Задача-1. Требуется найти функцию
y
x
u ,
, которая 1) непрерывна в
замкнутой области
G
и в области
1
2
3
\
\
\
G J
J
J
имеет непрерывные
производные, участвующие в уравнение (1), причем
x
u
и
y
u
– непрерывны в
G
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 1, ISSUE 7, 2023. OCTOBER
ResearchBib Impact Factor: 8.654/2023 ISSN 2992-8869
173
вплоть до части границы области
G
, указанные в краевых условиях; 2)
удовлетворяет уравнению (1) в области
1
2
3
\
\
\
G J
J
J
; 3) удовлетворяет
следующим краевым условиям:
2
1
0
,
1
x
x
u
AC
, (2)
2
1
0
,
2
x
x
n
u
AC
, (3)
1
2
1
,
3
x
x
n
u
BC
, (4)
2
1
1
,
4
1
x
x
u
DF
, (5)
0
1
,
5
x
x
n
u
AD
, (6)
0
1
,
1
0
x
x
f
u
D
A
, (7)
2
1
,
2
0
x
x
f
u
E
B
, (8)
2
2
3
,
6
2
x
x
u
EF
, (9)
2
1
,
7
x
x
n
u
BE
(10)
и 4) следующим условиям склеивания:
1
0
,
0
,
0
,
1
x
x
x
u
x
u
, (11)
1
0
,
0
,
0
,
1
x
x
x
u
x
u
y
y
, (12)
1
0
,
0
,
0
,
1
x
x
x
u
x
u
yy
yy
, (13)
1
0
,
,
0
,
0
2
y
y
y
u
y
u
, (14)
1
0
,
,
0
,
0
2
y
y
y
u
y
u
x
x
, (15)
1
0
,
,
0
,
0
2
y
y
y
u
y
u
xx
xx
, (16)
1
0
,
,
0
1
,
0
1
3
y
y
y
u
y
u
, (17)
1
0
,
,
0
1
,
0
1
3
y
y
y
u
y
u
x
x
, (18)
1
0
,
,
0
1
,
0
1
3
y
y
y
u
y
u
xx
xx
. (19)
Здесь
1, 7 ,
1, 2
i
j
i
f
j
заданные достаточно гладкие функции, а
,
,
(
1, 2, 3)
i
i
i
i
неизвестные пока достаточно гладкие функции,
n
внутренняя нормаль к прямой
0
x
y
или
1
x
y
,
2
1
,
2
1
1
F
,
2
1
,
2
3
2
F
.
Теорема. Если
2
1
,
0
3
1
C
,
2
1
,
0
2
2
C
,
1
,
2
1
2
3
C
,
2
1
,
1
3
4
C
,
2
5
1, 0
C
,
2
,
2
3
3
6
C
,
2
7
1, 2
C
,
3
1
1, 0
f
C
,
3
2
1, 2
f
C
, причем
выполняются условия согласования
1
4
1
1
f
,
5
2
0
0
,
3
7
1
1
,
2
6
2
2
f
,
2
1
2
1
3
2
, то задача-1 допускает единственное решение.
Доказательство. Теорема доказывается методом построения решения.
Здесь мы даем лишь идею доказательства этой теоремы. Для этого уравнение
(1) перепишем в виде
1
1
1
1
,
,
G
y
x
e
ay
bx
u
u
y
b
c
y
xx
, (20)
4
,
3
,
2
,
,
i
G
y
x
e
ay
bx
u
u
i
y
b
c
i
iy
ixx
, (21)
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 1, ISSUE 7, 2023. OCTOBER
ResearchBib Impact Factor: 8.654/2023 ISSN 2992-8869
174
где
введено
обозначение
4
,
1
,
,
,
,
i
G
y
x
y
x
u
y
x
u
i
i
,
причем
4
,
1
i
ay
bx
i
неизвестные пока достаточно гладкие функции.
Нам следует разделить области
4
,
3
i
G
i
по две части с помощью
открытыми отрезками
1
0
F
A
и
2
0
F
B
. Тогда уравнение (21)
3, 4
i
можно
переписать в виде
2
,
1
;
4
,
3
,
,
k
i
G
y
x
e
ay
bx
u
u
ik
y
b
c
ik
iky
ikxx
, (22)
где введены обозначения
,
,
i
ik
u x y
u
x y
,
i
ik
bx ay
bx ay
,
ik
G
y
x
,
3, 4;
1, 2
i
k
.
Сначала исследование проведем в области
32
G
. Записывая решение
уравнения (22)
3;
2
i
k
, удовлетворяющее условиям (7) и
32
4
,1
y
u
x
x
(
4
x
неизвестная пока достаточно гладкая функция) и подставляя это
решение в условие (6) после некоторых преобразований, находим функцию
ay
bx
32
в промежутке
2
a
b
ay
bx
a
b
.
Теперь переходим в область
31
G
. Записывая решение уравнения (22)
3;
1
i
k
, удовлетворяющее условиям (14), (15) и подставляя это решение в
условие (6), находим функцию
ay
bx
31
в промежутке
0
2
ay
bx
a
b
.
Пользуясь из условия
32
32
31
31
1
1
y x
y x
u
u
u
u
x
y
x
y
,
находим
функцию
ay
bx
32
в промежутке
a
ay
bx
a
b
2
.
Далее, подставляя формулу решения
y
x
u
,
32
в условие (5) после
некоторых выкладок, находим функцию
x
4
в промежутке
0
1
x
.
Таким образом, мы нашли функцию
32
,
u
x y
полностью в области
32
G
.
Пользуясь из условия
1
32
1
31
,
,
x
y
x
y
y
x
u
y
x
u
, получим соотношение между
неизвестными функциями
2
y
и
2
y
.
Переходя в уравнениях (22)
3;
1
i
k
и (20) к пределу при
0
x
, имеем
два соотношения между неизвестными функциями
y
2
,
y
2
и
ay
11
.
Исключая из этих последних двух уравнений функцию
2
y
после некоторых
преобразований, находим функцию
ay
bx
11
в промежутке
0
ay
bx
a
“JOURNAL OF SCIENCE-INNOVATIVE RESEARCH IN
UZBEKISTAN” JURNALI
VOLUME 1, ISSUE 7, 2023. OCTOBER
ResearchBib Impact Factor: 8.654/2023 ISSN 2992-8869
175
через неизвестной функции
x
a
b
y
2
, где введено обозначение
12
1
11
,
0
,
,
0.
bx
ay
если
bx ay b
bx
ay
bx
ay
если a bx ay
Теперь переходим в область
2
G
. Записывая решение уравнения (21)
2
i
, удовлетворяющее условиям (11), (12) и подставляя это решение в
условие (3) и (4) после некоторых преобразований, находим функцию
ay
bx
2
полностью.
Подставляя решение
y
x
u
,
2
в условие (2), имеем первое соотношение
между неизвестными функциями
1
x
и
1
x
. Переходя в уравнениях (1) и
(21)
2
i
к пределу при
0
y
, имеем еще два соотношения между
неизвестными функциями
1
x
,
1
x
и
1
x
. Исключая из этих трех
соотношений функции
1
x
,
1
x
и интегрируя полученное уравнение от
0
до
x
, приходим к дифференциальному уравнению второго порядка
относительно
1
x
. Решая это уравнении при известных трех условиях,
находим функцию
x
1
.
Теперь переходим в область
42
G
. Записывая решение уравнения (22)
4;
2
i
k
, удовлетворяющего условиям (8) и
4
5
,1
u
x
x
(где
5
x
неизвестная пока достаточно гладкая функция) и подставляя это решение в
условие (10) после некоторых преобразований, находим функцию
ay
bx
42
в
промежутке
a
b
ay
bx
a
b
2
2
3
.
Далее, переходим в область
41
G
. Записывая решение уравнения (22)
4;
1
i
k
, удовлетворяющего условиям (17), (18) и подставляя это решение в
условие (10) после некоторых преобразований, находим функцию
ay
bx
41
в
промежутке
2
3
a
b
ay
bx
b
.
Переходя в уравнениях (22)
4;
1
i
k
и (20) к пределу при
1
x
,
получим два соотношения между неизвестными функциями
y
3
,
y
3
и
ay
b
41
. Исключая из этих двух уравнений функцию
3
y
и меняя аргумент
|
