Texnologiyalar vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent axborot texnologiyalari universiteti farg

4. Chebishev tengsizligi 
Teorema(Chebishev). 
Agar 
X
 
tasodifiy miqdor 
DX
dispersiyaga ega 
bo‘lsa, u holda uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli: 
(1) 
(1) tengsizlik Chebishev tengsizligi deyiladi. 
Isboti. 
ehtimollik 
X
tasodifiy 
miqdorning 
oraliqqa 
tushmasligi 
ehtimolligini bildiradi bu yerda . 
U holda
 
, 
chunki integrallash sohasini ko‘rinishda yozish mumkin. Bu yerdan 
ekanligi kelib chiqadi. Agar integrallash sohasi kengaytirilsa, musbat 
funksiyaning integrali faqat 
kattalashishini hisobga olsak
, 
. 
Chebishev tengsizligini quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin: 
(2) 
Chebishev tengsizligi ihtiyoriy tasodifiy miqdorlar uchun o‘rinli. 
Xususan, 
X
tasodifiy miqdor binomial qonun bo‘yicha taqsimlangan 
bo‘lsin, . U holda va (1) dan 
; (3) 
n ta bog‘liqsiz tajribalarda ehtimolligi , dispersiyasi bo‘lgan hodisaning 
chastotasi uchun, 
. (4) 
X
tasodifiy miqdorni oraliqga tushushi ehtimolligini baholashni Markov 
tengsizligi beradi. 
Teorema(Markov). 
Manfiy bo‘lmagan, matematik kutilmasi 
MX
chekli 
bo‘lgan 
X
 
tasodifiy miqdor uchun da
 
(5) 
tengsizlik o‘rinli. 
Isboti. 
Quyidagi munosabatlar o‘rinlidir: 
. 
(5) tengsizlikdan (1) ni osongina keltirib chiqarish mumkin. 
(5) tengsizlikni quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin: 
. (6) 
1-misol. 
X
diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan: 
Chebishev tengsizligidan foydalanib, ehtimollikni baholaymiz. 
X 
tasodifiy 
miqdorning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz: ; . 
Chebishev tengsizligiga ko‘ra: 
Ehtimollar nazariyasi va uning tadbiqlarida ko‘pincha yetarlicha katta 

sondagi tasodifiy miqdorlar yig‘indisi bilan ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi. 
Yig‘indidagi har bir tasodifiy miqdorning tajriba natijasida qanday 
qiymatni qabul qilishini oldindan aytib bo‘lmaydi. Shuning uchun katta 
sondagi tasodifiy miqdorlar yig‘indisining taqsimot qonunini hisoblash 
burmuncha qiyinchilik tug‘diradi. Lekin ma’lum shartlar ostida yetarlicha 
katta sondagi tasodifiy miqdorlar yig‘indisi tasodifiylik xarakterini 
yo‘qotib borar ekan. Amaliyotda juda ko‘p tasodifiy sabablarning 
birgalikdagi ta’siri tasodifga deyarli bog‘liq bo‘lmaydigan natijaga olib 
keladigan shartlarni bilish juda muhimdir. Bu shartlar “Katta sonlar 
qonuni” deb ataluvchi teoremalarda keltiriladi. Bular qatoriga Chebishev 
va Bernulli teoremalari kiradi. 
tasodifiy miqdorlar o‘zgarmas son 
A
ga ehtimollik bo‘yicha 
yaqinlashadi 
deyiladi
, agar uchun 
munosabat o‘rinli bo‘lsa. Ehtimollik bo‘yicha yaqinlashish kabi 
belgilanadi. 
tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi mos ravishda matematik kutilmalarga 
ega bo‘lib, 
son uchun da
 
munosabat bajarilsa, tasodifiy 
miqdorlar ketma-ketligi 
katta sonlar 
qoniniga bo‘ysunadi
deyiladi. 

Download 1,25 Mb.