M2 to’plam O nuqta va 1 nuqtadan iborat ikkita limit nuqtaga ega (4-shakl). O limit nuqta to’plamga kirmaydi; 1 limit nuqta M2 to’plamga kiradi. Shuning uchun 1 nuqta M2 to’plamning nuqtasidir.
(a ; b) intervalning barcha nuqtalari M3 to’plamning limit nuqtalaridir.
Intervalning a va b uchlari ham uning limit nuqtalaridir (5- chizma), ammo a va b nuqtalar intervalga kirmaydi.
[a , b] segmentning hamma nuqtalari bu segmentning limit nuqtalaridir. [a , b] segmentning o’ziga kirmagan limit nuqtalari bo’lmaydi.
M5 to’plamning limit nuqtalari yo’q.
Shuningdek, sonlarning istagan chekli to’plami ham limit nuqtalarga ega emas.
3 – §. Sonlar ketma-ketligi tushunchasi.
Aytaylik , N={1,2,3, …} to’plamda biror (n) funksiya berilgan bo’lsin. Bu funksiya qiymatlarini хn bilan belgilaymiz.
(n) = хn (1). ((1) = х1, (2) = х2 , … , (n) = хn , … ).
Qaralayotgan funksiya qiymatlaridan tashkil topgan ushbu х1 , х2 , … , хn, , … to’plam sonlar ketma – ketligi deyiladi.
(1) ketma-ketlikni tashkil etgan хn (n = 1,2,3, …) sonlar uning hadlari deyiladi: x1– ketma – ketlikning birinchi hadi, х2 – ketma-ketlikning ikkinchi hadi va hokazo, хn– ketma – ketlikning n – hadi (yoki umumiy hadi). (1) ketma-ketlik qisqacha хn yoki {xn} kabi belgilanadi.
Ko’p holda ketma-ketliklarning umumiy hadi formula bilan ifodalanadi. Uning barcha hadlari shu formula orqali topiladi.
M a s a l a l a r.
1. : 1, , , … , , …
2. : 1, 2, 3, … , , …
3. : 1, 1, 1, … , 1, …
4. : 1, -1, 1, … , , …
Biror {xn}: x1, x2, … , xn, … ketma- ketlik berilgan bo’lsin.
1-ta’rif. Agar shunday o’zgarmas M son mavjud bo’lsaki, {xn} ketma – ketlikning har bir hadi shu sondan katta bo’lmasa, ya’ni nN uchun хn M tengsizlik o’rinli bo’lsa, {xn} yuqoridan chegaralangan ketma – ketlik deyiladi.
2-ta’rif. Agar shunday o’zgarmas m son mavjud bo’lsaki, {xn} ketma – ketlikning har bir hadi shu sondan kichik bo’lmasa, ya’ni nN uchun хn m tengsizlik o’rinli bo’lsa, {xn} quyidan chegaralangan ketma – ketlik deyiladi.
3-ta’rif. Agar ketma – ketlik ham quyidan, ham yuqoridan chegaralangan bo’lsa, ya’ni shunday o’zgarmas m va M sonlar topilsaki, nN uchun m хn M tengsizliklar o’rinli bo’lsa, {xn} chegaralanagan ketma – ketlik deyiladi.
M i s o l l a r.
1. ketma – ketlik quyidan va yuqoridan chegaralangan, chunki , ya’ni ketma-ketlik quyidan chegaralangan. Ikkinichi tomondan, ga egamiz, bu yerda to’g’ri kasr, demak, , ya’ni ketma – ketlik yuqoridan chegaralangan. (m=1, M=2).
2. ketma – ketlik quyidan chegaralangan, chunki ketma – ketlikning har bir hadi O dan kichik emas (m=0).
3. 0, -1, -2, … ,-n, … ketma – ketlik yuqoridan chegaralangan, chunki ketma – ketlikning har bir hadi O dan katta emas. (M=0).
4- ta’rif. Agar {xn} ketma – ketlikning hadlari quyidagi
х1 х2 … хn …(х1< x2< …n< …) tengsizliklarni qanoatlantirsa, ya’ni nN uchun xn xn+1(xn< xn+1) bo’lsa, {xn} o’suvchi (qat’iy o’suvchi) ketma – ketlik deyiladi.
5-ta’rif. Agar {xn} ketma – ketlikning hadlari quyidagi х1 х2 … хn … (х1 > х2 > … > хn > …) tengsizliklarni qanoatlantirsa, ya’ni nN uchun xn xn+1 (xn > xn+1) bo’lsa, {xn} kamayuvchi (qat’iy kamayuvchi) ketma-ketlik deyiladi.
O’suvchi (qat’iy o’suvchi), kamayuvchi (qat’iy kamayuvchi) ketma – ketliklar monoton ketma – ketliklar deyiladi.
M i s o l. ketma – ketlik monoton kamayuvchi ketma – ketlikdir, chunki kamayuvchi ketma – ketlik uchun , tengsizlik bajariladi. Ketma – ketlikning (n+1) hadini yozamiz: . U holda , chunki nN uchun bo’ladi. Berilgan ketma – ketlik kamayuvchidir.
|
