|
O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalarga keltiriladigan tenglamalar
|
| bet | 4/4 | | Sana | 09.07.2024 | | Hajmi | 133,86 Kb. | | #267080 | | Turi | Referat |
Bog'liq Differensal tenglamalar 2. O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalarga keltiriladigan tenglamalar.
- Ta’rif. Ushbu
yr = f (ax + by + c) (1.2.8)
ko‘rinishdagi differensial tenglamaga o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalarga keltiriladigan tenglama deyiladi.
Bu yerda a, b, c lar o‘zgarmas sonlar.
(1.2.8) differensial tenglamani yechish uchun
t = ax + by + c (1.2.9)
almashtirish bjaramiz. (1.2.9) tenglikni differensiallaymiz:
tr = a + byr (1.2.10)
(1.2.9) va (1.2.10) tengliklarni (1.2.8) tenglamaga qo‘ysak
⇒
tr — a = f (t) = tr = a + bf (t) (1.2.11)
b
ko‘rinishidagi o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama hosil bo‘ladi. (1.2.11) differensial tenglamani quyidagicha hisoblaymiz:
dt dx
=
=⇒ ∫ dt = ∫ dx
(1.2.12)
F ( t) = ln | x| + C (1 .2 .13)
tenglikni olamiz. (1.2.13) va (1.2.9) almashtirishdan
F ( ax + by + c) = ln | x| + C (1 .2 .14)
(1.2.8) tenglamaning umumiy yechimi kelib chiqadi.
2 -Misol. yr = √4 x + 2 y — 1 differensial tenglamani yeching.
√
Yechish:
yr = 4 x + 2 y — 1 (1)
differensial tenglamani yechish uchun= ∫ dx =⇒ t — ln | t + 2| = x + C (4)
t = √4 x + 2 y — 1 (2)
belgilash kiritamiz. Dastlab, (2) tenglikni ikkala tarafini kvadratga ko‘taramiz:
t2 = 4 x + 2 y — 1
hosil bo‘lgan tenglikni differensiallaymiz:
2ttr = 4 + 2yr =⇒ yr = ttr — 2 (3)
(2) va (3) tengliklarni (1) tenglamaga qo‘yamiz:
t
ttr — 2 = t =⇒ tr = t + 2
∫
tdt t + 2
= ∫ dx =⇒ t — ln | t + 2| = x + C (4)
almashtirish va (4) tenglikdan
√4x + 2y — 1 — ln |√4x + 2y — 1 + 2| = x + C (5)
tenglamaning umumiy yechimi kelib chiqadi.
Adabiyotlar.
1.https://www.ilovepdf.com/ru/download
2.https://uniwork.buxdu.uz/
3.https://www.ziyouz.com/books/
Xulosa.
Differensial tenglamalar fizika, mexanika, differensial geometriya, variyatsion hisob, issiqlik texnikasi, elektrotexnika, kimyo, biologiya va iqtisod kabi fanlarda keng qo‘llaniladi. Bu fanlarda uchraydigan ko‘plab jarayonlar differensial tenglamalar yordamida tavsiflanadi. Shu tenglamalarni o‘rganish bilan tegishli jarayonlar haqida biror ma‘lumotga, tasavvurga ega bo‘lamiz. Differensial tenglamalar o‘rganilayotgan jarayonning matematik modelidan iborat bo‘ladi. Bu model qancha mukammal bo‘lsa, differensial tenglamalarni o‘rganish natijasida olingan ma‘lumotlar jarayonlarni shuncha to‘la tavsiflaydi. Tabiatda uchraydigan turli jarayonlar (fizik, ximik , biologik jarayonlar va h.k.) o‘z harakat qonunlariga ega. Ba’zi jarayonlar bir xil qonun bo‘yicha sodir bo‘lishi mumkin, bu hol esa ularni o‘rganish ishini yengillashtiradi. Ammo jarayonlarni tavfsiflaydigan qonunlarni to‘g‘ridan to‘g‘ri topish har doim ham mumkin bo‘lavermaydi. Xarakterli miqdorlar va ularning hosilalari yoki differensiallari orasidagi munosabatni topish tabiatan yengil bo‘ladi.
|
| |
