11-misol
. 100 ming so„mning bir yildan so„ng olinadigan a) foiz stavkasi
8%; b) hisob stavkasi 8% bo„lgan holdagi joriy qiymati topilsin.
Yechish: a) 8% li foiz stavkasi uchun
100
S
ming so„m,
,
08
,
0
i
1
t
yil.
59
,
92
08
,
0
1
100
1
t
i
S
P
ming so„m.
b) 8% li hisob stavkasi uchun
100
S
ming so„m,
,
08
,
0
d
1
t
yil.
92
)
08
,
0
1
(
100
)
1
(
t
d
S
P
ming so„m.
12-misol
. Faraz qilaylik, oddiy yillik foiz stavkasi 12% bo„lsin, a) bir oy;
b) yarim yil muddatlar uchun ekvivalent yillik hisob stavkalari topilsin.
Yechish: a) bu holda
t
i
t
i
t
d
t
i
1
,
12
/
1
,
12
,
0
tenglamadan
.
118
,
0
01
,
0
1
12
,
0
12
/
1
12
,
0
1
12
,
0
1
t
i
i
d
b) bu yerda
.
113
,
0
06
,
1
12
,
0
5
,
0
12
,
0
1
12
,
0
1
,
5
,
0
12
/
6
,
12
,
0
t
i
i
d
t
i
Bir yillik davr uchun
)
(
i
d
d
va
)
(
d
i
i
grafiklarni keltiramiz.
Endi oddiy foizda o„zgaruvchi stavkalarni ko„rib chiqamiz. Faraz qilaylik,
inflyatsiya oddiy foiz stavkasini tez-tez o„zgartirib turadigan bo„lsin.
)
;
(
T
t
t
davr uchun shartnomada vaqtning
1
2
2
1
...
m
m
t
t
t
t
momentlarida yillik
stavkalar
1
m
marta o„zgaradigan bo„lsin.
m
t
T
t
deb belgilab shartnoma
davri
)
;
(
m
t
t
ni o„zgarmas yillik stavkalarda
m
ta intervallarga shunday bo„lamizki,
)
;
(
1
t
t
intervalda foiz stavkasi
)
;
(
,
2
1
t
t
j
ga
)
;
(
...,
,
1
1
m
m
t
t
j
intervalda foiz stavkasi
1
m
j
ga teng bo„lsin.
Quyidagi teorema o„rinli bo„ladi.
Teorema
: Agar boshlang„ich jamg„arma
)
(
t
S
yuqorida ko„rsatilganidek,
o„zgaruvchi yillik foiz stavkalarda oddiy foizga qo„yilgan bo„lib, oraliq
operatsiyalar mavjud bo„lmasa, u holda har bir
)
;
(
m
t
t
intervaldagi o„sish
koeffitsiyenti
i
1
d
3-rasm.
4-rasm.
d
1
106
S
S
S
m
S
m
m
j
t
t
t
S
t
S
t
t
A
)
(
1
)
(
)
(
)
;
(
1
1
0
dan iborat bo„ladi.
Isbot: (8.2.2) formulaga asosan
))
(
,
,
(
)
(
)
(
t
S
t
t
I
t
S
t
S
m
m
, (*)
bu yerda
))
(
,
,
(
t
S
t
t
I
m
boshlang„ich jamg„arma
)
(
t
S
P
ning
)
;
(
m
t
t
intervaldagi orttirmasi,
)
(
))
(
,
,
(
)
;
(
t
S
t
S
t
t
I
t
t
I
m
m
esa nisbiy orttirmasi.
Biz bilamizki, boshlang„ich jamg„arma
)
(
t
S
ni har bir
)
;
(
1
S
S
t
t
intervaldagi oddiy foiz bo„yicha o„sishi boshqa intervaldagi foiz o„sishiga bog„liq
bo„lmaydi.
)
;
(
1
S
S
t
t
intervaldagi absolyut orttirmasini
)),
(
,
;
(
t
S
t
t
I
m
nisbiy
orttirmasini esa
)
(
))
(
,
,
(
)
;
(
1
1
t
S
t
S
t
t
I
t
t
i
S
S
S
S
bilan belgilaymiz. U holda har bir
)
;
(
m
t
t
intervaldagi absolyut orttirma har bir qism intervallardagi absolyut
orttirmalar yig„indisiga teng bo„ladi, ya‟ni
))
(
,
,
(
))
(
,
,
(
1
1
0
t
S
t
t
I
t
S
t
t
I
S
S
m
S
m
, (a)
bu formulaning ikkala qismini
)
(
t
S
ga bo„lib,
)
,
(
)
,
(
1
1
0
S
S
m
S
m
t
t
i
t
t
i
ni hosil
qilamiz. Bundan ko„rinadiki,
)
;
(
m
t
t
intervaldagi nisbiy orttirma har bir qism
intervallardagi nisbiy orttirmalar yig„indisiga teng bo„ladi (oddiy foizlar bo„yicha)
( ; (0) )
(0)
I t S
S
i t
formula asosan har qanday
1
...,
,
2
,
1
,
0
m
S
uchun
.
)
(
)
,
(
1
1
S
S
S
S
S
j
t
t
t
t
i
(b)
Bundan (a) formulaga ko„ra,
1
0
1
0
,
)
(
)
,
(
m
S
S
S
S
m
j
t
t
t
t
i
(v)
(b) formula geometrik nuqtai nazardan, asoslari
)
,
(
1
S
S
t
t
va balandliklari
S
j
bo„lgan to„g„ri to„rtburchaklar yuzini ifodalaydi (5-rasm ). Demak,
.
)
(
)
(
))
(
,
,
(
1
1
0
S
S
S
m
S
m
j
t
t
t
S
t
S
t
t
I
Bu formulani (*) ga qo„yib,
S
S
S
m
S
m
j
t
t
t
S
t
S
t
S
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
0
yoki
S
S
S
m
S
m
m
j
t
t
t
S
t
S
t
t
A
)
(
1
)
(
)
(
)
,
(
1
1
0
ni hosil qilamiz.
107
Teorema isbot bo„ldi.
13-misol
. Birinchi yili 60%, keyingi har bir yarim yilda 10% dan ortib
boradigan shartnoma asosida oddiy foiz bo„yicha ko„payadigan sxema asosida 2,5
yil uchun o„sish koeffisiyenti topilsin.
Yechish: bu yerda dastlabki qism interval uzunligi 1 yildan, birinchi,
ikkinchi, uchinchi qism intervallar uzunligi yarim yillardan iborat. Shartnomaga
ko„ra,
.
90
,
0
,
80
,
0
,
70
,
0
,
60
,
0
3
2
1
j
j
j
j
Shuning uchun teoremaga asosan,
Demak, vekselni belgilangan muddatdan oldin sotishda uning narxini belgilash
uchun quyidagi teoremani isbotlash zarur.
Teorema
. Vaqt uzunligi bir yilga teng bo„lgan
)
1
,
0
(
intervalni qaraymiz va
yillik hisob stavkasi
d,
bir yilning qismlaridagi vaqtni
t
, joriy ( dastlabki) qiymat
)
0
(
S
P
ning orttirilgan (o„sgan) qiymatini
)
1
(
S
S
bilan belgilaymiz. U holda
)
(
t
S
ning
1
t
bo„lgandagi
)
1
(
S
va
d
bilan ifodalangan qiymati
1
0
],
)
1
(
1
[
)
1
(
)
(
t
d
t
S
t
S
(
)
formuladan iborat bo„ladi.
Isbot.
)
(
t
S
ning
)
0
(
S
va
i
orqali ifodalangan (8.2.3) formulasiga ko„ra,
)
1
(
)
0
(
)
(
t
i
S
t
S
tenglikni yozib, bu tenglikka
,
1
)
1
(
)
0
(
i
S
S
,
1
1
1
d
i
d
i
i
1
ifodalarni qo„yib,
]
)
1
(
1
[
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
/
1
/
1
(
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
)
(
d
t
S
d
t
d
S
i
i
t
i
S
i
t
i
S
t
S
ni hosil qilamiz. Teorema isbot bo„ldi.
Shunday qilib, agar
t
ga bog„liq holda muddat belgilanishidan shartnomaga
qadar vaqt oralig„ida
)
0
(
S
ni
i
t
S
t
I
)
0
(
)
(
miqdorga ortishi natijasida hosil
t
0
t
1
t
2
t
m-2
t
m-1
t
m
yillar
j
0
j
1
j
2
j
m-2
j
m-1
5 – rasm.
3
1
0
(2,5)
1
(
)
1 1 0, 60 0,5 0, 70 0,5 0,80 0,5 0,90
2,80.
S
S
S
S
A
t
t
j
108
qilingan jamg„arma
)
(
t
S
bo„lsa, u holda
)
1
(
S
dan
d
t
S
t
D
)
1
(
)
1
(
)
1
(
diskontni ushlab qolish natijasida
)
(
t
S
hosil qilinadi.
Ushbu vekselni qaraylik:
Vekselning nominal (dastlabki) qiymati 2000 doll. Real qiymati esa
2000 (1 0,11 60 365)
2036,16
dollar. To„lash muddati 2014-yil 31-oktyabrda
tugaydigan taqdirda ham uni diskont bilan muddatidan oldin sotish mumkin.
Aytaylik, Janob A. vekselni bankka 2014-yil 2-oktyabrda yillik hisob stavkasi
9,5% bo„lgan diskont bilan sotishni rejalashtirdi. Bank qanday narxda sotib olishni
va Janob A. ning hamda bankning bu operatsiyadan ko„rgan foydasini hisoblaylik.
Bunday holda vekselni sotishgacha 29 kun qolgan bo„ladi.
Demak,
2036,16 (1 29 365 0,095)
2020,79
doll. Shuning uchun Janob A. va bank
uchun foyda normasi mos ravishda quyidagi ko„rinishlarda bo„ladi:
%
24
,
12
100
31
365
2000
2000
79
,
2020
,
%.
57
,
9
100
29
365
79
,
2020
79
,
2020
16
,
2036
]
)
1
(
1
[
d
t
kattalik diskont koeffitsiyenti deyiladi. Bu ifoda manfiy bo„laolmaydi.
Shuning uchun
1
0
,
1
1
t
t
d
munosabat bajariladi. Bu munosabat shuni ko„rsatadiki, vekselni hisobga olishda
uni sotish muddatiga uzoq vaqt qolgan holda katta
d
diskont bilan to„lash ayrim
hollarda vekselni 0 yoki manfiy (zarar ko„rish) narxda sotishga olib kelishi
mumkin. Masalan,
%
200
d
va
5
,
0
t
bo„lsa, vekselni hisobga olishda hech narsa
bermaydi.
|
