х
1
(0) и
х
2
(0).
Требуется найти матрицу перехода
)
(
t
цепи.
1. Строим граф цепи, переменных состояния цепи:
Рис.1. Граф цепи, переменных состояния.
МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЦИФРОВИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ И
ЭЛЕКТРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ
169
Передачами ветвей графа являются элементы основной матрицы цепи
4
-
3
2
-
1
A
2. Вычисляем матрицу
4
p
3
-
2
1
-
p
A
-
J
p
и строим граф для изображений и
начальных значений переменных состояния, изображающий уравнения (10):
3. Выполняем инверсию ветвей с передачей р-1 и р+4:
Рис.2. Инверсия ветвей с передачей р-1. р+4
Рис.3. Инверсия ветвей с передачей р+4
4. Исключаем узел Х
2
(p) и затем узел Х
1
(p):
а)
б)
Рис.4. Исключение узлов графов
5. Исключаем петлю с передачей
)
4
)(
1
-
p
(
6
p
и находим изображения элементов
матрицы перехода
)
(
t
:
МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЦИФРОВИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ И
ЭЛЕКТРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ
170
а)
б)
Рис.5. Исключение петлей графов.
6. По виду графов записываем:
).
0
(
)
2
2
(
)
0
(
)
2e
-
e
3
(
)
0
(
)
2
)(
1
(
2
)
0
(
2)
1)(p
(p
4
p
L
(t)
x
2
2
1
2t
-
t
-
2
1
1
1
-
1
x
e
e
x
x
p
p
L
x
t
t
).
0
(
)
3
2
(
)
0
(
)
3e
-
e
3
(
)
0
(
)
2
)(
1
(
1
)
0
(
2)
1)(p
(p
3
L
(t)
x
2
2
1
2t
-
t
-
2
1
1
1
-
2
x
e
e
x
x
p
p
p
L
x
t
t
Записываем матрицу перехода
)
(
t
.
e
3
2e
-
3e
-
3e
2e
2e
-
2e
-
e
3
)
(
2t
-
t
-
2t
-
t
-
2t
-
t
-
2t
-
t
-
t
С помощью графа переменных состояния цепи может быть найдена не только
матрица перехода
)
(
t
, но и рассчитан полностью сам переходный процесс в цепи.
Введѐм вектор-столбец x
, вектор-столбец
u
и вектор-столбец
v
соответственно
для представления переменных состояния процесса, входа и системы увеличенный
размерности и получим первое дифференциальное уравнение цепи из системы (1) в
виде [ 2 ]:
,
V
y
A
V
(11)
где
,
x
u
V
A
– основная матрица цепи увеличенный размерности.
Решение уравнения (11) имеет вид:
),
0
(
)
(
)
(
V
t
t
V
y
(12)
где
),
(
t
y
называется расширенной матрицей перехода цепи, т.к. характеризует
одновременно изменение как переменных состояния цепи, так и входа. Если заданы
начальные условия, то могут быть легко найдены функции времени, описывающие
изменение переменных состояния цепи.
Дополнив граф переменных состояния цепи узлами, соответствующими
входным переменным
)
(
t
u
, передачами между переменными состояния и
входными переменными, получим граф, изображающий уравнение (11) во
временной области.
Для этого необходимо описать с помощью графов и входные воздействия.
Ниже показаны графовые модели в переменных состояния для экспоненциальной
e(t)=Ee
at
, постоянной
e(t)=E
и синусоидальной э.д.с.
e(t)=E
m
sin(ωt+ψ
e
):
МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЦИФРОВИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ И
ЭЛЕКТРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ
171
а) б)
Рис.6. Графовые модели переменных состояния.
Приведѐм пример расчѐта переходных процессов с помощью графов
переменных состояния для схемы рис. 7а при e(t) = E = 60 в, R
1
= 20 ом, R
2
= 40 ом;
L = 0,2 мГн, С = 1 мкФ, R
3
= 40 ом.
1) Выбрав в качестве переменных состояния напряжение на ѐмкости
u
C
и ток
в индуктивности
i
L
, определим начальные условия и запишем дифференциальные
уравнения цепи в переходном режиме [3,4]:
B
R
R
i
u
u
А
R
R
R
E
i
i
L
С
C
L
L
48
)
)(
0
(
)
0
(
)
0
(
;
6
,
0
)
0
(
)
0
(
3
2
уст
3
2
1
уст
уст
e
dt
di
L
i
R
i
R
e
u
i
R
i
dt
du
C
i
L
C
C
L
2
1
1
1
1
1
0
(13)
2) Решаем (13) относительно первых производных выбранных переменных
состояния
u
C
и
i
L
и получаем:
L
C
L
C
L
L
L
C
L
C
C
C
i
u
i
L
R
u
L
dt
di
i
e
i
u
e
C
R
i
C
u
C
R
dt
du
u
5
3
2
)
1
(
4
6
4
1
1
)
1
(
10
2
10
5
1
10
5
10
10
5
1
1
1
(14)
МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЦИФРОВИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ И
ЭЛЕКТРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ
172
а) б
)
в) г)
д) е)
Рис. 7. Графы переменных состояния
3) Граф переменных состояния, соответствующий уравнениям (14), построен
на рис. 7б, из рассмотрения которого находим основную матрицу цепи
увеличенной размерности:
5
3
6
4
4
10
2
10
5
0
10
10
5
10
5
0
0
0
A
Y
4) Использовав выражение
y
A
J
p
, строим граф изображений переменных
состояния (рис. 7в) ∙ Инвертируя ветви с передачами
р
, (
р+5·10
4
), (
р+2·10
5
) и
исключив узлы Е(р) и I
L
(р), получим граф рис. 7д, из которого после исключения
петли находим:
)
0
(
)
10
5
,
1
)(
10
(
10
)
0
(
)
10
5
,
1
)(
10
(
10
2
)
0
(
)
10
5
,
1
)(
10
(
)
10
2
(
10
5
)
(
5
5
6
5
5
5
5
5
5
4
L
C
C
i
p
p
u
p
p
p
e
p
p
p
p
p
U
5) Аналогично из графа рис. 7е определяем изображение тока в ветви с
индуктивностью:
)
0
(
)
10
5
,
1
)(
10
(
10
5
)
0
(
)
10
5
,
1
)(
10
(
10
5
)
0
(
)
10
5
,
1
)(
10
(
10
25
)
(
5
5
4
5
5
3
5
5
7
L
C
L
i
p
p
u
p
p
e
p
p
p
p
I
6) Переходя к оригиналам и учитывая, что е(0) = Е = 60 В,
u
C
(0) = 48 B,
i
L
(0) = 0,6
A, получим выражения для искомых переменных:
А
e
e
t
i
В
e
e
t
u
t
t
t
L
C
5
10
5
,
1
5
10
5
10
5
,
1
t
5
10
6
,
1
2
,
1
1
)
(
,
16
24
40
)
(
МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЦИФРОВИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ И
ЭЛЕКТРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ
173
По работе можно сделать следующее заключение: метод графов переменных
состояния является строгим и точным методом расчета переходных процессов в
линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами [5,6].
Сохраняя все достоинства метода пространства переменных состояния,
указанный подход является более простым и наглядным, более эффективным в
вычислительном отношении. Это становится особенно важным при расчѐте цепей
высокого порядка, т.к. аналитический метод определения матрицы перехода,
необходимый для вывода уравнений состояния методом пространства параметров
состояния, можно рекомендовать для цепей не выше третьего порядка. Если
электрическая цепь описывается системой уравнений более высокого порядка, то
определение матрицы перехода становится громоздким, и только для некоторых
частных случаев задача решается сравнительно просто.
Кроме того, метод графов переменных состояния подтверждает известные
выводы о том, что сигнальные графы являются эффективным средством, дающим
возможность осуществления логичной последовательности действий при решении
совместных линейных уравнений, описывающих состояние электрической цепи.
|
