Research science and innovation house

 
 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN 
UZBEKISTAN” JURNALI 
VOLUME 1, ISSUE 7, 2023. OCTOBER 
ResearchBib Impact Factor: 8.654/2023 ISSN 2992-8869 
173 
вплоть до части границы области 
G
, указанные в краевых условиях; 2) 
удовлетворяет уравнению (1) в области 
1
2
3
\
\
\
G J
J
J
; 3) удовлетворяет 
следующим краевым условиям:
 
2
1
0
,
1



x
x
u
AC

, (2)
 
2
1
0
,
2





x
x
n
u
AC

, (3) 
 
1
2
1
,
3





x
x
n
u
BC

, (4)
 
2
1
1
,
4
1





x
x
u
DF

, (5) 
 
0
1
,
5






x
x
n
u
AD

, (6)
 
0
1
,
1
0





x
x
f
u
D
A
, (7) 
 
2
1
,
2
0



x
x
f
u
E
B
, (8)
 
2
2
3
,
6
2



x
x
u
EF

, (9) 
 
2
1
,
7





x
x
n
u
BE

(10)
и 4) следующим условиям склеивания: 

 

 
1
0
,
0
,
0
,
1






x
x
x
u
x
u

, (11)




 
1
0
,
0
,
0
,
1






x
x
x
u
x
u
y
y

, (12) 




 
1
0
,
0
,
0
,
1






x
x
x
u
x
u
yy
yy

, (13)

 

 
1
0
,
,
0
,
0
2






y
y
y
u
y
u

, (14) 




 
1
0
,
,
0
,
0
2






y
y
y
u
y
u
x
x

, (15)




 
1
0
,
,
0
,
0
2






y
y
y
u
y
u
xx
xx

, (16)

 

 
1
0
,
,
0
1
,
0
1
3






y
y
y
u
y
u

, (17)




 
1
0
,
,
0
1
,
0
1
3






y
y
y
u
y
u
x
x

, (18) 




 
1
0
,
,
0
1
,
0
1
3






y
y
y
u
y
u
xx
xx

. (19) 
Здесь 




1, 7 ,
1, 2
i
j
i
f
j




заданные достаточно гладкие функции, а 
,
,
(
1, 2, 3)
i
i
i
i
  


неизвестные пока достаточно гладкие функции, 
n

внутренняя нормаль к прямой 
0
x
y
 
или 
1
x
y
 
, 


2
1
,
2
1
1

F
, 


2
1
,
2
3
2
F
. 
Теорема. Если 


2
1
,
0
3
1
C


, 


2
1
,
0
2
2
C


, 


1
,
2
1
2
3
C


, 


2
1
,
1
3
4



C

, 


2
5
1, 0
C



,


2
,
2
3
3
6
C


, 
 
2
7
1, 2
C


, 


3
1
1, 0
f
C


, 
 
3
2
1, 2
f
C

, причем 
выполняются условия согласования 
 
 
1
4
1
1
f

 

, 
 
 
5
2
0
0



, 
 
 
3
7
1
1



, 
 
 
2
6
2
2
f


, 
 
 
2
1
2
1
3
2






, то задача-1 допускает единственное решение.
Доказательство. Теорема доказывается методом построения решения. 
Здесь мы даем лишь идею доказательства этой теоремы. Для этого уравнение 
(1) перепишем в виде




1
1
1
1
,
,
G
y
x
e
ay
bx
u
u
y
b
c
y
xx






, (20) 






4
,
3
,
2
,
,






i
G
y
x
e
ay
bx
u
u
i
y
b
c
i
iy
ixx

, (21) 

 
 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN 
UZBEKISTAN” JURNALI 
VOLUME 1, ISSUE 7, 2023. OCTOBER 
ResearchBib Impact Factor: 8.654/2023 ISSN 2992-8869 
174 
где 
введено 
обозначение 



 



4
,
1
,
,
,
,



i
G
y
x
y
x
u
y
x
u
i
i
, 
причем 







4
,
1
i
ay
bx
i

неизвестные пока достаточно гладкие функции.
Нам следует разделить области 


4
,
3

i
G
i
по две части с помощью
открытыми отрезками 
1
0
F
A
и 
2
0
F
B
. Тогда уравнение (21) 


3, 4
i

можно 
переписать в виде 






2
,
1
;
4
,
3
,
,







k
i
G
y
x
e
ay
bx
u
u
ik
y
b
c
ik
iky
ikxx

, (22) 
где введены обозначения 
 
 
,
,
i
ik
u x y
u
x y

, 




i
ik
bx ay
bx ay





, 
 
ik
G
y
x

,


3, 4;
1, 2
i
k


. 
Сначала исследование проведем в области 
32
G
. Записывая решение 
уравнения (22) 


3;
2
i
k


, удовлетворяющее условиям (7) и 
 
 
32
4
,1
y
u
x
x


(
 
4
x


неизвестная пока достаточно гладкая функция) и подставляя это 
решение в условие (6) после некоторых преобразований, находим функцию 


ay
bx

32

в промежутке 


2
a
b
ay
bx
a
b







. 
Теперь переходим в область 
31
G
. Записывая решение уравнения (22) 


3;
1
i
k


, удовлетворяющее условиям (14), (15) и подставляя это решение в 
условие (6), находим функцию 


ay
bx

31

в промежутке 
0
2





ay
bx
a
b
. 
Пользуясь из условия 
32
32
31
31
1
1
y x
y x
u
u
u
u
x
y
x
y
 
 























, 
находим 
функцию 


ay
bx

32

в промежутке 
a
ay
bx
a
b






2
. 
Далее, подставляя формулу решения 
 
y
x
u
,
32
в условие (5) после 
некоторых выкладок, находим функцию 
 
x
4

в промежутке 
0
1



x
. 
Таким образом, мы нашли функцию 


32
,
u
x y
полностью в области 
32
G
. 
Пользуясь из условия 




1
32
1
31
,
,





x
y
x
y
y
x
u
y
x
u
, получим соотношение между 
неизвестными функциями 
 
2
y

и 
 
2
y

. 
Переходя в уравнениях (22) 


3;
1
i
k


и (20) к пределу при 
0
x

, имеем 
два соотношения между неизвестными функциями 
 
y
2

, 
 
y
2

и 


ay

11

. 
Исключая из этих последних двух уравнений функцию 
 
2
y

после некоторых 
преобразований, находим функцию 


ay
bx

11

в промежутке 
0




ay
bx
a

 
 “JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN 
UZBEKISTAN” JURNALI 
VOLUME 1, ISSUE 7, 2023. OCTOBER 
ResearchBib Impact Factor: 8.654/2023 ISSN 2992-8869 
175 
через неизвестной функции 





 
x
a
b
y
2

, где введено обозначение 






12
1
11
,
0
,
,
0.
bx
ay
если
bx ay b
bx
ay
bx
ay
если a bx ay









 

 



Теперь переходим в область 
2
G
. Записывая решение уравнения (21) 


2
i

, удовлетворяющее условиям (11), (12) и подставляя это решение в 
условие (3) и (4) после некоторых преобразований, находим функцию 


ay
bx

2

полностью. 
Подставляя решение 
 
y
x
u
,
2
в условие (2), имеем первое соотношение 
между неизвестными функциями 
 
1
x

и 
 
1
x

. Переходя в уравнениях (1) и 
(21) 


2
i

к пределу при 
0
y

, имеем еще два соотношения между 
неизвестными функциями 
 
1
x

, 
 
1
x

и 
 
1
x

. Исключая из этих трех 
соотношений функции 
 
1
x

, 
 
1
x

и интегрируя полученное уравнение от 
0
до 
x
, приходим к дифференциальному уравнению второго порядка 
относительно 
 
1
x

. Решая это уравнении при известных трех условиях,
находим функцию 
 
x
1

. 
Теперь переходим в область 
42
G
. Записывая решение уравнения (22) 


4;
2
i
k


, удовлетворяющего условиям (8) и 
 
 
4
5
,1
u
x
x


(где 
 
5
x

неизвестная пока достаточно гладкая функция) и подставляя это решение в 
условие (10) после некоторых преобразований, находим функцию 


ay
bx

42

в 
промежутке 
a
b
ay
bx
a
b





2
2
3
. 
Далее, переходим в область 
41
G
. Записывая решение уравнения (22) 


4;
1
i
k


, удовлетворяющего условиям (17), (18) и подставляя это решение в 
условие (10) после некоторых преобразований, находим функцию 


ay
bx

41

в 
промежутке 
2
3
a
b
ay
bx
b




. 
Переходя в уравнениях (22) 


4;
1
i
k


и (20) к пределу при 
1
x

, 
получим два соотношения между неизвестными функциями 
 
y
3

, 
 
y
3

и 


ay
b

41

. Исключая из этих двух уравнений функцию 
 
3
y

и меняя аргумент 

Download 44,19 Mb.