4 . Berilgan ketma – ketlikning qaysilari o’suvchi ( ), kamayuvchi ( )
ekanligini aniqlang
1) 2) 3) 4)
J avob: 1) va 2) ; 3) va 4 ) kamayuvchi
5. Berilgan ketma – ketliklarning qaysilari chegaralangan ?
1) ; 2) 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) .
Javob: 1) va 3) chegaralanmagan; 2;4;5;6;7;8 - chegaralangan
№ 7. Ushbu 1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) ketma – ketliklar сheksiz ketma – ketliklar ekanini isbot qiling.
6 Sonlar ketma-ketliklari limiti.
Biror {xn}: x1, x2, … , xn, … ketma – ketlik hamda biror a nuqta (son) berilgan bo’lsin. Bu ketma – ketlikning hadlari a nuqtaning biror atrofiga tegishli bo’ladimi, tegishli bo’lsa, nechta hadi tegishli bo’ladi – shularni aniqlash ketma – ketlikning limiti tushunchasini kiritishda muhim ahamiyatga ega.
M i s o l l a r. 1. Ushbu {xn}={n}: 1,2,3, … , n, … ketma – ketlikni hamda a=4 nuqtaning (4-2; 4+2)=(2 ; 6) atrofi ( =2) olinsa, unda ketma – ketlikning 3 ta hadi (3;4;5-hadlari) shu atrofga tegishli bo’ladi. (8-shakl).
0 1 2 3 4 5 6 7 8
8 – s h a k l.
Agar a=2 nuqta olinsa va uning atrofi qaralsa, unda berilgan xn=n ketma – ketlikning bitta ham hadi shu atrofga tegishli bo’lmasligini ko’ramiz.
2. Ushbu : , , , ... , , ... ketma – ketlikda a=1 nuqtaning atrofi olinsa, unda berilgan ketma – ketlikning 4-hadidan boshlab keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli bo’ladi. (9-shakl).
0 1
9 – s h a k l.
Yuqorida keltirilgan misollardan ko’rinadiki, biror nuqta atrofga ketma – ketlikning chekli sondagi hadlari tegishli bo’lishi, biror hadidan boshlab keyingi barcha hadlari, jumladan ketma – ketlikning barcha hadlari (cheksiz sondagi hadlari) tegishli bo’lishi, bitta ham hadi tegishli bo’lmasligi mumkin ekan.
T a’ r i f. Agar a nuqtaning iхtiyoriy (a-, a+) atrofi (>0) olinganda ham {xn} ketma – ketlikning biror hadidan boshlab, keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli bo’lsa, a son {xn} ketma – ketlikning limiti deyiladi va kabi belgilanadi.
Bu holda {xn} ketma – ketlik a ga intiladi deb ham yuritiladi. {xn} ketma – ketlikning biror hadidan boshab keyingi barcha hadlari a nuqtaning iхtiyoriy (a-, a+) atrofiga tegishliligi, >0 son olinganda ham shunday natural n0 son topilib, barcha n > n0 uchun a-n< a+ tengsizliklarning o’rinli bo’lishidan iboratdir.
Ravshanki, a- < xn< a + - < xn – a < xn – a< .
Bu hol ketma – ketlik limitini quyidagicha ta’riflash imkonini beradi.
T a’ r i f. Agar >0 son olinganda ham shunday natural n0 son (n0N) topilsaki, barcha n>n0 uchun xn – a< tengsizlik bajarilsa, a son {xn} ketma – ketlikning limiti deyiladi va yuqoridagidek kabi belgilanadi.
1–i z o h. O’zgarmas miqdor c ko’pincha hamma qiymatlari bir хil: х=c bo’lgan o’zgaruvchi miqdor deb qaraladi.
O’zgarmas miqdorning limiti shu o’zgarmas miqdorning o’ziga teng, chunki > 0 da x – c = c – c = 0 < tengsizlik doimo bajariladi.
2–i z o h. Limitning ta’rifidan o’zgaruvchi miqdor ikkita limitga ega bo’la olmasligi kelib chiqadi. ( Isboti [2], 29-bet)
3–i z o h. Har bir o’zgaruvchi miqdor limitga ega deb o’ylash yaramaydi.
7 Cheksiz kichik hamda cheksiz katta miqdorlar.
Agar o’zgaruvchi miqdor a limitga intilsa, u holda a o’zgarmas son ekani limitning ta’rifidan ko’rinadi. Ammo, «intiladi» tushunchasi o’zgaruvchi miqdorning boshqacha o’zgarish usulini tavsiflash uchun ham ishlatiladi.
Agar oldindan berilgan har bir musbat M son uchun shunday n0N son topilsaki, barcha n > n0 uchun xn >M tengsizlik o’rinli bo’lsa, {xn} ketma – ketlikning limiti deb qaraladi va yoki kabi belgilanadi.
Agar har qanday M > 0 son berilganda ham shunday n0N son topilsaki, barcha n > n0 uchun xn > M(xn < – M ) tengsizlik o’rinli bo’lsa, {xn} ketma – ketlikning limiti + (– ) deb qaraladi.
T a’ r i f. Agar {xn } ketma – ketlikning limiti cheksiz , bo’lsa, u holda {xn } cheksiz katta miqdor deyiladi.
Masalan, xn=2n ketma – ketlik cheksiz katta miqdor bo’ladi, chunki
M
T a’ r i f. Agar {xn} ketma – ketlikning limiti 0 ga teng bo’lsa, , u holda {xn} cheksiz kichik miqdor deyiladi.
asalan, ketma – ketlik cheksiz kichik miqdor bo’ladi, chunki .
T e o r e m a. {xn} ketma – ketlikning a limitga ega bo’lishi uchun cheksiz kichik miqdor bo’lishi zarur va etarli. Demak, {xn} ketma – ketlikning limiti a bo’lsa, uning umumiy hadi ni ko’rinishda yozish mumkin, bunda cheksiz kichik miqdor va aksincha.
T a’ r i f. Agar {xn} ketma – ketlikning limiti chekli son bo’lsa, uni yaqinlashuvchi ketma – ketlik, agar ketma – ketlikning limiti cheksiz yoki ketma – ketlik limitga ega bo’lmasa, uni uzoqlashuvchi ketma – ketlik deyiladi.
M i s o l. ketma – ketlikda: . Ravshanki, cheksiz kichik miqdor. Demak, berilgan ketma – ketlikning limiti 1 ga teng: .
1–Lemma. Ikki cheksiz kichik miqdor yig’indisi yana cheksiz kichik miqdor bo’ladi.
2–Lemma. Chegaralangan ketma – ketlik bilan cheksiz kichik miqdor ko’paytmasi cheksiz kichik miqdor bo’ladji. (Lemmalar isboti [4] 86-betda berilgan.)
Endi cheksiz kichik hamda cheksiz katta miqdorlar orasidagi bog’lanishni keltiramiz:
10. Agar cheksiz kichik miqdor bo’lsa, cheksiz katta miqdor bo’ladi.
20. Agar cheksiz katta miqdor bo’lsa, cheksiz kichik miqdor bo’ladi.
8. Yaqinlashuvchi ketma – ketliklar va ularning хossalari.
Ketma – ketlik limitining mavjudligi (ya’ni yaqinlashuvchi) haqidagi masala muhim masalalardan biridir. Bu masalani hal qilib beruvchi teoremalar mavjud. Biroq ular matematik tahlilning nozik faktlariga asoslanib isbotlanadi. (Isboti [3], 194-bet).
1–teorema. Agar ketma – ketlik o’suvchi bo’lib, yuqoridan chegaralangan bo’lsa, ketma – ketlik chekli limitga ega (ya’ni yaqinlashuvchi) bo’ladi.
2–teorema. Agar ketma – ketlik kamayuvchi bo’lib, quyidan chegaralangan bo’lsa, ketma – ketlik chekli limitga ega (ya’ni yaqinlashuvchi) bo’ladi.
T a’ r i f. Agar son olganda ham shunday n0ЄN topilsaki, barcha n > n0, barcha m > n0 uchun tengsizlik bajarilsa, fundamental ketma-ketlik deyiladi.
Har qanday yaqinlashuvchi ketma – ketlik fundamental ketma – ketlik bo’ladi.
3–teorema. (Koshi teoremasi). Agar ketma – ketlik fundamental ketma – ketlik bo’lsa, u yaqinlashuvchi bo’ladi.
Yaqinlashuvchi ketma – ketliklar qator хossalarga ega. Bu хossalarni isbotsiz keltiramiz.
|
