- Ta’rif. Erkli o‘zgaruvchi x, x ∈ (a, b) noma’lum funksiya y va uning hosilalari
orasidagi ushbu
F (x, y, yr, yrr, ..., y(n)) = 0 (1.1.1)
funksional bog‘lanishga differensial tenglama deyiladi.
- Ta’rif. Ushbu
yr = f (x, y) (1.1.2)
ko‘rinishdagi tenglamaga birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilgan oddiy differensial tenglama deyiladi.
- Ta’rif. Ushbu
F (x, y, yr) = 0 (1.1.3)
ko‘rinishdagi tenglamaga birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilmagan oddiy differensial tenglama deyiladi.
- Ta’rif. Ushbu
y(n) = f (x, y, yr, yrr, ..., y(n—1)) (1.1.4)
ko‘rinishdagi tenglamaga hosilaga nisbatan yechilgan n− tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
- Ta’rif. Agar f (x, y, yr, yrr, ..., y(n—1)) yoki F (x, y, yr, yrr, ..., y(n)) lar y, yr, yrr, ..., y(n—1) va y(n) argumentlarga nisbatan chiziqli funksiyalar bo‘lsa, tegishli differensial tenglama chiziqli deyiladi.
Yuqoridagi differensial tenglamalarda noma’lum funksiya bir argumentli deb qaraladi. Aslida noma’lum funksiya ko‘p argumentli bo‘lgan hollar ham tez-tez uchraydi. Bunday hollarda differensial tenglama xususiy hosilali deyiladi.
Ushbu F (u, ∂u, ∂u) = 0 tenglama birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalardan,
∂ x ∂y
∂ u
Φ( u, ,
∂ x
∂u ∂2u
∂ y , ∂x2 ,
∂ 2u
,
∂ x∂x
∂ 2u
∂y2 ) = 0
tenglama esa ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalardan iborat. Quyidagi
∂u 2 ∂2u
∂x = a ∂y2 (issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi)
∂2u ∂2u
∂x2 + ∂y2 = 0 (Laplas tenglamasi)
∂2u ∂2u
∂x2 + ∂y2 = f (x, y) (Puasson tenglamasi)
tenglamalar ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarning muhum xususiy hollari hisoblanadi, ularda noma’lum funksiya ikki argumentlidir.
- Ta’rif. (1.1.2) differensial tenglamaning
y(x0) = y0 (1.1.5)
boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi y(x) yechimini topish masalasiga Koshi masalasi deyiladi. Bu yerda x0 va y0 oldindan berilgan haqiqiy sonlardir.
- Ta’rif. (1.1.4) hosilafa nisbatan yechilgan n− tartibli differensial
tenglamaning
y(x0) = y0, yr(x0) = yr , yrr(x0) = yrr, ..., y(n—1)(x0) = y(n—1)
(1.1.6)
0 0 0
boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi y( x) yechimini topish masalasiga Koshi masalasi deyiladi.
Geometrik tilda: yr = f ( x, y) tenglamaning ( x0, y0) nuqtadan o‘tuvchi integral chizig‘ini topish masalasiga Koshi masalasi deyiladi.
Oddiy differensial tenglamalar nazariyasining asosiy masalalaridan biri, bu Koshi masalasi bo‘lib, uning yechimi mavjudmi? Agar bunday yechim mavjud bo‘lsa, u yagonami? Agar yechim mavjud va yagona bo‘lsa, bu yechimni topish algoritmi qanday bo‘ladi?, degan savollarga javob berishdan iborat. Bu savollarga javob beradigan teoremalar mavjudlik va yagonalik teoremalari deb yuritiladi.
- Ta’rif. (1.1.2) differensial tenglama berilgan bo‘lib , unda f (x, y) funksiya R2 tekislikning G sohasida aniqlangan bo‘lsin. Agar I (ochiq, yopiq, yoki yarim ochiq) intervalda aniqlangan ϕ(x) funksiya uchun quyidagi uchta shart:
1) (x, ϕ(x)) ∈ G, G ⊂ R2, x ∈ I,
2) ϕ(x) ∈ C1(I),
dx
3) dϕ(x) = f (x, ϕ(x)), x ∈ I,
(1.1.7)
bajarilsa, u holda bu funksiya I intervalda (1.1.2) differensial tenglamaning yechimi deyiladi.
- Ta’rif. (1.1.2) differensial tenglamaning har bir y = ϕ(x) yechimiga mos egri chiziq (ya’ni y = ϕ(x) funksiyaning grafigi) shu tenglamaning integral chizig‘i deyiladi.
dx
1 -Misol. dy = 2x tenglamani (1.1.9) ta’rif yordamida yeching.
Yechish:
dx
dy = 2x tenglama uchun G = R2 bo‘lib, ϕ(x) = x2 + 1 funksiya R to‘plamda (ya’ni
−∞ < x < +∞ intervalda) yechim bo‘ladi. Haqiqatdan ta‘rifga ko‘ra:
1). (x, x2
+ 1) ∈ R2, x ∈ R; 2). x2
+ 1 ∈ C
1(R); 3) .
d( x2 + 1)
= 2 x.
dx
Mavjudlik va yagonalik teoremalari.
Har bir (1.1.2) ko‘rinishdagi differensial tenglamalar uchun Koshi masalasining yechimi bormi yoki yo‘qmi? Agar bunday yechim bor bo‘lsa, u yagonami?, Qachon Koshi masalasi yechimga ega emas? kabi savollarga javob beradigan teoremalar mavjudlik va yagonalik teoremalari deb yuritiladi. Quyida ularning asosiylarini keltiramiz.
∂y
- Teorema (Koshi teoremasi) Agar f (x, y) funksiya G sohada aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, uning y bo‘yicha xususiy hosilasi ∂f(x,y) biror Q (Q ⊂ G) sohada aniqlangan
va uzluksiz bo‘lsa, u holda:
(1.1.2) tenglamaning x0 ni o‘z ichiga oladigan biror intervalda aniqlangan va har bir berilgan (x0, y0) ∈ Q nuqta uchun y(x0) = y0 boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud.
Agar (1.1.2) tenglamaning ikkita y = ϕ(x) va y = ψ(x) yechimlari x0 da ustma- ust tushsa, ya’ni ϕ(x0) = ψ(x0) = y0 bo‘lsa, u holda bu y = ϕ(x), y = ψ(x) yechimlar aniqlanish sohalarining umumiy qismida ustma-ust tushadi.
- Ta’rif Agar f (x, y) funksiya G sohada aniqlangan bo‘lib, shu funksiya uchun shunday musbat L son mavjud bo‘lsaki, ixtiyoriy (x, y1) ∈ G, (x, y2) ∈ G nuqtalar uchun ushbu
|f (x, y1) − f (x, y2)| ≤ L|y1 − y2| (L) tengsizlik bajarilsa, u holda f (x, y) funksiya G sohada y bo‘yicha Lipshis shartini qanoatlantiradi deyiladi, L esa Lipshis o‘zgarmasi deyiladi.
- Teorema (Koshi - Pikar - Lindelef teoremasi) Agar f (x, y) funksiya
G sohada x va y bo‘yicha aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, G sohada y bo‘yicha Lipshis shartini qanoatlantirsa,u holda shunday o‘zgarmas h > 0 son topiladiki, natijada (1.1.2)
tenglamaning (x0, y0) ∈ G bo‘lganda (1.1.1.5) boshlang‘ich shartni qanoatlantiradigan va
I = {x : |x − x0| ≤ h} yopiq intervalda aniqlangan yagona yechimi mavjud bo‘ladi.
- Teorema (Piano teoremasi) Agar f (x, y) funksiya G sohada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsa, u holda G sohaning berilgan (x0, y0) ∈ G nuqtasidan (1.1.2) tenglamaning kamida bitta integral chizig‘i o‘tadi.
|
