46
5.2. Qo‘shni va vertikal burchaklar
5
a
b
30°
30°
150°
150°
3
A
O
B
∠
AOB
∠
BOC
qo‘shni
burchaklar
C
4
∠
1 va
∠
3
∠
2 va
∠
4
vertikal
burchaklar
3
1
2
4
Bittadan
tomoni ustma-ust tushib,
qolgan
tomonlari bir-birini to‘ldiruvchi
nurlardan iborat
bo‘lgan ikkita burchak
qo‘shni burchaklar
deyiladi.
3-rasmda
AOB
va
BOC
qo‘shni burchaklar
tasvirlangan.
Ularda
OB
tomon umumiy,
OC
va
OA
nurlar esa bir to‘g‘ri chiziqda yotadi va
bir-birini to‘ldiradi.
Bu
AOC
burchakning
yoyiq burchak ekanli
-
gidan dalolat beradi. Ikkinchi tomondan, ta’rifga
ko‘ra,
AOC
burchak
AOB
va
BOC
qo‘shni bur
-
chaklar yig‘indisidan iborat. Mulohazalarimiz
quyidagi xossaning o‘rinli ekanini ko‘rsatadi:
Xossa:_qo‘shni_burchaklar_yig‘indisi_180°_ga_teng._Bu_xossadan_bevosita_quyidagi_natijalar_ham_kelib_chiqadi:__1natija.'>Xossa:
qo‘shni burchaklar yig‘indisi 180°
ga teng.
Bu xossadan bevosita quyidagi natijalar ham
kelib chiqadi:
1natija.
Agar qo‘shni burchaklar teng bo‘l
-
sa, ular to‘g‘ri burchak bo‘ladi.
2natija.
To‘g‘ri burchakka qo‘shni burchak
ham to‘g‘ri burchak bo‘ladi.
3natija.
Qo‘shni burchaklarning biri o‘tkir
(o‘tmas) bo‘lsa, ikkinchisi o‘tmas (o‘tkir) bo‘la
-
di.
Vertikal burchaklar
deb birining tomonlari ik
-
kinchisining tomonlari davomidan iborat nurlardan
tashkil topgan burchaklarga aytiladi. 4-rasmda
∠
1 va
∠
3 vertikal burchaklardir. Shuningdek,
∠
2
va
∠
4 ham vertikal burchaklar juftini hosil qiladi.
Endi vertikal burchaklarning
quyidagi xossasini
isbotlaymiz.
Xossa:
vertikal burchaklar o‘zaro teng.
Aytaylik,
∠
1 va
∠
3 vertikal burchaklar berilgan bo‘lsin
(4-rasm)
.
∠
1 =
∠
3 bo‘lishini
isbotlaymiz.
Isbot:
∠
1 +
∠
2 = 180°, chunki
∠
1 va
∠
2 qo‘shni burchaklardir.
∠
2 +
∠
3 = 180°, chunki
∠
2 va
∠
3 lar ham qo‘shni burchaklardir.
Bu ikki tenglikdan
∠
1 +
∠
2 =
∠
2 +
∠
3,
ya’ni
∠
1 =
∠
3 ekanini hosil qilamiz.
Xossa isbotlandi.
Shunday qilib, ikki to‘g‘ri chiziq kesishganda vertikal va qo‘shni burchaklar hosil bo‘ladi.
Ma’lumki, qo‘shni burchaklar jufti o‘zaro yoyiq burchakni tashkil qiladi. Ularning biri 90° dan
katta bo‘lsa, ikkinchisi 90° dan kichik bo‘ladi. Qo‘shni burchaklardan kichigining gradus
o‘lchovini
to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchak
deb atash qabul qilingan. 5-rasmdagi to‘g‘ri
chiziqlar orasidagi burchak 30° ni tashkil etadi. Buni
“to‘g‘ri chiziqlar 30° li burchak ostida
kesishadi”
, deb ham aytamiz.
47
Masala
.
Ikki to‘g‘ri chiziqning kesishishi
-
dan hosil bo‘lgan burchaklardan biri ikkin
-
chisidan 24° katta bo‘lsa, bu burchaklarni toping.
Yechish
.
Ma’lumki, ikki
a
va
b
to‘g‘ri chiziq
kesishishidan hosil bo‘lgan burchaklar qo‘shni yoki
vertikal burchaklar bo‘ladi
(6-rasm)
. Lekin vertikal
burchaklar o‘zaro teng bo‘ladi.
Demak, masala shartida
berilgan burchaklar
qo‘shni burchaklar ekan. Ularning birini (kichigini)
x
bilan belgilasak, ikkinchisi
x
+
24° ga teng bo‘la
-
di. Qo‘shni burchaklar xossasiga ko‘ra,
x
+
x
+
24°= 180°. Bundan
x
= 78° va
x
+ 24°=102°
ekanini aniqlaymiz.
Javob:
a
va
b
to‘g‘ri chiziqlar kesishganda 78°, 102°, 78° va 102° li burchaklar hosil
bo‘ladi.
5.3. Geometriyani o‘rganishda fikrlar ketma-ketligi va bog‘liqligi
Shu paytgacha qator geometrik shakllar va ularning xossalari bilan tanishib chiqdik. Ma
-
salan, o‘tgan mavzuda vertikal burchaklar bilan tanishdik va ularning o‘zaro teng bo‘lishini
ko‘rsatdik. Eslasangiz, bu xossa bilan shunchaki tanishmasdan, uni isbotladik. “Vertikal
burchaklar teng” degan tasdiqning to‘g‘riligini mulohaza yuritish orqali asosladik. Bu “isbot”
tushunchasi bilan ilk tanishishimiz bo‘ldi. Geometriyaga birinchi bo‘lib “isbot” tushunchasini
olib kirgan matematik miloddan avvalgi 625–527-yillarda yashagan miletlik yunon olimi Fales
hisoblanadi.
Biror tasdiqning to‘g‘riligini mantiqiy mulohazalar yordamida
keltirib chiqarish
isbot
deb ataladi. To‘g‘riligi isbotlash yo‘li bilan asoslanadigan tasdiq esa
teorema
deb ataladi.
Teorema odatda shart va xulosa qismlardan iborat bo‘ladi. Teoremaning birinchi – shart
qismida nimalar berilgani bayon qilinadi. Ikkinchi – xulosa qismida esa nimani isbotlash
lozimligi ifodalanadi. Masalan, quyidagi teoremani olib qaraylik.
