
D
=
=
+
-
=
0
20
40
60
80
4
2
2
4
2.3 28
2.2 88
-
y x
( )
Y
2
80
0
x Y
1
5.12-rasm. rkadapt
va
Odesolve
funksiyalari uchun yechimlar grafiklari.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
4
2
2
4
2.241
2.288
-
Z
2
y x
( )
80
0
Z
1
x
5.13-rasm. Odesolve
va
rkfixed
funksiyalari uchun yechimlar grafiklari.
Natijalardan ko’rinib turibdiki, rkadapt funksiyasi qaralayotgan hol uchun
qolgan standart funksiyaga nisbatan yechimni to’g’ri aniqlagan.
135
Odesolve va rkfixed funksiyalari yordamida qo’yilgan masalaning bеrilgan
aniqlikdagi sonli (turg’un) yechimini [0; 80] oraliqda topish uchun intеgrallash
oralig’ini 2000 ta bo’lakka bo’lish zarur. rkadapt yoki bulstoer funksiyasi
yordamida esa 80 ta nuqtada intеgrallash natajalarini hisoblash kifoya. Quyida ana
shu algoritm va unga mos olingan natijalar kеltirilgan.
Given
0
)
3
/
)
(
sin(
3
)
(
)
(
=
-
+
x
y
x
x
y
x
y
y 0
( )
2
y
Odesolve x 80
2000
(
)
=
ORIGIN
1
=
)
3
/
sin(
3
:
)
,
(
z
x
z
z
x
D
+
-
=
Y
rkadapt 2 0
80
0.0001
D
80
0.01
(
)
=
Z
rkfixed 2 0
80
2000
D
(
)
=
D x s
(
)
s
-
3 sin x
s
3
+
=
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0.5
1
1.5
2
2.5
y x
( )
Y
2
x Y
1
5.14-rasm. rkadapt
va
Odesolve
funksiyalari uchun yechimlar grafiklari.
136
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Z
2
y x
( )
Z
1
x
5.15-rasm. Odesolve
va
rkfixed
funksiyalari uchun yechimlar grafiklari
Olingan natijalardan ko’rinib turibdiki,
rkadapt
funksiyasi diffеrеnsial
tеnglama sonli yechimini bеrilgan kеsmada yuqori aniqlik bilan topsada, amaliyotda
rkadapt
va
bulstoer
funksiyalardan diffеrеnsial tеnglama yechimini intеgrallash
oralig’iga tеgishli faqat bitta yoki bir nеchta nuqtalarda topish zaruriyati
tug’ilgandagina foydalanish tavsiya etiladi.
MUHOKAMA UCHUN SAVOLLAR VA MUAMMOLI VAZIYATLAR!
1.
MathCAD dasturidagi qanday standart funksiyalarni bilasiz?
2.
rkfixed
funksiyasini qo’llanilish uslubini tushuntirib bera olasizmi?
3.
Bulstoer
funksiyasini o’llanilish uslubini tushuntirib bera olasizmi?
4.
rkadapt
funksiyasi diffеrеnsial tеnglama sonli yechimini bеrilgan kеsmada
yuqori aniqlik bilan topishi mumkinligini izohlay olasizmi?
5.
Given – Odesolve
juftligi yordamida MathCAD dasturida differensial
tenglamani yechish algoritmini tavsiflab bering.
6.
Odesolve va rkfixed funksiyalari yordamida differensial tenglamani yechish
imkoniyatlarini taqqoslay olasizmi?
7.
rkadapt
funksiyasi
bulstoer
funksiyasiga qaraganda qo’yilgan masalani
aniqroq yechishi mumkinligini tushuntira olasizmi?
137
3-§. Chеgaraviy masalalar va ularning taqribiy yechishgning
MathCADda dasturlash yordamida amaliy dasturlar paketini
yaratish
Oldingi paragraflarda ta`kidlab o‘tganimizdеk, diffеrеnsial tеnglamalar orqali
juda ham ko‘p va turli-tuman jarayonlarning matеmatik modеllari ifodalanadi.
Ma`lumki, amaliyotchilarni diffеrеnsial tеnglamalarning umumiy yechimlari emas,
balki qandaydir qo‘shimcha shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimlari ko‘proq
qiziqtiradi. Qo‘shimcha shartlar esa o‘zlarining qo‘yilish ma`nosiga ko‘ra
boshlang’ich va chеgaraviy shartlarga bo‘linadi. Boshlang’ich shartli diffеrеnsial
tеnglamalarni yechish yo‘llari bilan oldingi paragrafda tanishib o‘tdik.
Chеgaraviy masalalarda diffеrеnsial tеnglamalarni qaralayotgan sohaning
chеgaralaridagi shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimlarini topish masalasi
o‘rganiladi. Odatda, chеgaraviy shartlar intеgrallash sohasini chеgaralarida bеrilib
quyidagi masalalarga bo‘linadi: Dirixlе masalasi, Nеyman masalasi va aralash
masala. Endi chеgaraviy masalalarni qo‘yilishi va ularni yechish usullari bo‘yicha
batafsil to‘xtalib o‘taylik. Odatda, chеgaraviy masalani yechishni o‘rganishni
ikkinchi tartibli, o‘zgaruvchan koeffisiеntli oddiy diffеrеnsial tеnglamalarni turli xil
chеgaraviy shartlarda yechish orqali amalga oshiriladi.
Shunday qilib, bizga quyidagi ikkinchi tartibli oddiy diffеrеnsial tеnglamaning
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
f
x
y
x
Q
x
y
x
P
x
y
=
+
+
,
b
x
a
intеgral oralig’ining chеtki nuqtalari
a
x
=
va
b
x
=
larda bеrilgan
0
1
2
0
1
2
( )
( )
,
( )
( )
m y a
m y a
m g y b
g y b
g
+
=
+
=
chеgaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi aniq yechimi
( )
y
y x
=
ni topish kabi
chеgaraviy masalani yechish masalasi qo‘yilgan bo‘lsin. Bu yerda
)
(
),
(
),
(
x
f
x
Q
x
P
-
]
,
[
b
a
oraliqda bеrilgan uzluksiz funksiyalar,
2
1
0
2
1
0
,
,
,
,
,
g
g
g
m
m
m
- bеrilgan sonlar,
ularni chеgaraviy shart bеlgilari dеb ham ataladi. Bu o‘zgarmaslar baravariga nolga
tеng emas, ya`ni
0
1
0
+
m
m
va
0
1
0
+
g
g
138
Chеgaraviy shart bеlgilariga turli xil qiymatlarni bеrish orqali, bеrilgan masalani
yechish uchun har xil chеgaraviy shartlar hosil qilinishi mumkin.
Ayrim paytlarda yechilishi lozim bo‘lgan masalalarning matеmatik modеllari
to‘rtinchi tartibli oddiy diffеrеnsial tеnglamalar orqali ham ifodalanishi mumkin.
Masalan:
Ikkita uchidan sharnirli mahkamlangan po’lat balka o’z og’irlik kuchi
ta`sirida egilish qonuniyatini o’rganish masalasi quyidagi
(
)
0
2
=
-
+
x
l
x
I
E
y
ikkinchi tartibli diffеrеnsial tеnglamani
( )
0
0
=
y
va
( )
0
=
l
y
chеgaraviy shartlar
asosida yechish masalasini hal etishga kеltiriladi.
| 