3. Chekli ayirmalar usulining asosiy tushunchalari
Chekli ayirmalar usulining asosiy g’oyasi bu xususiy hosilali differensial tenglamani unga mos chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga aylantirishdan iborat. Bu sistemaning yechimi izlanayotgan funksiya uchun taqribiy yechimni beradi.
Bu usulning asosiy bosqichlari quyidagicha:
O’rganilayotgan sohani yoki uning biror elementini qoplovchi to’rni tuzish.
Hosil qilingan to’rda dastlabki xususiy hosilali differensial tenglamaga va uning qo’chimcha shartlariga mos chekli-ayirmali approksimatsiya qurish.
Tuzilgan chekli-ayirmali approksimatsiya asosida chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini tuzish va uni yechish.
Ushbu bosqichlami ikki o’lchovli masala misolida qarab chiqamiz.
To’rni qurish. To’rni tuzish masalaning geometriyasini hisobga olish bilan amalga oshiriladi. Tadqiqot sohasi ko’pgina amaliy masalalarda to’g’ri to’rtburchak shaklida bo’lib, unga mos dekart koordinatalar sistemasini o’rnatib, unda to’g’ri to’rtburchakli to’rni hosil qilishimiz mumkin. To’g’ri to’rtburchakli plastinka misolida qurilgan ana shunday ikki o’lchovli to’r -rasmda tasvirlangan.
2-rasm. Ikki o’lchovli to’g’ri to’rtburchakli to’r.
Chekli ayirmalar usulida boshqa ko’rininshdagi to’rlar ham ishlatilishi mumkin, masalan qiyshiq burchakli, qutb koordinatalari shaklidagi to’r. Bu qo’yilgan masalaning tadqiqot sohasi qaysi koordinat sistemasiga nisbatan mos kelishiga qarab tanlanadi, masalan, bosh o’qqa nisbatan simmetrik masalada qutb to’ridan foydalaniladi.
Masala yechimini topish jarayoni to’rning tugunlariga, ya’ni uning chiziqlari kesishish nuqtalariga tayanib olib boriladi.
Xususiy hosilali differensial tenglamalardagi hosilalarni chekli-ayirmali approksimatsiyalash bu hosilalarni shu to’rda uni taqribiy analogiga almashtirishdan iborat. Masalan, nuqtada ushbu
xususiy hosilani uning taqribiy bo’lgan va “o’ng hosila” deb ataluvchi quyidagi
yoki “chap hosila” deb ataluvchi quyidagi
taqribiy qiymatiga almashtira olamiz, bu yerda va – funksiya va argument orttirmasi; , va , – argument va funksiyaning va tugunlardagi qiymatlari; – to’rning koordinata bo’yicha qadami.
Xuddi shunday koordinata bo’yicha ikkinchi tartibli xususiy hosila uchun
ham mos ushbu
chekli-ayirmali approksimatsiyani olishimiz mumkin.
Hosil qilingan ifodalarda hosilaga nisbatan va larning cheksiz kichik
emas, balki kichik qiymatlaridan foydalanildi. Shuning uchun ham bu usul chekli ayirmalar usuli deb ataladi. Qolgan , , erkli o’zgaruvchilarga nisbatan hosilalarning mos chekli ayirmali formulalari chiqariladi.
|
