Matematik analiz va algebra kafedrasi

OLIY VA O`RTA MAXSUS TA`LIM VAZIRLIGI

MATEMATIK ANALIZ VA ALGEBRA KAFEDRASI

darajasini olish uchun

Ilmiy rahbar: f.-m.f.n. M. Abulov

“Himoyaga tavsiya etilsin”

Fizika-matematika fakul`teti

dekani:____________ prof. B.Xayriddinav

“____”________________ 2011 yil

Qarshi – 2011

M u n d a r i j a.

Kirish……………………………………………………………………………3

I-bob. Kompleks sonlar haqida asosiy tushunchalar ……..…………………....5

1.1.Kompleks sonlar sistemasi haqida boshlang`ich tushunchalar………..5

1.2.Kompleks sonning trigonometrik ko`rinishi………………..………...13

1.3.Kompleks sondan ildiz chiqarish ……..……………………………...19

1.4.Birning ildizlari……………………………………………………… 25

II-bob.Kompleks sonlar nazariyasining ba`zi bir tatbiqlari….…………….…..28

2.1.Trigonometrik ayniyatlarni isbotlash ….……………………………..28

2.2.Trigonometrik yig`indilarni hisoblash....………………………….….35

Xulosa………………………………………………………………………….44

Foydalanilgan adabiyotlar ro`yxati…………………………………………….45

Kirish.

Elementar algebra kursini o`rganish davomida sonlar sohasini kengaytira bordik.Butun musbat sonlar butun musbat va manfiy sonlar rasional sonlar rasional va irrasional sonlardan iborat haqiqiy sonlar.O`rta maktab kursidan ham ma`lumki har qanday haqiqiy koeffisientli kvadrat tenglama ham haqiqiy sonlar sohasida yechimga ega bo`lavermaydi.Shu sababli ham haqiqiy sonlar sistemasini kengaytirishga to`g`ri keladi.

Bitiruv malakaviy ishning dolzarbligi: Har qanday haqiqiy koeffisientli ko`phad haqiqiy sonlar sohasida ildizga ega bo`lavermasligi bu sonlar sistemasini kengaytishga to`g`ri keladi.Kompleks sonlar to`plamining yopiqligi ya`ni har qanday darajasi birdan kichik bo`lmagan ko`phad albatta bitta kompleks ildizga ega bo`lishi bu to`plamni o`rganishimizga asos bo`ladi.

Bitiruv malaraiy ishning maqsadi:Kompleks sonlar xossalarini chuqurroq o`rganib, u asosida trigonometriyadagi ba`zi bir muhim ayniyatlarni isbotlash va trigonometriyadagi ba`zi bir muhim yig`indilarni hisoblashdan iborat.

Bitiruv malakaviy ishning ilmiy va ilmiy ahamiyati: Bitiruv ishi mavzusiga oid barcha muhim bo`lgan adabiyotlarni to`plash va ular asosida kompleks sonlar ustida bajariladigan amallar va ularning xossalarini o`rganish hamda Muavr formulasidan foydalanib, trigonometriyada juda muhim bo`lgan ayniyatlarni isbotlash, yig`indilarni topishdan iborat.

Ushbu bitiruv malakaviy ish referatif xarakterga ega bo`lib, ikkita bob va oltita paragrafdan iborat.

Birinchi bob birinchi paragrafda kompleks sonlar haqida boshlang`ich tushunchalar ular ustida bajariladigan asosiy amallar, kompleks sonlar sistemasining kiritishning asosiy sababi keltirilgan.

Ikkinchi paragrafda esa kompleks sonnnig trigonometrik ko`rinishi, ushbu ko`rinishda berilgan sonlar ustida amallar xossalari o`rganilgan.

Uchinchi paragrafda algebraik ko`rinishda berilgan sondan kvadrat ildiz chiqarish, trigonometrik ko`rinishda berilgan kompleks sondan ixtiyoriy darajali ildiz chiqarish formulalari ko`rsatilgan.

To`rtinchi paragrafda birning - darajali ildizlarni hisoblash formulalari keltirilib chiqarilib, ularni xossalari isbotlab berilgan.

Ikkinchi bob beshinchi paragrafda kompleks sonlar xossalaridan foydalanib, Muavr va N`yuton formulalarini qo`llash natijasida isbotlash mumkin bo`lgan ba`zi bir trigonometrik ayniyatlar keltirilgan.

Oxirgi paragrafda kompleks sonlarni trigonometrik yig`indilarni hisoblashdagi tatbiqlari ko`rsatilgan.

I-Bob. Kompleks sonlar haqida asosiy tushunchalar.

1.1.Kompleks sonlar sistemasi haqida boshlang`ich tushunchalar.

Elementar algebra kursini o`rganish davomida sonlar sohasini kengaytira borgan edik Butun musbat sonlarbutun musbat va manfiy sonlar rasional sonlar rasional va irrasional sonlardan iborat haqiqiy sonlar sistemalarini o`rgandik.

Algebrani o`rganayotgan maktab o`quvchisi butun musbat va kasrlar haqidagi bilimini algebraga arifmetikadan olib kiradi.Aslida algebra manfiy sonlarni kiritishdan, ya`ni eng muhim sonlar sistemalari ichida birinchi sistema barcha butun musbat va manfiy sonlardan hamda noldan iborat butun sonlar sistemasini tayin etishdan va musbat, shuningdek manfiy bo`lgan barcha butun va kasr sonlardan iborat ancha kengroq sistema- rasional sonlar sistemasini tayin etishdan boshlanadi.

Sonlar zapasining bundan keyingi kengaytirilishi muhokamalariga irrasional sonlarni kiritishda sodir bo`ladi.Barcha rasional va barcha irrasional sonlardan iborat sistema haqiqiy sonlar sistemasi deyiladi.haqiqiy sonlar sistemasining asosiy nazariyasi universitetning matematik analiz kursida o`rganiladi. Elementar matematika kursining oxirida haqiqiy sonlar sistemasi kompleks sonlar sistemasigacha kengaytiriladi.Sonlarning bu sistemasi o`quvchi uchun haqiqiy sonlar sistemasiga qaraganda ancha notanish bo`lib ko`rinadi, lekin bu sistema ko`plab ajoyib xossalarga ega.

Endi haqiqiy sonlar sistemasini kompleks sonlar sistemasigacha kengaytiramiz. Kompleks sonlar ushbu masala munosabati bilan kiritiladi Ma`lumki haqiqiy koeffisientli istalgan kvadrat tenglamani echish uchun haqiqiy sonlarni o`zi etarli emas.

(1)

tenglama haqiqiy sonlar ichida ildizi bo`lmagan eng sodda tenglamadir Olishimizga ko`ra quyidagicha masala qo`yamiz Haqiqiy sonlar sistemasini shunday sonlar sistemasigacha kengaytiraylikki (1) tenglama yechimga ega bo`lsin.

Sonlarning bu sistemasini qurish uchun ko`rgazmali material sifatida tekislik nuqtalarini olamiz.Haqiqiy sonlarni to`g`ri chiziq nuqtalari orqali ifodalash bizga juda tanish( bunda koordinata boshi va masshab birligi berilganda to`g`ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasiga uning absissasini mos qo`ysak, to`g`ri chiziqdagi barcha nuqtalar to`plami bilan barcha haqiqiy sonlar to`plami orasida o`zaro bir qiymatli moslik o`rnatiladi) Bu mos qo`yishlik matematikaning turli bo`limlariga ishlatiladi va biz unga shunchalik o`rganib qolganmizki,asosan haqiqiy sonlar bilan uni tasvirlovchi nuqtani bir biridan farqlamaymiz.

Endi tekislikning barcha nuqtalari bilan tasvirlanuvchi sonlar sistemasini ta`riflaylikShu maqsadda tekislik nuqtalarini qo`shish yoki ko`paytirish amallarini kiritaylik.Yangi amallar kiritayotganimiz sababli,biz uni qaysi maqsad uchun tuzayotgan bo`lsak,o`sha xossalarga ega bo`lishini ta`minlashimiz lozim.Bu ta`riflar ayniqsa ko`paytirish amali uchun ancha sun`iy bo`lib ko`rinadi.

Tekislikda to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi tanlangan bo`lsin Tekislik nuqtalarini harflar bilan belgilashni hamda absissasi , ordinatasi bo`lgan nuqtani orqali belgilashga ya`ni analitik geometriyada qabul qilinganidan bir oz chetga chiqib , deb yozishga kelishib olamiz

Agar va nuqtalar berilgan bo`lsa bu nuqtalarning yig`indisi deb absissasi va ordinatasi bo`lgan nuqtani ataymiz yani

(2)

va nuqtalarning ko`paytmasi deb, absissasi va ordinatasi bo`lgan nuqtalarni ataymiz, ya`ni

Ana shunday yo`l bilan tekislikning barcha nuqtala to`plamida ikkita arifmetik amallarni aniqladik.Quyida bu kiritilgan amallar haqiqiy sonlar sistemasida yoki rasional sonlar sistemasida amallar qanday asosiy xossalarga ega bo`lsa, bu amallar ham shunday asosiy xossalarga egadik; ularning har ikkalasi ham kommutativ va assosiativdir hamda distributivlik qonuni bilan bog`langan va ular uchun teskari amallar-ayirish va bo`lish (nolga bo`lishdan tashqari) amallari mavjud.

Qo`shishning komutativligi va assosiativligi ravshandir,aniqroq aytadigan bo`lsak,haqiqiy sonlarni qo`shishning tegishli xossalaridan kelib chiqadi, chunki tekislikning nuqtalarini qo`shishda ularning absissalarini alohida va ordinatalarini alohida qo`shiladi.Ko`paytirishning kommutativligi ko`payuvchi nuqtalar ko`paytirish ta`rifiga simmetrik ravishda kirishiga asoslanadi. Haqiqatan ham

,

,

Yuqorida aniqlangan aniqlangan ko`paytirish assosiativdir.

Isboti

,

,

Distributivlik qonuni o`rinli ekanligi quyidagi tenglikdan kelib chiqadi

,

.

Endi qo`shish va ko`paytirish amallariga teskari amallarni qaraylik.Agar va nuqtalar berilgan bo`lsa u holda ularning ayirmasi shunday nuqtalar bo`ladiki uning uchu bo`ladi Bundan (2) ko`ra

bo`ladi

Demak  va nuqtalar ayirmasi

(4)

( 5 )

va nuqtalar berilgan bo`lsin va nuqta noldan farqli bo`lsin (ya`ni va koordinatalardan hech bo`lmaganda biri noldan farqli ) demak  ni ga bo`lishdan chiqqan bo`linma shunday nuqta bo`lshi kerakki, uning uchun

bo`ladiBundan (3) ga ko`ra

bo`ladi

Bu sistemanini yechib quyidagilarni topamiz

,

Demak bo`lganda bo`linma mavjud va bir qiymatli niqlangan.

Ushbu tenglikda deb olsak, bizning bu ko`paytirishimizda bir bo`lib,absissalar o`qida koordinatalar boshidan masofada o`tuvchi nuqta xizmat qilishini ko`ramiz.Agar (6) da deb olsak u holda uchun teskari nuqta

ekanligini hosil qilamiz

Shunday qilib, tekislik nuqtalari bilan tasvirlanadigan sonlar sistemasini tuzdik shu bilan birga bu sonlar ustida bajariladigan amallar (2) va (3) formulalar bilan aniqlanadi. Bu sonlar sistemasi kompleks sonlar sistemasi deyiladi.