Qurilish muhandisligi

Hosil bo’lgan geometrik obraz qutb koordinatalar sistemasi deyiladi va
ko’rinishda
belgilanadi.
O nuqtani qutb boshi, OP nur esa qutb o’qi deyiladi.
Tekislikda
qutb koordinatalar sistemasi va ixtiyoriy N nuqta berilgan bo’lsin, bu
nuqtaning tekislikdagi vaziyatini ma’lum tartibda olingan ikkita son:
1.
OE birlik kesmada o’lchangan
masofa (33 - chizma).
2.
OP nur ON nurning ustiga tushishi uchun burilishi kerak bo’lgan yo’nalishli
burchak bilan to’liq
aniqlanadi.
ni N nuqtaning qutb radiusi, ni N nuqtaning qutb burchagi deyiladi. Ularni birgalikda
N nuqtaning qutb koordinatalari deyiladi va
ko’rinishda yoziladi. O nuqta uchun
, - aniqlanmagan.
Agar
o’zgarsa, tekislikni har bir nuqtasi qutb koordinatalar bilan
ta’minlanadi.
Qutb koordinatalar sistemasini yasash uchun oriyetirlangan tekislikda Biror O nuqta
olamiz va bu nuqtadan chiquvchi Ox o’qi kabi nur yasaymiz.

Bu nurni qutb o’qi va berilgan O nuqtani qutb boshi deymiz. Yana bitta nurni qutb
boshidan qo’yib va uni (radianda o’lchanadi) burchakka borib yuqoridagi rasmdagi
figurani hosil qilamiz. Qutb koordinatalar sistemasida nuqtaning vaziyati
sonlar
jufti bilan aniqlanadi. Bunda
burchak qutb o’qiga nisbatan xosil qilgan burchag.
Qutb boshining koordinatalari
, qutb o’qi nuqtalari uchun esa
,
Bunda xam xuddi trigonometriyadagi kabi soat miliga qarshi burish musbat soat
mili bo’yicha burish esa manfiy bo’ladi. Bu yerda nuqtaninig vaziyatini aniqlovchi
burchak bir qiymatli aniqlanmaydi, bu burchakning
va
(bunda n
butun son) qiymatlari xam shu nuqtani beradi.
Agar qutb koordinatalardagi ikkita
va
nuqta quyidagi chizmadagidek
berilgan bo’lsa bu nuqtalar orasidagi d masofani topish uchun kosinuslar teoremasidan
foydalanamiz:
1

1-misol.
. 33- chizmada berilgan nuqtalar tasvirlangan.
Ravshanki, har qanday
juft haqiqiy sonlar uchun tekislikning bitta nuqtasi mavjud
bo’lib, bu sonlar shu nuqtaning koordinatalari bo’ladi. Ammo bir nuqtaning o’ziga
cheksiz ko’p sonlar mos keladi. Chunki, N nuqtaning koordinatalari
bo’lsa,
(bu yerda k=0, 1…). Juftlari ham shu N nuqtaning koordinatalari bo’ladi,
chunki ON nur OP qutb o’qini burchak qadar burishdan hosil bo’ladi deb faraz qilinsa,
u holda OP nurni
qadar burishdan ham o’sha nurning o’zini hosil qilish
mumkin.
N nuqtaning qutb burchagi qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlar orasidan
tengsizlikni qanoatlantiradigan qiymatini N nuqta qutb burchaginig bosh
qiymati deyiladi. ON nur OP nurga qarama-qarshi yo’nalgan bo’lsa, 180
0
ga ikki
yo’nalishda burish mumkin, bu vaqtda qutb burchagining bosh qiymati uchun
qabul qilinadi.
Nuqtaning qutb va dekart koordinatalari orasidagi bog’lanish.
Tekislikda
qutb koordinatalar sistemasi berilgan. Koordinatalar boshi qutb boshi
bilan, absissalar o’qining musbat qismi qutb o’qi bilan ustma-ust tushadigan musbat
yo’nalishli (О, ) dekart reperini kiritamiz (34-chizma).
Tekislikdagi N nuqtaning qutb koordinatalar
dekart koordinatalari x, y bo’lsin.
To’g’ri burchakli ONN
1
uchburchakdan
(17.1)
Nuqtaning qutb koordinatalari ma’lum bo’lsa, uning dekart koordinatalari (17.1)

formuladan topiladi.
Agar N nuqtaning dekart koordinatalari ma’lum bo’lsa, uning qutb koordinatalarini
ushbu
33-chizma
(17.2)
formuladan topiladi.
Eslatma. N nuqtaning dekart koordinatalaridan qutb koordinatalariga o’tishda
formula qutb burchagini qiymatini to’liq aniqlamaydi, chunki buning uchun yana
ning miqdori musbat yoki manfiy ekanligini ham bilish kerak. Odatda bu N nuqtaning
qaysi chorakda joylashishiga qarab aniqlanadi. Masalan, (17.2) formulada
bo’lsa,
tg = 1 bo’lib, =45
0
. Lekin,
bo’lganda ham tg = 1 bo’lib,
emas,
bo’lishi
kerak, chunki (-3; -3) nuqta uchinchi chorakda joylashgan burchakning qiymati va
ishorasini cos, sin ga qarab aniqlash qulayroq.
Qutb koordinatalar sistemasida ikki nuqta orasidagi masofa.
Qutb koordinatalari bilan
va
nuqtalar orasidagi masofani hisoblash
formulasini chiqaraylik.
Tekislikdagi N
1
va N
2
nuqtalarning dekart koordinatalari
va
bo’lsin. (7.1)
formulaga ko’ra
va
U holda
(18.1)
(18.1) qutb koordinatalari bilan berilgan ikki nuqta orasidagi masofani hisoblash
formulasi.
Orientasiya: Bir vektordan ikkinchisiga qisqa burilish yo'nalishi soat strelkasi
yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lsa, bu vektorlar o'ng ikkilik, aks holda chap ikkilik
tashkil qiladi deyiladi. Bazis sifatida biror ikkilik tanlansa, biz orientatsiya tanlab

olingan deb hisoblaymiz. Bizga {ij} va {i j} ortonormal bazislar berilgan bolsin. Bu
bazislar yordamida kiritilgan Dekart koordinatalar sistemasilarini mos ravishda O xy
va O 'x'y' bilan belgilaylik. Nuqtaning “eski” va “yangi” koordinatalari orasidagi
bog'lanishni topamiz. "Yangi” koordinatalar sistemasi markazining “eski” koordinata
sistemasidagi koordinatalarini (a, b ) bilan belgilayli
Tekislikda M nuqta berilgan bo'lib,uning Oxy va O 'x'y' sistemalardagi koordinatalari
mos ravishda (x,y) va (x\y') juftliklardan iborat bo'lsin.
Biz quyidagi tengliklarga ega bolamiz:
munosabatlami hosil qilamiz. Bu ifodalarni: ga qoyib
tenglikni hosil qilamiz.
Bazis vektorlari{i;j} bazislar bir xil orientatsiyaga ega. Bu holda agar Fi i bilan j
vektorlar orasidagi burchakni belgilasak, j va j shtrix vektorlar orasidagi burchak ham
Fi ga teng bo'ladi. Yuqoridagi (1) tengliklaming har ikkalasini i va j vektorlarga
skalyar ko'paytirib, formulalarni olamiz.
Agar {i;j} va {I’vaj’} bazislar har xil orientatsiyaga ega bo‘lsa,jvaj’ vektorlar
orasidagi burchak PI-FI ga teng bo’ladi. Bu holda ( 1 ) tengliklarning har birini i va j
vektorlarga skalyar ko'paytirib formulalarni hosil qilamiz. Bu formulalarni (2)
formulalarga qo'yib, mos ravishda quyidagi ikkita formulalarni olamiz: Bu holda o'tish
determinanti uchun tenglik o'rinli. Ikkinchi holda bazislaming orientatsiyalari har xil
va koordinatalarni almashtirish formulalari ko'rinishda bo'ladi. Bu holda o'tish
determinanti uchun tenglik o'rinli bo'ladi. Demak, koordinatalar sistemesini
almashtirganimizda o'tish matritsasining determinanti musbat bo'lsa, oriyentatsiya
o'zgarmaydi. Agar o'tish matritsasining determinanti manfiy bo'lsa, oriyentatsiya
qaramaqarshi oriyentatsiyaga o'zgaradi.

Download 1,36 Mb.