-Tasdiq. 4-Tasdiq[2]

Agar son biron-bir usul bilan kompleks sonlar orqali qo`shish,ko`paytirish,ayirish va bo`lish yordamida ifodalangan bo`lsa, u holda bu ifodada barcha sonlarni ularning qo`shmalari bilan almashtirsak, u holda bilan qo`shma bo`lgan sonni hosil qilamiz; xuxusan,agar son haqiqiy bo`lsa,u barcha sonlarni ularning qo`shmalari bilan almashtish natijasida o`zgarmaydi.

Bu tasdiqni bo`yicha matematik induksiya metodidan foydalanib isbotlaymiz. da ushbu tasdiqni to`g`riligi yuqoridagi 3-tasdiqdan kelib chiqadi.faraz qilaylik, son biron-bir usul bilan kompleks sonlar orqali qo`shish,ko`paytirish,ayirish va bo`lish yordamida ifodalangan bo`lsin.Bu ifodada qo`shish,ayirish,ko`paytirish va bo`lish amallari qay tartibda bajarilishi aniq ko`rsatilgan.Oxirgi bajaradigan ishimiz bu amallarni birortasini (bu yerda ) sonlar orqali ifodalangan songa va sonlar orqali ifodalangan songa tadbiq qilish bo`ladi.Induktiv faraz bo`yicha sonlarni ularning qo`shmalariga almashtirish ni ga, sonlarni ularni qo`shmasi bilan almashtirish esa ni ga almashtirishga olib keladi.Endi ni ikkita larga bog`liqligini hisobga olib, 3-tasdiqni qo`llasak, ya`ni larni qoshmalariga almashtirsak, u holda lar qo`shmalariga almashadi , esa ga aylanadi.

Tasdiq isbotlandi.

Kompleks sonlarni darajaga ko`tarish.

bo`ladi, umuman bulardan

kelib chiqadi.

Trigonometrik ko`rinishdagi kompleks son berilgan bo`lsin.

trigonometrik ko`rinishdagi kompleks sonni butun musbat - darajaga ko`tarish uchun trigonometrik ko`rinishdagi kompleks sonlarni ko`paytirish formulasi

dan foydalansak Muavr formulasi[2] deb ataluvchi quyidagi formulani hosil qilamiz:

Demak, berilgan kompleks sonni -darajaga ko`tarish uchun, shu sonni modulini -darajaga ko`tarish, argumentini esa marta ortirish kerak.

Bu ( 2 ) formula manfiy butun son bo`lgan hol uchun ham o`rinli.Bu fakt to`g`riligi

tenglikdan kelib chiqadi.

Muavr formulasining xususiy holi , ya`ni

tenglik karrali burchakning sinusi va kosinusi uchun formulalarni osongina hosil qilishga imkon beradi. Haqiqatan ham, bu tenglikning chap tomonini N`yuton binom formulasi bo`yicha ochib chiqib va tenglikning har ikkala tomonining haqiqiy va mavhum qismlarini alohida alohida tenglab, quyidagilarni hosil qilamiz:

Bu yerda ,

Kompleks sonlardan ildiz chiqarish.

Kompleks sondan ildiz chiqarish ko`pgina qiyinchiklar bilan bog`liq. Avvalo ko`rinishdagi sondan kvadrat ildiz chiqarishdan boshlaylik Faraz qikaylik kvadrati ga teng son mavjud va u ko`rinishdagi son bo`lsin Bizning maqsadimiz ushbu larni topishdan iborat. Olishimizga ko`ra

bo`ladiBundan

bu tenglikdan esa

kelib chiqadi Bu har ikki tenglikni tomonlarini kvadratga ko`tarib so`hgra ularni qo`shamiz:

Bundan

kelib chiqadi( 3 ) tenglikni birinchisidan va bu (4) tenglikdan quyidagilarni hosil qilamiz:

bulardan kvadrat ildiz chiqarib va ular uchun ikkitadan qiymatga ega bo`lamiz Bu sonlarni ixtiyoriy olish mumkin emas Ularni ko`paytma ishorasi ni ishorasi bilan bir xil bo`ladigan qilib tanlab olish kerakNatijada faqat va larni bir biriga bog`liq 2 ta qiymatini olish mumkin bo`ladi, hosil bo`lgan sonlar 2 ta bo`ladi va ular faqat ishorasi bilan farqlanadi Demak kompleks sondan har doim kvadrat ildiz chiqarish mumkin va bu ildizlar bir-biridan faqat ishorasi bilan farq qiladi

Misol.

ni hisoblang.

Quyidagi formuladan foydalanamiz

bunda , , .Agar bo`lsa va bir xil ishorada ,

Berilgan misolda : .

Bundan

tenglikni hosil qilamiz.

Endi sondan -darajali ildiz chiqaraylik Faraz qilaylik, natijada son hosil bo`lsin. U holda

( 5 )

bundan Muavr formulasiga ko`ra yoki Ikkinchidan, ( 5 ) tehglikni chap tomonida turgan kompleks son argumenti ga teng Shu sababli , (bu yerda - butun son) bo`ladi Bundan bo`ladi.

Endi ko`rish qiyin emaski agar sonni olsak ,

uni -darajasi songa tehg Demak

Agar ( 7 ) qiymatlar bersak har xil ildizlarni hosil qilamiz.

Endi ixtiyoriy butun son bo`lsin u holda ( bunda 

-biror butun son) deb olish mumkin Bundan,

Demak  bo`lganda kosinus va sinuslarni davri bo`lgani uchun yana (7) sistemaga kiruvchi bo`lgandagi ildizni qiymatini hosil qilamiz Demak kompleks sondan har doim -darajali ildiz chiqarish mumkin natijada ta har xil qiymatlar hosil bo`ladi Bu barcha ildizlarni moduli ga teng Ular markazi nol nuqtaga bo`lgan aylanada yotadi va uni teng ta bo`lakka bo`ladi

Misollar.

1. ,

bunda , 2

yoki

2. ( )²⁰ ni hisoblang.

Avvalo va sonlarni trigonometrik ko`rinishga keltiramiz:

Demak, .

ya`ni .

U holda,

= = =

= .

Nihoyat,


1.4. Birning ildizlari.

sonidan - darajali ildiz chiqarish holi ayniqsa muhimdir.Bu ildiz ta har xil qiymatga ega bolib ular quyidagicha topiladi.

sondan - darajali ildiz chiqaraylik Oldingi mavzudan ma`lumkibu ildizlar quyidagi formula orqali topiladi:

, (1)

sonidan chiqarilgan - darajali ildizning haqiqiy qiymatlari (1) formuladan, agar juft bo`lsa, va bo`lganda, agar toq bo`lsa, bo`lganda hosil bo`ladi.Kompleks tekislikda birning - darajali ildizlari birlik aylanada joylashgan bo`lib, uni bir biriga teng bo`lgan ta yoyga ajratadi; ana shunday nuqtalardan biri sonidir . Bu yerdan, birning - darajali ildizlari ichida haqiqiy bo`lmaganlari haqiqiy o`qqa nisbatan simmetrik joylashganligi, ya`ni juft-jufti bilan qo`shma ekanligi kelib chiqadi.Birning kvadrat ildizi ikkita qiymatga ega, ya`ni bo`lsa birning kvadrat ildizi ta: va sonlari bo`ladi

da birning uchta ildizi bo`lib, ular quyidagi sonlar bo`ladi:

 ,

. (2)

da esa birning to`rta ildizi bo`lib, ular sonlardan iborat bo`ladi

1-Tasdiq  kompleks sonning - darajali barcha ildizlarini bu ildizlardan birortasini birning - darajali barcha ildizlariga ko`paytirib chiqish bilan hosil qilish mumkin

Isboti son sonni - darajali ilizlaridan biri bo`lsin, yani bo`lsin son esa birning - darajali ildizlaridan biri bo`lsin, ya`ni bo`lsinBundan

bo`ladi Demak ham ni -darajali ildizlaridan biri bo`ladiBundan esa ni birni - darajali ildizlarini har biriga ko`paytirib ta turli qiymatlarni hosil qilamiz.

Misollar.

1. sondan kub ildiz chiqaraylik, ravshanki uni ildizlaridan biri ga teng (2) formulaga ko`ra , uning qolgan ikkita ildizi quyidagi sonlarga teng bo`ladi:

2. ildizni quymatlarini hisoblaylik. Bizga bu sonini bitta ildizi ga teng ekanligi ma`lum , uning qolgan ildizlarini topish uchun ushbu ildizni birning to`rtinchi darajali ildizlariga ketma-ket ko`paytirib chiqamiz, natijada quyidagi quymatlarni topamiz: .

Isboti Agar va bo`lsin u holda,

Demak  ham birning n- darajali ildizi bo`ladi

Isboti. bo`lsin, ya`ni birning biror - darajali ildizi bo`lsin , u holda ekanligidan kelib chiqadi. Bundan esa

kelib chiqadi, ya`ni soni ham birning - darajali ildizi bo`ladi.

Birning - darajali har qanday ildizi ga karrali bo`lgan har qanday uchun ham birning - darajali ildizi bo`ladi.Bu erdan, agar birning - darajali barcha ildizlari to`plamini qarab chiqadigan bo`lsak, u holda bu ildizlarning ba`zilari ning bo`luvchilari bo`lgan biror lar uchun birning -darajali ildizlari bo`lishligi kelib chiqadi.biroq har qanday uchun birning - darajali shunday ildizlari mavjudki, ular birning dan kichik darajali hech qanday ildizi bo`la olmaydi.Bunday ildizlar birning - darajali boshlang`ich ildizlari deyiladi.Ularning mavjud ekanligi (1) formuladan kelib chiqadi:agar uldizning berilgan ning qiymatiga mos keluvchi qiymatini orqali (demak, bo`ladi) belgilasak, u holda Muavr formulasiga ko`ra,

Demak, ning hech qanday dan darajasi ga teng bo`la olmaydi, ya`ni boshlang`ich ildiz bo`ladi.

4-Tasdiq. Birning - darajali ildizining darajalari har xil, ya`ni birning - darajali barcha ildizlarini tashkil etganda va faqat shundagina boshlang`ich ildiz bo`ladi.

Isboti.haqiqatan ham, birning tasdiqda ko`rsatilgan barcha darajalari har xil bo`lsa, u holda ravshanki birning -darajali boshlang`ich ildizi bo`ladi. Agar,masalan , bo`lganda bo`lsa, bo`lib, tengsizliklarga binoan boshlang`ich ildiz bo`lmaydi.

Yuqorida topilgan son, umumiy holda, yagona -darajali boshlang`ich ildiz emas.barcha bunday ildizlarni topish uchun quyidagi teorema xizmat qiladi.

Teorema.Agar birning -darajali boshlang`ich ildizi bo`lsa, u holda son bilan o`zaro tub bo`lganda va faqat shundagina son -darajali boshlang`ich ildiz bo`ladi.

Isboti.Haqiqatan ham, va sonlarning eng katta umumiy bo`luvchisi bo`lsin. Agar va bo`lsa, u holda

,

ya`ni ildiz birning -darajali ildizi ekan.

Ikkinchi tomondan,aytaylik, va shu bilan birga son birning -darajali ( ) ildizi bo`lsin.Demak,

.

son birning -darajali boshlang`ich ildizi bo`lgani sababli, ya`ni faqatgina uning ga karrali bo`lgan darajalarigina gat eng bo`lgani uchun son ga karrali bo`ladi.Biroq, bo`lgani uchun va sonlar o`zaro tub bo`la olmaydi.Bu esa shartimizga ziddir.

Shunday qilib, birning -darajali boshlang`ich ildizlari soni dan kichik va u bilan o`zaro tub bo`lgan musbat butun larning soniga teng. Odatda orqali belgilanadigan bu sonning ifodasini sonlar nazariyasi kursidan topish mumkin.

Agar tub son bo`lsa, u holda birning o`zidan tashqari ana shu ildizlar birning -darajali boshlang`ich ildizlari bo`ladi.Shuning ham aytish kerakki, birning to`rtinchi darajali ildizlari ichida boshlang`ich ildizlar faqat va lar bo`ladi.

II-bob.Kompleks sonlar nazariyasining ba`zi bir tadbiqlari.

2.1.Trigonometrik ayniyatlarni isbotlash.

1.Trigonometrik ko`rinishda berilan kompleks sonni darajaga ko`tarishning ushbu

formulasida deb olsak, u holda Muavr formulasining xususiy holi , ya`ni

tenglikni hosil qilamiz.Bu formulaning chap tomonidagi qavsni N`yuton binom formulasi bo`yicha ochib chiqib ,so`ngra va umuman ixtiyoriy musbat butun son uchun

ekanligini hisobga olsak va (*) tenglikning ikkala tomonidagi kompleks sonlarning haqiqiy va mavhum qismlarini tenglashtirib quyidagi formulalarni hosil qilamiz:

Bu yerda ,

Shunday qilib, biz karrali burchakning kosinus va sinuslarini oddiy burchak kosinus va sinuslari orqali ifodalovchi formulalarni hosil qildik.Xususiy hollarni qaraylik.

bo`lganda bizga elementar matematikadan ma`lum bo`lgan quyidagi formulalarni hosil qilamiz:



bo`lganda esa quyidagi formularni hosil qilamiz:

2. ni birinchi darajali kosinus va sinuslarning karralisi orqali ifodalang.

Yechish.

deb belgilash kiritaylik.U holda ushu belgilashdan

U holda

Shunday qilib,

Bu erdan

Formulalarni hosil qilamiz.Ushbu formulada deb olsak, u holda

Shunday qilib,

3. ni birinchi darajali kosinus va sinuslarning karralisi orqali ifodalang.

Yechish.

(2) tenglikda deb quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

Demak,

4. Ushbu

ig`indini hisoblang.

Yechish. ni N`yuton formulasidan foydalanib yoyib yozamiz:

Bizga ma`lum (*) tengliklardan foydalanib ushbu tenglikni quyidagicha o`zgartiramiz:

Ikkinchi tomondan,

ekanligini hisobga olsak, u holda

tenglikka kelamiz.Demak,

tengliklarni hosil qilamiz, Xususan, deb olsak, u holda

5. ni orqali ifodalang.

Yechish. Ma`lumki,

,

shu sababli avvalo va larni va lar orqali ifodasini topamiz:

Bulardan,

Ushbu oxirgi tenglikni hosil qilish uchun yuqoridagi kasrni surati va maxrajini ga bo`ldik.

6.Quyidagi tenglikni isbotlang.

(3)

Yechish.

bo`ladi.

belgilash kiritamiz, u holda

tenglikni hosil qilamiz. Ko`rsatish qiyin emaski

yoki yuqoridagi belgilashimizga ko`ra

Ko`rish qiyin emaski,

Bu esa bizga elementar matematikadan ma`lum bo`lgan ayniyatdir:

Faraz qilaylik,

U holda

ushbu tenglikda ma`lum

formulani qo`llab, isbotlanishi lozim bo`lgan (3) tenglikka kelamiz.

7.Quyidgi tenglikni isbotlang.

Isboti.

deb belgilash kiritib, ifodani qaraylik.

deb olsak, u holda

Ushbu ifodada

tenglilardan foydalansak, u holda

Shunday qilib,

Yuqoridagi isbotlanishi lozim bo`lgan tenglik isbotlandi.

8.Quyidgi tenglikni isbotlang.

Isboti.

deb belgilash kiritib, ifodani qaraylik.

deb olsak, u holda

Ushbu ifodada

tenglilardan foydalansak, u holda

Shunday qilib,

Yuqoridagi isbotlanishi lozim bo`lgan tenglik isbotlandi.

9.Quyidgi tenglikni isbotlang.

Isboti.

deb belgilash kiritib, ifodani qaraylik.

deb olsak, u holda

Ushbu ifodada

tenglilardan foydalansak, u holda

Shunday qilib,

Yuqoridagi isbotlanishi lozim bo`lgan tenglik isbotlandi.

2.2.Trigonometrik yig`indilarni hisoblash.
1.Quyidagi yig`indini hisoblang.

.

Yechish.

deb belgilash kiritaylik. U holda

bo`ladi. deb olsak, u holda

Bu yerdan

2.Quyidagi tenglikni isbotlang.

Yechish.

bo`lsin.U holda

Bu yerdan quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:

3.Quyidagi limitni hisoblang.

Yechish. 7-misolda deb olib, undan foydalanamiz.

4.Quyidagi yig`indilarni hisoblang.

Yechish .Quyidagi belgilashlar kiritaylik.

U holda

uni hisoblaylik.Bu hisoblashda geometric prosressiyaning hadlari yig`indisi formulasidanfoydalanamiz.

Bu yerdan

Endi va larni yuqorida belgilaganimizga asosan ni ifodasiga qo`yaylik:

Bu yerdan

Bu yerdan

Shundy qilib,

5.Agar absolyut qiymati jihatidan birdan kichik bo`lsa, u holda

a)

b)

qatorlar yaqinlashuvchi ekanligini va ularning yig`indisi mos ravishda

teng ekanligini isbotlang.

Isboti.

deb belgilash kiritaylik. U holda

bo`ladi.

deb olsak, u holda

Demak,

Ushbu yig`indilarda da limitga o`tsak, u holda bo`lgani uchun

bo`ladi.Shunday qilib,

6.Yig`indini toping.

Yechish.

formuladan foydalanamiz.U holda

Endi

yig`indilarni hisoblaylik.

deb belgilash kiritaylik, u holda

Demak,

7.Quyidagi tengliklarni isbotlang.

Isboti.

Endi

yig`indilarni hisoblaylik.

Ushbu tenglikdan esa isbotlanishi lozim bo`lgan tenglik kelib chiqadi:

8.Yig`indilarni toping.

Yechish. Yuqorida isbotlangan

tengliklardan foydalanamiz. U holda

Quyidagicha belgilashlar kiritaylik:

U holda

Demak,

X u l o s a .

Ma`lumki, har qanday haqiqiy koeffisientli ko`phadlar ham haqiqiy sonlar sohasida ildizga ega bo`lavermaydi, lekin bu hol kompleks sonlar to`plami uchun o`rinli emas ekan, ya`ni kompleks koeffisientli har ko`phad kompleks sonlar sohasida kompleks ildizlarga ega bo`ladi.Ushbu bitiruv malakaviy ishda kompleks sonlar ustida amallar bajarish orqali hosil bo`ladigan sonlarni haqiqiy qismini haqiqiy qismiga mavhum qismini mavhum qismiga tenglashtirib muhim natijalar erishildi.

Shunday qilib,ushbu bitiruv malakaviy ishni tayorlash davomida quyidagi muhim xulosalarga kelindi.

1.Kompleks sonlar sistemasi haqiqiy sonlar sistemasining kengaytmasidir.

2.Kompleks sonlar ichida kvadrati minus birga teng bo`lgan son mavjud.

3.Kompleks sonlar ustida qo`shish, ayirish,ko`paytirish, darajaga ko`tarish va ildiz chiqarish amallarini bajarish mumkin.

4.Har qanday kompleks sonni trigonometrik ko`rinishga keltirish mumkin. 5.Ko`mpleks sonlar uchun katta va kichik tushunchalari mavjud emas, ularni modullari bo`yicha solishtirishi mumkin.

6.Kompleks sonlar vektorlar kabi ya`ni parallelogram qoidasi bo`yicha qo`shiladi.

7.Trigonometrik ko`rinishda berilgan kompleks sonni darajaga ko`tarish uchun ushbu sonni modulini shu darajaga ko`tarish , argumentini esa shuncha marta ortirish lozim.

8.Kompleks sonlar xossalaridan foydalanib ko`plab trigonometrik ayniyatlarni isbotlash va yig`indilarni hisoblash mumkin.

9.Birning har qanday darajali ildizlari birlik aylana yoyini teng bo`laklarga bo`ladi.

F o y d a l a n i l g a n a d b i y o t l a r r o` y x a t i.

2.А.Г.Курош.Олий алгебра курси.Т.Ўкитувчи.1976 й. 464 б.

3.Д.К.Фаддеев и И.С.Соминский. Сборник задач по высшей алгебре.М.Наука. 1976г.304с.

4.Л.Б.Шнеперман.Курс алгебры и теории чисел в задачах и упражнениях.

I и II часть. Минск.»Выш.шк.» 1987 г.272с.

5.С.Т.Завало,В.Н.Костарчук,Б.И.Хацет.Алгебра и теория чисел.

М.»Высш.шк» 1980г.408с.

6.Л.Я.Куликов.Алгебра и теория чисел. М.»Высш.шк» 1979г.560с.

7.С.Ленг.Алгебра.М.Мир 1968г.564с.

8.А.И.Кострикин.Введение в алгебру.М.Наука.1977г.496с.