|
Markov va Chebishev tengsizliklariBog'liq Xushyorov Asadbek3. Markov va Chebishev tengsizliklari.
Markov (Markova) va Chebishev (Chebyshev) tengsizliklari, olaslik va
statistika sohasida amaliyotda intensiv ravishda ishlatiladigan tengsizliklar
hisoblanadi.
Markov Tengsizligi:
Markov tengsizligi, biron bir o'zgaruvchining garchi qanday turdagi
miqdorlar (moylar) uchun berilgan bir qiymatga qanday qilib yaqinlashishi
bilan bog'liq. Markov tengsizligi formulasi quyidagicha:
\[ P(X \geq a) \leq \frac{\mu}{a} \]
Bu formulada:
- \(P(X \geq a)\) - o'zgaruvchi \(X\) ning \(a\) dan katta yoki teng
bo'lganligi.
- \(\mu\) - o'zgaruvchi \(X\) ning o'zining ijarasi (expectation).
Markov tengsizligi, barcha amaliyotlarda va kontekstlarida foydalaniladi.
U, o'zgaruvchining qiymatlari jiddiy uzluksizlik shartini o'rganish uchun
yordam beradi.
Chebishev Tengsizligi:
Chebishev tengsizligi, har qanday o'zgaruvchi uchun qandaydir bir farq
(farqni kesishning orqasidagi harorat)ni chiqarish uchun foydalaniladi.
Chebishev tengsizligi formulasi quyidagicha:
\[ P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \]
Bu formulada:
- \(X\) - o'zgaruvchi.
- \(\mu\) - o'zgaruvchi \(X\) ning o'zining ijarasi (expectation).
- \(\sigma\) - o'zgaruvchi \(X\) ning o'zining standart deviasi.
- \(k\) - iste'mol qiluvchi to'g'ri son.
Chebishev tengsizligi, o'zgaruvchilar qatorining cheksiz vaqtincha
o'zgaruvchilariga duch keladigan olaylarni, turli hisob-kitob tizimlari va
ma'lumot analizi jarayonlarida ishlatiladi.
Bu tengsizliklar, o'zgaruvchilarning qanday qilib taqsimlanishi haqida
umumiy ma'lumotlar olishda va qanday qilib o'zgaruvchilarning qiymatlari
kesishmaydigan chegaralarda qanday qilib harakat qilib kelinishini
tushunishda yordam bera oladigan quyidagi qoidalarni o'rganishga
yordam bera oladi.
Ehtimollar nazariyasining limit teoremalari deb nomlanuvchi qator tasdiq
va teoremalarni keltiramiz. Ular yetarlicha katta sondagi tajribalarda
tasodifiy miqdorlar orasidagi bog‘lanishni ifodalaydi. Limit teoremalar
shartli ravishda ikki guruhga bo‘linadi. Birinchi guruh teoremalar katta
sonlar qonunlari(KSQ) deb nomlanadi. Ular o‘rta qiymatning turg‘unligini
ifodalaydi: yetarlicha katta sondagi tajribalarda tasodifiy miqdorlarning
o‘rta qiymati tasodifiyligini yo‘qotadi. Ikkinchi guruh teoremalar markaziy
limit teoremalar(MLT) deb nomlanadi. Yetarlicha katta sondagi
tajribalarda tasodifiy miqdorlar yig‘indisining taqsimoti normal
taqsimotga intilishi shartini ifodalaydi. KSQ ni keltirishdan avval
yordamchi tengliklarni isbotlaymiz.
|
| |
