Vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent

F x, y, y^, y^,..., y^{n }  0
(1.24)

ko`rinishdagi tenglama n  tartibli differensial tenglama tenglama deyiladi.
Berilgan tenglamani ayniyatga aylantiradigan ⁿ marta
differensiallanuvchi ^{ x} funksiyaga uning yechimi deyiladi. Bunday

tenglamalar uchun uning
yx₀  
y₀ ,
y^x₀
  y₀^ _{, … \
y}n1 _x
  y₀
n1

0
boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi Koshi
masalasi deyiladi. Agar <sup>y  x,C1,C2 ,...Cn </sup> funksiya o`zgarmas
^C1,C2,...Cn larning mos qiymatlarida tenglamaga qo`yilgan ixtiyoriy Koshi masalasining yechimi bo`lsa, bu funksiya (2.21) tenglamaning umumiy

yechimi deyiladi. Umumiy yechimdan
C₁,C₂ ,...C_n
larning muayyan

qiymatida hosil qilingan yechimga xususiy yechim deyiladi. n  tartibli
differensial tenglamalarni ayrim hollardagina integrallash mumkin. Bulardan biri tartibini pasaytirish mumkin bo`lgan differensial tenglamalardir.

_yn  _
f x

ko`rinishdagi differensial tenglamalar. Bunday

tenglamalarning umumiy yechimi n marta ketma-ket integrallash orqali topiladi.

_yn  _
f x

_yn1 _{ }
f xdx 
f₁ x C_{1 ,}

_yn2 _
 f₁
x С₁
dx 
f₂ x C₁ x  C₂


,…,

y  f_n
x C x^n1  C
x^n2  ...  C


n1
x  C_{n ,}

1

2
bu yerda ^Ci
 C_i
^{n  i!}.

6. 
   misol. ^{y ''  1  sin x}
   

x

differensial tenglamani yeching.

• 
  Ikki marta integrallaymiz:
  

y^  _ ^{ 1}  sin x ^dx  ln x  cos x  C

x
  _{1 ,}
 
y  _ ln x  cos x  C₁ dx  x ln x  x  sin x  C₁x  C_{2 .}
Demak, berilgan tenlamaning yechimi:
y  x ln x  x  sin x  C₁x  C_{2 .◄}
^{F x, yk , yk 1,..., yn  0} ko`rinishdagi differensial tenglamalar.
Bunday tenglamalar ^{yk   z} almashtirish orqali tartibi pasaytiriladi. Bu holda

F x, z, z^,..., z^{nk }  0
( ^{n  k} ) – tartibli differensial tenglama hosil bo`ladi. Xususan,


n  k 1

uchun birinchi tartibli
Fx, z, z^  0
differensial tenglama hosil bo`ladi.

Bu tenglamaning yechimini ^k marta integrallab berilgan tenglamaning yechimi topiladi.

7. 
   misol. ^{xy  yln y}
   

x
differensial tenglamani yeching.

• 
  y^  z
  

deb belgilab yechamiz.

xz^  z ln
^z , ^{z }
x
z _ln z _.

x x

Hosil bo`lgan bir jinsli differensial tenglamada bajaramiz.
z  ux
almashtirish

u^x  u  u ln u
yoki
du _ dx _.

Integrallab,

u(ln u 1) x

lnln u 1  ln x  ln C₁
yoki
ln u 1  C₁x _.

Bundan
_{u  e}1C₁ x
yechimni olamiz va u dan y o`zgaruvchiga qaytamiz,

ya‟ni
^{y  xe1C1 x} . Natijada,
y  _
xe^{1C1 x}dx  ¹
C_1
xe1C₁ x _
¹ _e1C₁ x _{ C .◄}

C

2

2
1

8. 
   _misol. y^ctgx  y^  2
   

differensial tenglamani yeching.

• 
  y^  z
  

deb belgilab yechamiz:
z^  tgx  z  2tgx _.

Hosil bo`lgan chiziqli differensial tenglamada bajaramiz.
z  uv
almashtirish

v^  tgx  v  0 _va
^{uv  2tgx} .

Birinchi tenglamaning qo`yamiz:
v  cos x
yechimini ikkinchi tenglamaga

u^ 
2sin x
cos² x ^.

Bundan
u  ² cos x

• 
  C₁
  

hosil bo`ladi. Natijada, birinchi tartibli chiziqli

z  uv  cos x^{ 2}  C ^  2  C

cos x




differensial tenglamaning yechimi
^ cos x ^{1  1}

ga ega bo`lamiz. Bu tenglikni ikki marta integrallab berilgan tenglamaning
yechimi topiladi:
y^  _ 2  C₁ cos xdx  2x  C₁ sin x  C_{2 ;}

y  _ 2x  C₁ sin x  C₂
dx  x²  C cos x  C x  C

1
_{2 3} .◄

F y, y^, y^,..., y^{n }  0

ko`rinishdagi differensial tenglamalar.

Erkli x o`zgaruvchioshkor qatnshmagan bunday tenglamalar
y^  z( y)

almashtirish orqali tartibi pasaytiriladi. Bu holda,
y^  z^( y)  y^  z^z _,

y^  z^z²  z^² z, ...
va hakozo almashtirishlardan foydalanib,

tenglamaning tartibi bittaga pasaytiriladi.

9. 
   misol. Koshi masalasini yeching:
   

^{2 yy '' 1 }  ^{y '}2 ^,
y(0)  2,
^{y0  1} .

• 
  y^  z,
  

y^  z  ^dz
dy

deb belgilab yechamiz:

2 yz  ^dz
dy
 1  z² _.

Hosil bo`lgan birinchi tartibli o`zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamani yechamiz.

2zdz _ dy
yoki
^{ln1 z2  ln y  ln C} .

Bundan

z  
1  z²
y
, ya‟ni


y^  
1


hosil bo`ladi.

y(0)  2,
y^0  1
boshlang`ich shartlarga ko`ra,
^{С1  1}. Natijada,

y^ 
yoki
 dx

tenglikga ega bo`lamiz. Bu tenglikni integrallab berilgan tenglamaning

umumiy integralini topamiz va foydalanamiz:
y(0)  2
boshlang`ich shartdan

2  x  C₂
va С₂  2  ^{2
 x  2} .

_ x  2 _²

Demak, Koshi masalasining yechimi:
y  _

^{  1} .◄

2


Yuqori tartibli chiziqli diffеrеnsiаl tеnglаmаlаr. Agar n- tartibli differensial tenglamada izlanayotgan funksiya va uning hоsilalari birinchi darajada qatnashsa, bunday tenglama n- tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi.
U quyidagi ko`rinishga ega:

1

0

n
a (x) y⁽ⁿ⁾  a (x) y^(n1)  ...  a
(x) y 
f (x) _.

Bu yerda
a₀ (x),a₁ (x),..., a_n (x) _{lar va}
f ( x)
biror ^D sohada berilgan x ning

ma‟lum uzluksiz funksiyalari(o`zgarmas bo`lishi ham mumkin).

i
^{a (x)i  1, n}funksiyalar tenglamaning kоeffitsientlari deyiladi, shu bilan

birga
^a₀ ^{(x)  1} (agar 1 ga teng bo`lmasa tenglamaning hamma hadlarini

unga bo`lishimiz mumkin), f(x) funksiya esa ozod hadi deyiladi.

Agar
f (x)  0
bo`lsa, ushbu

1

n
y⁽ⁿ⁾  a (x) y^(n1)  ...  a
(x) y 
f (x)
(1.25)

tenglama n - tartiblichiziqli bir jinsli bo`lmagan differensial tenglama
deyiladi.

Agar
f (x)  0
bo`lsa, ushbu

1

n
y⁽ⁿ⁾  a (x) y^(n1)  ...  a

(x) y  0

(1.26)

tenglama n – tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama deyiladi.

Download 200,38 Kb.