Vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent

y^  y^cos x  x² y  0,
y^  cos x
tеnglamalar mоs ravishda ikkinchi va

uchinchi tartibli oddiy differensial tеnglamalarga misоl bo„ladi.
Quyida biz faqat birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar bilan tanishamiz, u umumiy hоlda

yoki y^ga nisbatan yechilgan

F(x, y, y^)  0
(1.1)

y^ 
f (x, y)
(1.2)

ko„rinishda bеlgilanadi. Birinchi tartibli differensial tenglamalarni, ba‟zida,
differensial shakl deb ataluvchi

ko„rinishda yozish qulay.

P(x, y)dx  Q(x, y)dy  0
(1.3)

Diffеrеnsial tеnglamaning yеchimi(yoki intеgrali) dеb, tenglamaga qo„yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday diffеrеnsiallanuvchi
y  (x) ^{funksiyaga aytiladi. Bu funksiya grafigi esa integral chiziq deb}
ataladi. Diffеrеnsial tеnglamaning yеchimini topish jarayoni diffеrеnsial tеnglamani intеgrallash dеb yuritiladi.

1. misol.

y  xe^3x
funksiya
y^  6y^ 9 y  0
differensial tenglamaning

yechimi ekanini isbotlang.

• 
  y  xe^3x
  

funksiya va uning
^{y  3x 1e3x} ,
y^  9x  6e^3x

hosilalarini berilgan tenglamaga qo`yamiz va ayniyat hosil qilamiz:
^{9x  6e3x  63x 1e3x  9xe3x  e3x 9x  6 18x  6  9x  0} .◄

Birinchi tartibli
y^ 
f (x, y)
differensial tenglamaning D sohadagi

umumiy yechimi deb quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi
y  (x, C)

funksiyaga aytiladi: 1) u biror to`plamga tegishli ixtiyoriy o`zgarmas С da

berilgan tenglamaning yechimi bo`ladi; 2) ixtiyoriy
y₀  y(x₀ )

x₀ ,
y₀  D
sohadagi boshlang`ich shart uchun o„zgarmas С ning

^{shunday yagona} С₀
qiymatini topish mumkinki,
y  (x, C₀ )
funksiya

berilgan boshlang„ich shartni qanoatlantiradi.

y  (x, C)
umumiy yechimdan o`zgarmasning muayyan
С  С₀

qiymatida hosil qilinadigan har qanday
yechim deyiladi.
y  (x, C₀ )
qiymatiga xususiy

y^ 
f (x, y)
tenglamaning
y₀  y(x₀ )
boshlang`ich shartni

qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topish masalasi Koshi masalasi
deyiladi.
Diffеrеnsial tеnglama har qanday yеchimining ^Oxy tekisligidagi

grafigi intеgral chiziq dеyiladi. Shunday qilib,
y  (x, C)
umumiy

yechimga ^Oxy tekisligida bir-biridan faqat o`zgarmas ^С ga farq qiladigan

integral chiziqlarlar oilasi,
y₀  y(x₀ )
boshlang`ich shartni

qanoatlantiruvchi xususiy yechimiga esa bu oilaning o`tuvchi egri chizig`i mos keladi.
^{M (x0 , y0 )} nuqtadan

Teorema(Koshi). Agar
f (x, y)
funksiya D sohada uzluksiz bo`lsa va

uzluksiz ^f
y
xususiy hosilaga ega bo`lsa, u holda
y^ 
f (x, y)
differensial

tenglamaning yagona.
y₀  y(x₀ )
boshlang`ich shartdagi yechimi mavjud va

Eslatma. Differensial tenglamaning umumiy yechimidan hosil qilib
bo`lmaydigan yechimlari ham bo`lishi mumkin. Bunday yechimlar maxsus yechimlar deb ataladi va uning ixtiyoriy nuqtasida Koshi teoremasining

shartlari buziladi. Masalan,
y^  3³
y 1²
tenglamaning umumiy

yechimi:
^{y  x  C3 1} , C ixtiyoriy o`zgarmas.
y  1
funksiya ham

tenglamaning yechimi, lekin uni umumiy yechimdan hech qanday

o`zgarmas <sup>C</sup> da hosil qilib bo`lmaydi. Demak, tenglamaning maxsus yechimi ekan.
y  1
differensial

O`zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar. Ushbu

P(x)dx  Q( y)dy  0

(1.4)

_ P(x)dx  _Q( y)dy  С
(1.5)

bo`ladi, bu yerda С - ixtiyoriy o`zgarmas.

Ushbu

yoki
M₁ (x)N₁ ( y)dx  M₂ (x)N₂ ( y)dy  0

(1.6)

y^ 
f₁(x) f₂ ( y)
(1.7)

ko`rinishdagi tenglamalarga o`zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar deiladi. Ularda o`zgaruvchilarni ajratish quyidagicha

bajariladi. (1.6) tenglamaning ikkala qismini,
^{N1( y)  0} ,
M ₂ (x)  0
deb

faraz qilib,

N₁ (x)M₁

10. 
    ga bo`lamiz. (1.7) tenglamada
    

y^  ^dy
dx

ekanini

e‟toborga olib, uning ikkala qismini dx ga ko`paytiramiz va bo`lamiz. Natijada, (1.4) shakldagi o`zgaruvchilari ajralgan
f₂ ( y)  0 _ga

M₁ (x) _{dx } N₂ ( y) _{dy  0}


f ( x)dx  ^dy  0

M ₂ (x)
, 1
N₁ ( y)
f₂ ( y)

tenglamalar hosil bo`ladi va ularni integrallanadi:

M


M₁ (x) _{dx }

2
(x)
N₂ ( y) _{dy  С ,}

N

1


( y)
_ f₁ (x)dx  _
dy _{ С .}
f₂ ( y)

2. misol.

y^y
 1  0
differensial tenglamaning umumiy

integralini toping.

_{y } ^dy dy

• 
  Tenglamada _dx
  

ekanini e‟toborga olib, _dx ^y
 1  0 _ni

hosil qilamiz va o`zgaruvchlarini ajratamiz:

y _{dy } dx
 С _.

Integrallab, umumiy yechimini topamiz

Bir jinsli differensial tenglamalar. Agar

f (x, y)
funksiya uchun

f (tx,ty)  t^т f (x, y)
shart bajarilsa(bu yerda t- ixtiyoriy parametr),

f (x, y)
sоn.
funksiya n o‘lchоvli bir jinsli funksiya deb ataladi, bunda n birоr

Masalan,
f (x, y)  xy  y²
funksiya uchun

f (tx,ty)  tx ty (ty)²
 t ² (xy  y² )
bo„lib, bu funksiya
x²  y ²
n  2

o„lchovli bir jinsli funksiya bo„ladi.
jinsli funksiyadir.
f (x, y) 
, n  0
xy
o„lchovli bir

y^ 
f (x, y)
diffеrеnsial tеnglamada
f (x, y)
funksiya nоl o„lchоvli

bir jinsli funksiya bo„lsa, bunday diffеrеnsial tеnglamaga birinchi tartibli bir jinsli diffеrеnsial tеnglamadеyiladi.

f (tx,ty) 
f (x, y)
shartga bo„ysunadigan nоl o„lchоvli bir jinsli

funksiya
f (x, y)  ^{ y }

 
x

ko„rinishda yozilishi mumkin. Haqiqatdan ham, t

 

parametrni ixtiyoriy tanlab оlish mumkin bo„lgani uchun

t  ¹

y _ y _
x

dеb оlаmiz.

f (x, y) 
f (tx,ty) 
f (1, )  

U holda
_x  _x  _.

 
y^  ^{ y }

Shunday qilib, bir jinsli diffеrеnsial tеnglamani
 _x 

 

ko„rinishda ifodalash mumkin. Bir jinsli tеnglama
bilan o„zgaruvchilari ajraladigan
y  xu(x) almashtirish

xu^  (u)  u
diffеrеnsial tеnglamaga kеltiriladi.
(1.8)