IV BOB
124
Faollashtiruvchi mashq
?
?
?
?
?
?
?
?
Teorema.
Uchburchak ichki burchaklarining yig‘indisi 180
°
ga teng.
Isbot.
ABC
uchburchak ichki burchaklarini mos ravishda
∠
1,
∠
2 va
∠
3 bilan belgi
-
laymiz
(3-rasm)
.
A
uchdan
BC
tomonga parallel
a
to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz va
∠
4 va
∠
5
bur chaklarni belgilaymiz.
∠
1
=
∠
4, chunki bu burchaklar
a
va
BC
parallel to‘g‘ri chiziqlarni
AB
kesuvchi bilan
kesganda hosil bo‘lgan almashinuvchi bur-
chaklardir.
∠
3
=
∠
5, chunki bu burchaklar
a
va
BC
parallel to‘g‘ri chiziqlarni
AC
kesuvchi bilan
kesganda hosil bo‘lgan almashinuvchi bur-
chaklardir.
3
A
B
C
a
1
2
3
4
5
∆
ABC
∠
A
+
∠
B
+
∠
C
= 180°
1.
1-rasmda tasvirlangan
ABC
uchburchak
-
ning uchala burchaklarini transportir yordamida
o‘lchang va ularning yig‘indisini hisoblang. Xuddi
shu ishni
MNL
va
PQR
uchburchaklar uchun
ham bajaring. Natijalar asosida jadvalni to‘ldi
-
ring. Qanday xossani aniqladi ngiz? Uni bitta
jumla bilan ifodalang.
Uchburchaklar
∆
ABC
∆
MNL
∆
PQR
∠
2
∠
3
∠
1+
∠
2+
∠
3
∠
1
2. Bir varaq qog‘ozga ixtiyoriy
ABC
uchbur-
chakni chizing va burchaklarini 1, 2 va 3 raqam
-
lari bilan belgilang. Uning burchaklarini 2-rasmda
ko‘rsatilgandek qilib yirtib oling va yonma-yon
qo‘ying. Bundan qanday xulosa chiqarish mum
-
kin?
Endi geometriyaning eng muhim teoremalari
-
dan biri – uchburchak ichki burchaklari yig‘indisi
haqidagi teoremani isbotlaymiz.
18.1. Uchburchak ichki burchak-
larining yig‘indisi
A
B
C
1
2
3
N
M
L
1
2
3
P
Q
R
1
2
3
1
2
3
2
1
1
2
3
UCHBURCHAK ICHKI BURCHAKLARI YIG‘INDISI
18
125
∠
4 +
∠
2 +
∠
5 = 180
°
, chunki bu burchaklar umumiy uchga ega va yoyiq burchakni tash-
kil qiladi. Hosil bo‘lgan bu uchta tenglikdan
∠
1 +
∠
2 +
∠
3=180
°
,
ya’ni
∠
A
+
∠
B
+
∠
C
=
180
°
ni hosil qilamiz
.
Teorema isbotlandi.
1natija.
Har qanday uchburchakning kamida ikkita o‘tkir burchagi bor.
Isbot.
Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni uchburchakning faqat bitta burchagi o‘tkir bo‘lsin.
Unda uning qolgan ikkita burchagi o‘tmas burchak bo‘lib, ularning yig‘indisi 180
o
dan katta
bo‘ladi. Buning esa yuqorida isbotlangan uchburchak ichki burchaklari yig‘indisi haqidagi
teoremaga ko‘ra bo‘lishi mumkin emas.
Demak, farazimiz noto‘g‘ri.
Natija isbotlandi.
2natija.
Har qanday uchburchakning bittadan ortiq to‘g‘ri yoki o‘tmas burchagi
bo‘lishi mumkin emas.
Bu natijaning isbotini mustaqil bajaring.
1-masala.
4-rasmdagi noma’lum burchak –
x
ni
toping.
Yechish.
∆ABC
teng yonli uchburchak bo‘lgani
uchun
∠
ACB
=
∠
A
= 40°. Vertikal burchaklar xossasiga
ko‘ra,
∠
DCE
=
∠
ACB
= 40°.
Shartga ko‘ra,
∆
CED
ham teng yonli. Shu bois
∠
DCE
=
∠
DEC
=
40°. Unda uchburchak burchakla
-
rining yig‘indisi haqidagi teoremaga ko‘ra,
∆CDE
da:
40° + 40° +
x
= 180° yoki
x
= 100°.
Javob:
100°.
2-masala.
Uchburchak ichki burchaklari 2:3:7 kabi
nisbatda. Ularning gradus o‘lchovini toping.
Yechish.
Shartga ko‘ra, uchburchak ichki burchakla
-
rini 2
x
,
3
x
va 7
x
deb belgilaymiz. U holda uchburchak ichki burchaklari yig‘indisi haqidagi
teoremaga ko‘ra, 2
x
+
3
x
+
7
x
=180° tenglikka ega bo‘lamiz. Undan
x
=15° ekanini topamiz:
2
x
=
2
.
15°= 30°, 3
x
=
3
.
15°= 45° va 7
x
=
7
.
15° =105°.
Javob.
Uchburchak ichki burchaklari 30°, 45° va
105° ga teng.
4
A
B
C
D
E
40°
x
18.2. Uchburchak tashqi burchagining xos-
sasi
Uchburchakning ichki burchagiga qo‘shni bo‘lgan
burchak uchburchakning
tashqi burchagi
deb ataladi.
5-rasmda
ABC
uchburchakning
B
burchagiga tashqi
bo‘lgan
CBD
va
ABE
burchaklar tasvirlangan. Rav-
shanki, bu burchaklar vertikal bo‘lgani uchun o‘zaro teng
bo‘ladi. Qolgan
A
va
C
burchaklar tashqi burchaklarini
chizib ko‘rsating.
5
A
B
D
C
1
2
3
4
A
B
E
C
1
2
3
a)
4
b)
126
Teorema.
Uchburchak tashqi burchagi
uchburchakning unga qo‘shni bo‘lmagan ikki
ichki burchaklari yig‘indisiga teng.
?
?
?
?
∆
ABC
,
∠
4 –
tashqi
burchak (7
-rasm
)
∠
1 +
∠
2 =
∠
4
6
A
C
1
4
2
5
3
6
Isbot.
7-rasmga murojaat qilamiz. Unda qo‘shni burchaklar xossasiga ko‘ra,
∠
3 +
∠
4 = 180
°.
Uchburchak burchaklari yig‘indisi haqidagi teoremaga ko‘ra,
∠
1 +
∠
2 +
∠
3 = 180
°
.
Bu ikki tenglikdan
∠
1 +
∠
2 +
∠
3 =
∠
3
+
∠
4, ya’ni
∠
1 +
∠
2 =
∠
4 tenglikni hosil qilamiz.
Teorema isbotlandi.
Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija.
Uchburchakning tashqi burchagi unga qo‘shni bo‘lmagan ichki
burchaklarning har biridan katta.
Uning to‘g‘riligini mustaqil ravishda tekshiring.
B
Masala.
To‘rtburchakning burchaklari yig‘indisi
360° ga teng ekanini isbotlang.
Yechish.
Ixtiyoriy
ABCD
to‘rtburchak chizamiz.
A
va
C
nuqtalarni tutashtirib, uni ikkita uchburchakka
ajratamiz.
Har bir
ABC
va
ADC
uchburchaklar ichki burchaklari
yig‘indisi 180° ga teng (
8-rasm
):
∠
1+
∠
2+
∠
3=180°,
∠
4+
∠
5+
∠
6=180°.
∠
A
=
∠
1+
∠
4 va
∠
C
=
∠
3+
∠
6 bo‘lgani uchun
∠
A
+
∠
B
+
∠
C
+
D
=
(
∠
1+
∠
4)+
∠
2+(
∠
3+
∠
6)+
∠
5 =
=(
∠
1+
∠
2+
∠
3)+(
∠
4+
∠
5+
∠
6)=180°+180°= 360°.
7
A
B
D
C
1
2
3
4
a)
8
6-rasmdagi
ABC
uchburchakning hamma ichki va
tashqi burchaklarini transportirda o‘lchang va quyidagi
burchaklar (har bir tashqi burchak va unga qo‘shni
bo‘lmagan ichki burchaklar yig‘indisining) kattaliklarini
o‘zaro solishtiring: a)
∠
4 va
∠
2 +
∠
3; b)
∠
5 va
∠
1 +
∠
3;
c)
∠
6 va
∠
1 +
∠
2.
Solishtirish natijasida qanday xulosaga keldingiz. Uni
taxminiy tasdiq ko‘rinishida ifodalang.
Geometrik tadqiqot
Uchburchak burchaklarini uning tashqi burchaklaridan
farqlash uchun
ichki burchaklar
deb ham
ataymiz.
127
1.
Agar uchburchakning ikkita burchagi: a) 60° va 40°; b) 70° va 85°; c) 90° va 45°;
d) 105° va 30° bo‘lsa, uning uchinchi burchagini toping.
2.
9-rasmdagi noma’lum burchakni toping.
3.
Uchburchak ikkita burchagining yig‘indisi 78
o
ga teng. Uchinchi burchagini toping.
4.
10-rasmdagi noma’lum burchaklarni toping.
?
?
?
?
Amaliy mashq va tatbiq
?
?
?
?
Mavzuga doir savollar
1. Uchburchak ichki burchaklarining yig‘indisi
haqidagi teoremani ayting va rasmda izohlang.
2. Uchburchakning ko‘pi bilan nechta burchagi
to‘g‘ri bo‘lishi mumkin?
3. Uchburchakning ikkita tomoni uchinchi tomonga
perpendikulyar bo‘lishi mumkinmi?
4. Uchburchakning nechta burchagi o‘tmas bo‘lishi
mumkin?
5. Burchaklari: a) 5°, 55°, 120°; b) 46°, 150°,4°;
c) 100°, 20°, 50°; d) 25°, 35°, 100° bo‘lgan
uchburchak mavjudmi?
6. Uchburchakning tashqi burchagi nima?
7. Uchburchakning o‘tmas tashqi burchaklari:
a) 1 ta; b) 2 ta; c) 3 ta bo‘lishi mumkinmi?
8. Uchburchakning bir uchidagi ichki va tashqi
burchaklari teng bo‘lishi mumkinmi?
9. Uchburchakning ko‘pi bilan nechta tashqi bur
-
chagi o‘tkir bo‘lishi mumkin?
a)
b)
77°
40°
x
x
62°
28°
c)
50°
x
y
x : y
= 8 : 5
2
x
3
x
x
x
y
z
x : y : z
= 5 : 6 : 7
a)
b)
5.
11-rasmdagi noma’lum burchaklarni toping.
x
25°
x
x
2
x
a)
b)
x+15
°
40°
c)
c)
15°
150°
x
9
10
11
d)
x
43°
24°
128
x
α α
65°
43°
a)
b)
x
A
E
C
D
B
O
∠
BAC
= 74°,
∠
ABC
= 76°
|
