Reja: Xususiy hosilali differensial tenglamalar turlari Chegaraviy va boshlang’ich shartlar bilan masalaning umumiy qo’yilishi

4. Giperbolik tipdagi bir oʻlchovli tenglamani sonli yechishning har xil usullari

1. Xususiy hosilali differensial tenglamalar turlari

Ko’pgina fizik jarayonlarda fizik maydonni tahlil qilish xususiy hosilali differensial tenglamalarni yechishga olib kelinadi. Amalda bunday masalalarni analitik usulda yechishning imkoniyati juda kam. Bu tahlil sohasining murakkabligidan va birjinslimaslik xossasidan bog’liq.

bunda - ixtiyoriy noma’lum funksiya; dan gacha barcha koeffitsientlar (koordinata) va (vaqt) erkli o’zgaruvchilarning va, balki, izlanayotgan funksiya va uning birinchi tartibli hosilalari ning funksiyalari (oxirgi holda tenglama nochiziqli yoki kvachiziqli bo’ladi) yoki o’zgarmaslar bo’lishi mumkin.

diskriminantning ishorasiga qarab giperbolik, parabolik va elliptik tiplarga quyidagicha klassifikatsiya qilinadi:

• - giperbolik tipdagi tenglama;

  
  

• - parabolik tipdagi tenglama;

  
  

• - elliptik tipdagi tenglama.

  
  

Amaliyotda ko’p qo’llaniladigan tenglamalarga misollar:

• Ko’chirish tenglamasi giperbolik tipda;

  
  

• Muhitning erkin tebranish jarayonini ifodalovchi ushbu to’lqin tenglamasi giperbolik tipda, bu yerda - to’lgin jarayonini ifodalovchi funksiya; , , - fazoviy koordinatalar; - shu muhitda to’lqin tarqalishi tezligi; - vaqt;

  
  

• Puasson tenglamasi ellipik tipda;

  
  

• Diffuziya tenglamasi parabolik tipda.

  
  

Shulardan giperbolik tipdagi tenglamalarga biroz to’xtalaylik. Giperbolik tipdagi tenglamalar chekli tezlik bilan axborotlar tarqaladigan jarayonlarning barchasida paydo bo’ladi, masalan,

• eng sodda giperbolik tipdagi tenglama - bu ko’chirish tenglamasi

  
  

• keng tarqalgan giperbolik tipdagi tenglama – bu to’lqin tenglamasi ;

  
  

• eng foydali giperbolik tipdagi tenglama – bu qovushoqmas Byurgers tenglamasi (Xopf tenglamasi) .

  
  

Giperbolik tipdagi tenglamalarga yana boshqa misollar:

• Eylerning nostatsionar tenglamalari;

  
  

• tovushdan tez oqim uchun Eylerning statsionar tenglamalari;

  
  

• sayoz suvlar tenglamasi;

  
  

• ideal magnit gidrodinamikasi tenglamasi;

  
  

• elastiklik nazariyasi tenglamasi;

  
  

• plastinka va qobiqlarning harakat tenglamalari.

  
  

• Tenglamaning xarakteristikalari. Uch o’lchovli masalalar uchun xarakteristika sirtlari yoki ikki o’lchovli masalalar uchun xarakteristika chiziqlari odatda Max konusi bilan mos tushadi. Sodda misolni qaraylik. Ushbu

  
  

• bir o’lchovli to’lqin tenglamasi (torning tebranishi tenglamasi) ni olaylik. Umumiy yechim quyidagicha:

  
  

.

• Bunda xarakteristikalar o’zgarmas fazali nuqralarning ko’chishini ifodalaydi (1–rasm). Soddaroq qilib aytganda, xarakteristikalar – bu tekislikda
  

• tenglama bilan aniqlanadigan egri chiziqlardir.

  
  
• 
  

• 1-rasm. Bir o’lchovli to’lqin tenglamalari uchun xarakteristikalar.

  
  

• Agar yechim differensiallanuvchan bo’lsa, u holda u xarakteristikalar

  
  

• bo’ylab o’zgarmas bo’ladi.

  
  

• Agar Koshi masalasining yechimi differensiallanuvchan bo’lsa, u holda u quyidagicha oshkormas ko’rinishda beriladi:

  
  

• .
  

• Bu to’gridan–to’g’ri ularning hosilasini hisoblash va ularni tenglamaga qo’yish bilan tekshiriladi: