4. Chebishev tengsizligi
Teorema(Chebishev).
Agar
X
tasodifiy
miqdor
DX
dispersiyaga ega
bo‘lsa, u holda uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli:
(1)
(1) tengsizlik Chebishev tengsizligi deyiladi.
Isboti.
ehtimollik
X
tasodifiy
miqdorning
oraliqqa
tushmasligi
ehtimolligini bildiradi bu yerda .
U holda
,
chunki integrallash sohasini ko‘rinishda yozish mumkin. Bu yerdan
ekanligi kelib chiqadi. Agar integrallash sohasi kengaytirilsa,
musbat
funksiyaning integrali faqat
kattalashishini hisobga olsak
,
.
Chebishev tengsizligini quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:
(2)
Chebishev tengsizligi ihtiyoriy tasodifiy miqdorlar uchun o‘rinli.
Xususan,
X
tasodifiy miqdor binomial qonun bo‘yicha taqsimlangan
bo‘lsin, . U holda va (1) dan
; (3)
n ta bog‘liqsiz tajribalarda ehtimolligi , dispersiyasi bo‘lgan hodisaning
chastotasi uchun,
. (4)
X
tasodifiy miqdorni oraliqga tushushi ehtimolligini
baholashni Markov
tengsizligi beradi.
Teorema(Markov).
Manfiy bo‘lmagan, matematik kutilmasi
MX
chekli
bo‘lgan
X
tasodifiy miqdor uchun da
(5)
tengsizlik o‘rinli.
Isboti.
Quyidagi munosabatlar o‘rinlidir:
.
(5) tengsizlikdan (1) ni osongina keltirib chiqarish mumkin.
(5) tengsizlikni quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:
. (6)
1-misol.
X
diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan:
Chebishev tengsizligidan foydalanib, ehtimollikni baholaymiz.
X
tasodifiy
miqdorning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz: ; .
Chebishev tengsizligiga ko‘ra:
Ehtimollar nazariyasi va uning tadbiqlarida ko‘pincha
yetarlicha katta
sondagi tasodifiy miqdorlar yig‘indisi bilan ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi.
Yig‘indidagi har bir tasodifiy miqdorning tajriba natijasida qanday
qiymatni qabul qilishini oldindan aytib bo‘lmaydi. Shuning uchun katta
sondagi tasodifiy miqdorlar yig‘indisining
taqsimot qonunini hisoblash
burmuncha qiyinchilik tug‘diradi. Lekin ma’lum shartlar ostida yetarlicha
katta sondagi tasodifiy miqdorlar yig‘indisi tasodifiylik xarakterini
yo‘qotib borar ekan. Amaliyotda juda ko‘p tasodifiy sabablarning
birgalikdagi ta’siri tasodifga deyarli bog‘liq bo‘lmaydigan
natijaga olib
keladigan shartlarni bilish juda muhimdir. Bu shartlar “Katta sonlar
qonuni” deb ataluvchi teoremalarda keltiriladi. Bular qatoriga Chebishev
va Bernulli teoremalari kiradi.
tasodifiy miqdorlar o‘zgarmas son
A
ga ehtimollik bo‘yicha
yaqinlashadi
deyiladi
, agar uchun
munosabat o‘rinli bo‘lsa. Ehtimollik bo‘yicha yaqinlashish kabi
belgilanadi.
tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi mos ravishda
matematik kutilmalarga
ega bo‘lib,
son uchun da
munosabat bajarilsa, tasodifiy
miqdorlar
ketma-ketligi
katta sonlar
qoniniga bo‘ysunadi
deyiladi.
