Vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent

tenglamada
P(x, y)
_va Q(x, y)
funksiyalar bir xil o`lchovli bir jinsli

funksiya bo`lsa, u holda bu tenglama bir jinsli diffеrеnsial tеnglama bo`ladi.

3. misol.

y^ 
x  2 y


2x  y

differensial tenglamani yeching.

• 
  Bir jinsli differensial tenglama bo`lgani uchun o`zgaruvchini quyidagicha almashtirami
  

^y  u  y  ux  y^  u  u^x _,
x

u  x ^du
dx
_ 1  2u _,
2  u
_x du dx
1 u²


2  u ^.

O„zgaruvchilarini ajratamiz va integrallaymiz:

2  u _{du } dx _, 1 u² x


_ 2 _ u _{du } dx


^ 1  u² 1  u^{2  } x ^,
 

2arctgu  ¹ ln 1  u²
2
 ln
x  ln C,

^{y 1}  ^y2 

2arctg

^{ ln}^{1 }

x 2 _

 ^{ ln}

_x2 _
x  ln C _,

2arctg ^y

x
 ln C
^.◄

Birinchi tartibli chiziqli diffеrеnsial tеnglamalar. Nоma`lum funksiya va uninghоsilasiga nisbatan chiziqli bo„lgan differensial tenglama birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deb ataladi.
Chiziqli tenglamaning umumiy ko„rinishi quyidagicha:
y^  P(x) y  Q(x) _{, (1.9)}

bu yerda
P(x) va
Q(x)
lar x ning uzluksiz funksiyalari(yoki

o„zgarmaslar).

Agar
P(x)  0
yoki ^{Q(x)  0} bo„lsa, (1.9) tenglama o„zgaruvchilari

ajraladigan tenglama bo„ladi. ^{P(x)  0}
va ^{Q(x)  0}
deb faraz qilamiz.

y  u(x)v(x) _
y  uv
(1.10)

Bu funksiyalardan birini ixtiyoriy tanlab olish mumkin, ikkinchisini esa (1.9) tenglama asosida aniqlanadi. (1.10) tenglikdan y^ ni hisoblaymiz
y^  u^v  uv^ _.
y va y^ ni (1.9) tenglamaga qo„yamiz

yoki
u^v  uv^ P(x)uv  Q(x)

(1.11)

u^v  u(v^ P(x)v)  Q(x)_{. (1.12)}
Funksiyalardan birini ixtiyoriy tanlab olish mumkin bo„lgani uchun ^v funksiyani qavs ichida turgan ifoda nolga teng bo„ladigan qilib tanlaymiz, ya‟ni

v^  P(x)v  0
(1.13)

bo„lishini talab qilamiz. U holda ^u funksiyani topish uchun (1.12) tenglikdan quyidagi tenglamani hosil qilamiz:

u^v  Q(x)
Dastlab, (1.13) tenglamadan ^v ni topamiz:
_{v  C  e}_ P( x )dx _.
(1.14)

(1.13) tenglamaning noldan farqli birorta yechimi zarur, shuning

uchun
C  1 deb olamiz. U holda
_{v  e}_ P( x)dx _{. (1.15)}

^v ning bu topilgan ifodasini (1.14) tenglamaga qo„yib, u funksiya uchun o„zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilamiz:
u^ e^ P( xdx  Q(x) _.
Bu tenglamaning yechimi
u  _Q(x)  e^ P( x)dx  dx  C _{. (1.16)} (1.15) va(1.16)lar u va v ning x orqali ifodalarini beradi. u va v ni (1.10)ga qo„yib, berilgan chiziqli tenglamaning umumiy yechimini hosil
qilamiz

bir jinsli qismining umumiy yechimi

_{y  Сe}_ P( x )dx

topiladi. Ixtiyoriy

o`zgarmas C ni x ning funksiyasi
С(x)
deb olsak,

_{y  С(x)e}_ P( x)dx
hosil bo`ladi. Uni (1.9) tenglamaga qo`yamiz va
С^(x)e^ P( x)dx  Q(x)
tenglamani hosil qilamiz. Bundan
С(x)  _Q(x)e^ P( x )dxdx  С
(1.18)
(1.19)
(1.20)

bo`ladi va uni (1.18) ga qo`ysak, berilgan (1.9) tenglamaning umumiy yechimi (1.17) hosil bo`ladi.
Eslatma. Ayrim hollarda differensial tenglama x ni y ning funksiyasi

deb qaralganda chiziqli bo`lishi mumkin. Bu hollarda tenglama yuqoridagi biror usulda yechiladi.

4. 
   misol. Koshi masalasi yechimini toping.
   

y^  y cos x  ¹ sin 2x, y(0)  0.
2
^dx  p( y)x  q( y) dy

• 
  Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama, chunki
  

P(x)  cos x, Q(x)  ¹ sin 2x
2

y  uv
deb belgilab yechiladi.
_{v  e}_ P( x)dx _{ e}cosxdx


_{ e}sin x

u  Qxe^ P^x ^dxdx  ¹

sin 2x _{dx } 1

e^{sin x} sin 2xdx 

 ₂  _e^{sin x} ₂ 

 _ e^{sin x} sin x cos xdx 
sin x  t
cos xdx  dt
 _ te^tdt 

_ u  t,
du  dt


 te^t

• 
  _e^t dt  te^t
  

• 
  _et
  

• 
  C 
  

dv  e^t dt,
v  e^t
 sin xe^{ sin x}

• 
  _esin x
  

• 
  C.
  

yoki
U holda umumiy yechim
_{y  e}sin x _{(sin xe} sin x _{ e}sin x


y  sin x 1 Ce^sinx _.
Boshlang`ich shartga ko`ra,

 C)_,

y(0)  0  0  0 1 C  C  1.

Demak, Koshi masalasining yechimi
y  sin x 1 e^sinx _.◄

Bernulli tenglamasi. Ushbu

y^ P(x) y  Q(x) yⁿ
(1.21)

ko`rinishdagi differensial tenglamaga Bernulli tenglamasi deyiladi, bu

yerda
P(x) va
Q(x)
lar x ning uzluksiz funksiyalari, hamda
n  0,
n  1_.

Bеrnulli tеnglamasini
^yn ga bo„lamiz:

y^n  y^  P(x)  y^n1  Q(x)_{. (1.22)}

So„ngra
^{z  y n1} almashtirish bajarib,
z'  (n 1)  y ^n  y' _ekanligini

hisоbga оlib (1.22)ga qo„ysak,
z'(n 1)  P(x)  z  (n 1)  Q(x)

(1.23)

birinchi tartibli chiziqli diffеrеnsial tеnglamaga ega bo„lamiz. Chiziqli

differensial tenglamaning umumiy yechimi topiladi, hamda zo„rniga ni qo„yib, Bernulli tenglamasining umumiy yechimi topiladi.
_y n1

5. 
   misоl. ^{y  xy  xy3} diffеrеnsial tеnglamaning umumiy yеchimini tоping.
   

• 
  Bеrilgan tеnglamani
  

y ³ bo„lib,

y^3 y^  y^2 x  x

tеnglamani hоsil qilamiz.
y^2  z
almashtirish bajarsak,
z^  2 y^3 y^

bo„ladi. Bularni tеnglamaga qo„yib,

bo„ladi, z ning o„rniga

z  C  e^x2 1
^{y 2} ni qo„yib, bеrilgan Bеrnulli tеnglamasining

umumiy yеchimini hosil qilamiz
y ^2  C  e^x2


 1,


y² 

1

Ce^x2


_{ 1} .◄

2. Yuqori tartibli differensial tenglamalar. Tartibi pasayadigan differensial tenglamalar

Download 200,38 Kb.