Matematik analiz va algebra kafedrasi

OLIY VA O`RTA MAXSUS TA`LIM VAZIRLIGI

MATEMATIK ANALIZ VA ALGEBRA KAFEDRASI

darajasini olish uchun

Ilmiy rahbar: f.-m.f.n. M.

“Himoyaga tavsiya etilsin”

Fizika-matematika fakul`teti

dekani:____________ prof. B.Xayriddinav

“____”________________ 2011 yil

Qarshi – 2011

M u n d a r i j a.

Kirish……………………………………………………………………………3

I-bob. Kompleks sonlar haqida asosiy tushunchalar ……..…………………....5

1.1.Kompleks sonlar sistemasi haqida boshlang`ich tushunchalar………..5

1.2.Kompleks sonning trigonometrik ko`rinishi………………..………...13

1.3.Kompleks sondan ildiz chiqarish ……..……………………………...19

1.4.Birning ildizlari……………………………………………………… 25

II-bob.Kompleks sonlar nazariyasining ba`zi bir tatbiqlari….…………….…..28

2.1.Trigonometrik ayniyatlarni isbotlash ….……………………………..28

2.2.Trigonometrik yig`indilarni hisoblash....………………………….….35

Xulosa………………………………………………………………………….44

Foydalanilgan adabiyotlar ro`yxati…………………………………………….

Kirish.

Elementar algebra kursini o`rganish davomida sonlar sohasini kengaytira bordik.Butun musbat sonlar butun musbat va manfiy sonlar rasional sonlar rasional va irrasional sonlardan iborat haqiqiy sonlar.O`rta maktab kursidan ham ma`lumki har qanday haqiqiy koeffisientli kvadrat tenglama ham haqiqiy sonlar sohasida yechimga ega bo`lavermaydi.Shu sababli ham haqiqiy sonlar sistemasini kengaytirishga to`g`ri keladi.

Bitiruv malaraiy ishning maqsadi:Kompleks sonlar xossalarini chuqurroq o`rganib, u asosida trigonometriyadagi ba`zi bir muhim ayniyatlarni isbotlash va trigonometriyadagi ba`zi bir muhim yig`indilarni hisoblashdan iborat.

Bitiruv malakaviy ishning ilmiy va ilmiy ahamiyati: Bitiruv ishi mavzusiga oid barcha muhim bo`lgan adabiyotlarni to`plash va ular asosida kompleks sonlar ustida bajariladigan amallar va ularning xossalarini o`rganish hamda Muavr formulasidan foydalanib, trigonometriyada juda muhim bo`lgan ayniyatlarni isbotlash, yig`indilarni topishdan iborat.

Ushbu bitiruv malakaviy ish referatif xarakterga ega bo`lib, ikkita bob va oltita paragrafdan iborat.

Birinchi bob birinchi paragrafda kompleks sonlar haqida boshlang`ich tushunchalar ular ustida bajariladigan asosiy amallar, kompleks sonlar sistemasining kiritishning asosiy sababi keltirilgan.

Ikkinchi paragrafda esa kompleks sonnnig trigonometrik ko`rinishi, ushbu ko`rinishda berilgan sonlar ustida amallar xossalari o`rganilgan.

Uchinchi paragrafda algebraik ko`rinishda berilgan sondan kvadrat ildiz chiqarish, trigonometrik ko`rinishda berilgan kompleks sondan ixtiyoriy darajali ildiz chiqarish formulalari ko`rsatilgan.

To`rtinchi paragrafda birning - darajali ildizlarni hisoblash formulalari keltirilib chiqarilib, ularni xossalari isbotlab berilgan.

Ikkinchi bob beshinchi paragrafda kompleks sonlar xossalaridan foydalanib, Muavr va N`yuton formulalarini qo`llash natijasida isbotlash mumkin bo`lgan ba`zi bir trigonometrik ayniyatlar keltirilgan.

Oxirgi paragrafda kompleks sonlarni trigonometrik yig`indilarni hisoblashdagi tatbiqlari ko`rsatilgan.

I-Bob. Kompleks sonlar haqida asosiy tushunchalar.

1.1.Kompleks sonlar sistemasi haqida boshlang`ich tushunchalar.

Elementar algebra kursini o`rganish davomida sonlar sohasini kengaytira borgan edik Butun musbat sonlarbutun musbat va manfiy sonlar rasional sonlar rasional va irrasional sonlardan iborat haqiqiy sonlar sistemalarini o`rgandik.

Algebrani o`rganayotgan maktab o`quvchisi butun musbat va kasrlar haqidagi bilimini algebraga arifmetikadan olib kiradi.Aslida algebra manfiy sonlarni kiritishdan, ya`ni eng muhim sonlar sistemalari ichida birinchi sistema barcha butun musbat va manfiy sonlardan hamda noldan iborat butun sonlar sistemasini tayin etishdan va musbat, shuningdek manfiy bo`lgan barcha butun va kasr sonlardan iborat ancha kengroq sistema- rasional sonlar sistemasini tayin etishdan boshlanadi.

Sonlar zapasining bundan keyingi kengaytirilishi muhokamalariga irrasional sonlarni kiritishda sodir bo`ladi.Barcha rasional va barcha irrasional sonlardan iborat sistema haqiqiy sonlar sistemasi deyiladi.haqiqiy sonlar sistemasining asosiy nazariyasi universitetning matematik analiz kursida o`rganiladi. Elementar matematika kursining oxirida haqiqiy sonlar sistemasi kompleks sonlar sistemasigacha kengaytiriladi.Sonlarning bu sistemasi o`quvchi uchun haqiqiy sonlar sistemasiga qaraganda ancha notanish bo`lib ko`rinadi, lekin bu sistema ko`plab ajoyib xossalarga ega.

Endi haqiqiy sonlar sistemasini kompleks sonlar sistemasigacha kengaytiramiz. Kompleks sonlar ushbu masala munosabati bilan kiritiladi Ma`lumki haqiqiy koeffisientli istalgan kvadrat tenglamani echish uchun haqiqiy sonlarni o`zi etarli emas.

(1)

tenglama haqiqiy sonlar ichida ildizi bo`lmagan eng sodda tenglamadir Olishimizga ko`ra quyidagicha masala qo`yamiz Haqiqiy sonlar sistemasini shunday sonlar sistemasigacha kengaytiraylikki (1) tenglama yechimga ega bo`lsin.

Sonlarning bu sistemasini qurish uchun ko`rgazmali material sifatida tekislik nuqtalarini olamiz.Haqiqiy sonlarni to`g`ri chiziq nuqtalari orqali ifodalash bizga juda tanish( bunda koordinata boshi va masshab birligi berilganda to`g`ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasiga uning absissasini mos qo`ysak, to`g`ri chiziqdagi barcha nuqtalar to`plami bilan barcha haqiqiy sonlar to`plami orasida o`zaro bir qiymatli moslik o`rnatiladi) Bu mos qo`yishlik matematikaning turli bo`limlariga ishlatiladi va biz unga shunchalik o`rganib qolganmizki,asosan haqiqiy sonlar bilan uni tasvirlovchi nuqtani bir biridan farqlamaymiz.

Endi tekislikning barcha nuqtalari bilan tasvirlanuvchi sonlar sistemasini ta`riflaylikShu maqsadda tekislik nuqtalarini qo`shish yoki ko`paytirish amallarini kiritaylik.Yangi amallar kiritayotganimiz sababli,biz uni qaysi maqsad uchun tuzayotgan bo`lsak,o`sha xossalarga ega bo`lishini ta`minlashimiz lozim.Bu ta`riflar ayniqsa ko`paytirish amali uchun ancha sun`iy bo`lib ko`rinadi.

Tekislikda to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi tanlangan bo`lsin Tekislik nuqtalarini harflar bilan belgilashni hamda absissasi , ordinatasi bo`lgan nuqtani orqali belgilashga ya`ni analitik geometriyada qabul qilinganidan bir oz chetga chiqib , deb yozishga kelishib olamiz

Agar va nuqtalar berilgan bo`lsa bu nuqtalarning yig`indisi deb absissasi va ordinatasi bo`lgan nuqtani ataymiz yani

(2)

va nuqtalarning ko`paytmasi deb, absissasi va ordinatasi bo`lgan nuqtalarni ataymiz, ya`ni

Ana shunday yo`l bilan tekislikning barcha nuqtala to`plamida ikkita arifmetik amallarni aniqladik.Quyida bu kiritilgan amallar haqiqiy sonlar sistemasida yoki rasional sonlar sistemasida amallar qanday asosiy xossalarga ega bo`lsa, bu amallar ham shunday asosiy xossalarga egadik; ularning har ikkalasi ham kommutativ va assosiativdir hamda distributivlik qonuni bilan bog`langan va ular uchun teskari amallar-ayirish va bo`lish (nolga bo`lishdan tashqari) amallari mavjud.

Qo`shishning komutativligi va assosiativligi ravshandir,aniqroq aytadigan bo`lsak,haqiqiy sonlarni qo`shishning tegishli xossalaridan kelib chiqadi, chunki tekislikning nuqtalarini qo`shishda ularning absissalarini alohida va ordinatalarini alohida qo`shiladi.Ko`paytirishning kommutativligi ko`payuvchi nuqtalar ko`paytirish ta`rifiga simmetrik ravishda kirishiga asoslanadi. Haqiqatan ham

,

,

Yuqorida aniqlangan aniqlangan ko`paytirish assosiativdir.

Isboti

,

,

Distributivlik qonuni o`rinli ekanligi quyidagi tenglikdan kelib chiqadi

,

.

Endi qo`shish va ko`paytirish amallariga teskari amallarni qaraylik.Agar va nuqtalar berilgan bo`lsa u holda ularning ayirmasi shunday nuqtalar bo`ladiki uning uchu bo`ladi Bundan (2) ko`ra

bo`ladi

Demak  va nuqtalar ayirmasi

(4)

( 5 )

va nuqtalar berilgan bo`lsin va nuqta noldan farqli bo`lsin (ya`ni va koordinatalardan hech bo`lmaganda biri noldan farqli ) demak  ni ga bo`lishdan chiqqan bo`linma shunday nuqta bo`lshi kerakki, uning uchun

bo`ladiBundan (3) ga ko`ra

bo`ladi

Bu sistemanini yechib quyidagilarni topamiz

,

Demak bo`lganda bo`linma mavjud va bir qiymatli niqlangan.

Ushbu tenglikda deb olsak, bizning bu ko`paytirishimizda bir bo`lib,absissalar o`qida koordinatalar boshidan masofada o`tuvchi nuqta xizmat qilishini ko`ramiz.Agar (6) da deb olsak u holda uchun teskari nuqta

ekanligini hosil qilamiz

Shunday qilib, tekislik nuqtalari bilan tasvirlanadigan sonlar sistemasini tuzdik shu bilan birga bu sonlar ustida bajariladigan amallar (2) va (3) formulalar bilan aniqlanadi. Bu sonlar sistemasi kompleks sonlar sistemasi deyiladi.

Tasdiq[2]. Kompleks sonlar sistemasi haqiqiy sonlar sistemasining kengaytmasidir.

Isboti.Ushbu tasdiqni isbotlash uchun absissalar o`qida yotuvchi nuqtalar ya`ni ko`rinishdagi nuqtalarni qaraymiz. nuqtaga haqiqiy sonni mos keltirib ko`ramizki, qalayotgan nuqtalar to`plami va barcha haqiqiy sonlar to`plami orasida o`zaro bir qiymatli moslik hosil qilamiz. Ushbu nuqtalarga (2) va (3) formulalarni qo`llasak

kelib chiqadi ya`ni nuqtalar bir-biri bilan mos haqiqiy sonlar kabi qo`shiladi va ko`paytiruiladiBundan buyon nuqtani haqiqiy sondan farqlamaymiz ya`ni

deb olamiz.Shunday qilib,absissalar o`qida yotuvchi va kompleks sonlar sistemasining bir qismi sifatida qaraluvchi nuqtalar to`plami o`zining algebraic xossalari bo`yicha to`g`ri chiziqning nuqtalari kabi odatdagi usulda tasvirlanadigan haqiqiy sonlar sistemasidan hech bir farq qilmaydi.Bu esa yuqorida aytgandek, nuqtani haqiqiy sondan farqlamaslikka imkon beradi.Xususan, kompleks sonlar sistemasidagi nol va odatdagi haqiqiy sonlar va lardir.

Endi kompleks sonlar ichida (1) tenglamani ildizi bor ekanligini ya`ni kvadrati haqiqiy son ga teng bo`lgan son bor ekanligini ko`rsatamiz. Bu son nuqta, ya`ni ordinatalar o`qida koordinata boshidan birlik masofa yuqorida joylashgan nuqta bo`ladi. Haqiqatan ham ( 3 ) ni, ya`ni ko`paytirish amalini qo`llab tenglikni hosil qilamiz.Bu nuqtani deb belgilashga kelishib olaylik demak 

Endi tuzilgan kompleks sonlar uchun ularning odatdagi yozuvini hosil qilish mumkin ekanligini ko`rsataylik.Buning uchun abbalo haqiqiy sonni nuqtaga ko`paytmasini topaylik:

,

demak bu nuqtalar  ordinatalar o`qida yotuvchi va ordinatasi ga teng bo`lgan nuqtalardir, shu bilan birga ordinatalar o`qining barcha nuqtalari shunday ko`paytmalar ko`rinishda ifodalanadi.Agar ixtiyoriy nuqta bo`lsa u holda tenglikka ko`ra

Kompleks sonlar nazariyasining biz amalgam oshirgan qurilishi quyidagi savolni keltirib chiqarishi tabiiy.

Uch o`lchovli fazo nuqtalarini qo`shishni va ko`paytirishni bu nuqtalar to`plami kompleks sonlar sistemasini yoki, hech bo`lmasa , haqiqiy sonlar sistemasini o`z ichiga oladigan qilib aniqlash mumkin emasmikin?

Bu savol ushbu bitiruv ishimiz mavzusidan chetga chiqadi, faqat shuni aytish mumkinki,bu savolga beriladigan javob salbiydir.

Ikkinchi tomondan,kompleks sonlarni yuqorida aniqlangan ma`noda qo`shish,umuman olganda ,tekislikda koordinatalar boshidan chiqqan vektorlarni qo`shish bilan bir xilda ekanligini nazarga olsak,quyidagi savolni qo`yilishi tabiiy:biron-bir lar uchun o`lchovli haqiqiy vektor fazoda vektorlarni ko`paytirishni shunday aniqlash mumkinki, vektorlarni bunday ko`paytirishga va odatdagiqo`shishga nisbatan bizning fazo haqiqiy sonlar sistemasini o`z ichiga olgan sonlar sistemasi bo`lib qolsin.Agar amallarning rasional,haqiqiy va kompleks sonlar sistemasiga ega bo`lgan barcha xossalarning bajarilishini talab qiladigan bo`lsak, buni bajarib bo`lmasligini ko`rsatish mumkin.Agar ko`paytirishning kommutativligidan voz kechadigan bo`lsak, u holda bunday yasashni to`rt o`lchovli fazoda bajarish mumkin;sonlarning hosil bo`ladigan sistemasi kvaternionlar sistemasi deyiladi.Shunga o`xshash yasash sakkiz o`lchovli fazoda ham mumkin-unga Keli sonlar sistemasi deb ataluvchi sistema hosil bo`ladi.Shuni ham aytish mumkinki, bu yerda ko`paytirishning faqat kommutativligi emas, balki assosiativligidan ham (uni ancha kuchzis talab bilan almashtirib) voz kechishga to`g`ri keldi.

Yer - Quyosh sistemasidagi Quyoshdan uzoqligi jihatdan uchinchi (Merkuriy, Venera sayyoralaridan keyin) sayyora. U oʻz oʻqi atrofida va aylanaga juda yaqin boʻlgan elliptik orbita boʻyicha Quyosh atrofida aylanib turadi.

Tarixiy an`analarga aylanib qolgan kelishuvga asosan,kompleks son ni mavhum birlik ko`rinishdagi sonlarni sof mavhum sonlar deb ataladi.Ammo bizda bu sonlarning mavjud ekanligi hech qanday shubha uyg`otmaydi va tekislikning bu sonlar bilan ifodalanadigan nuqtalarini ordinate o`qi nuqtalarini ko`rsatishimiz mumkin. kompleks sondagi son sonning haqiqiy qismi  esa unig mavhum qismi deyiladi

Nuqtalari kompleks sonlar bilan o`zaro mos qo`yilgan tekislik kompleks tekislik deyiladi. Bu tekislikdagi absissa o`qi haqiqiy o`q va ordinatalar o`qi esa mavhum o`q deyiladi. ko`rinishdagi kompleks sonlar ustida algebraik amallar yuqoridagi (2)-(4) va (6) formulalarga ko`ra quyidagicha ko`rinishda bajariladi:

Kompleks sonlarni qo`shishda ularning haqiqiy qismlarini alohida va mavhum qismlarini alohida qo`shiladi deb ayta olamiz;shunga o`xshash ayirish amali uchun ham aytish o`rinlidir.Ko`paytirsh va bo`lish amallari uchun qoidalar so`zlari ancha uzun bo`lib, ularni bu yerda keltirmaymiz. Odatdagi ko`rinishda berilgan kompleks sonlarni bo`lish amalini yodda saqlab qolish uchun quyidagini eslab qolish etarli; berilgan kasrni surat va maxrajini uning maxrajini qo`shmasiga ko`paytirib, so`ngra soddalashtirishlar qilish lozim ekanligini ko`rish mumkin.

Haqiqatan ham,yuqoridagi fikrlardan

tenglikni hosil qilamiz.

Kompleks sonlarni tekislikni nuqtalari bilan tasvirlash kompleks sonlar uchun aniqlangan amallarni geometric talqin etilishini taqozo qilishi tabiiy.Qo`shish uchun bunday qalqin qilish hech qanday qiyinchilik tug`dirmaydi.

va kompleks sonlar berilgan bo`lsin.Ularga mos nuqtalar bilan koordinatalar boshini tutashtiramiz.Tomonlari bu kesmalardan iborat bo`lgan parallelogramm yasaymiz  u holda bu parallelogrammning to`rtinchi uchi ravshanki nuqta bo`ladi.Demak geometrik nuqtai nazaridan kompleks sonlarni qo`shish parallelogramm qoidasi bo`yicha qo`shiladi

songa qarama-qarshi bo`lgan son kompleks tekislikdagi nuqta bo`lib u songa koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik nuqta bo`ladi Bu yerdan ayirishning geometric talqinini hech qiyinchiliksiz hosil qilish mumkin.Kompleks sonlarni ko`paytirish va bo`lishning geometric ma`nosi kompleks sonlarning shu paytga qadar foydalanib kelingan odatdagi yozivudan farqli trigonometric ko`rishdagi yozuvini kiringandan keyingina tushunarli bo`ladi.

sonning ko`rinishdagi yozivuda bu songa mos keluvchi nuqtaning dekart koordinatalaridan foydalaniladi. Biroq nuqtaning tekislikdagi vaziyati uning qutb koordinatalari:koordinatalar boshidan nuqtagacha bo`lgan masofa va absissalar o`qining musbat yo`nalishi bilan koordinatalar boshidan bu nuqta tomon yo`nalish orasidagi burchakning berilishi bilan to`la aniqlanadi.

1.2. Kompleks sonnig trigonometrik ko`rinishi.

Analitik geometriya kursidan ma`lumki, biror nuqtaning tekislikdagi vaziyati uning qutb koordinatalari: koordinalar boshidan nuqtagacha bo`lgan masofa absissalar o`qining musbat yo`nalishi bilan koordinatalar boshidan shu nuqta tomon musbat yo`nalish orasidadi burchakning berilishi bilan to`la aniqlanadi. Bunda manfiy bo`lmagan haqiqiy son va faqat nol nuqta uchun nolga teng .

nuqta qutb koordinatalarda berilgan bo`lsin, u holda unga aniq bir va mos keladi. Bu son kompleks sonning moduli deyiladi va deb belgilanadi.

Shunday qilib, kompleks sonning argumenti bir-biridan ga karrali bo`lgan sonlarga farq qiladigan cheksiz ko`p qiymatlarga ega;binobarin,moduli va argumentlari bilan berilgan ikkita kompleks sonning tengligidan,ularning modullari teng bo`lib,argumentlari ga karrali butun songagina farq qilishi to`g`risida xulosa chiqarish mumkin.

Argument faqat son uchun aniqlanmagan, lekin u tenglikdan to`la aniqlanadi.

Kompleks sonning argumenti haqiqiy son ishorasining tabiiy umumlashmasidir. Haqiqatan ham,musbat haqiqiy sonning argumenti ga teng, manfiy haqiqiy sonning argumenti gat eng; haqiqiy o`qda koordinatalar boshidan faqat ikkita yo`nalish chiqadi va ularni ikkita simvol va - orqali farqlash mumkin, kompleks tekislikda esa nuqtadan chiquvchi yo`nalishlar cheksiz ko`p va ular endi o`zlarining haqiqiy o`qning yo`nalishi bilan hosil qilgan burchaklari bilan farq qiladilar.

Ma`lumki, Dekart va qutb koordinatalar orasida ushbu munosabatlar mavjud:

, ( 1 )

bundan

yoki

u holda ko`rinishdagi kompleks son quyidagi ko`rinishga keladi.

( 3 )

Har qanday komplers sonni ( 3 ) ko`rinishda yozish yagonadir.

Demak, .

ko`rinishdagi yozuv kompleks sonning trigonometrik shakli deyiladi va undan kelgusida ko`p marta foydalanamiz.

va kompleks sonlar berilgan bo`lsin.Bu sonlarni ko`paytiraylik:

yoki

kelib chiqadi. Demak, kompleks sonlar ko`paytmasisining moduli ko`paytuvchilar modullarining ko`paytmasiga teng, argumenti esa ko`paytuvchilar argumentlari yig`indisiga teng,ya`ni

. (4`)

va kompleks sonlar berilgan bo`lsin va bo`lsin. Demak, , u holda

yoki

Demak, kompleks sonning bo`linmasining moduli bo`linuvchining modulini bo`luvchining moduliga bo`linganiga, argumenti esa bo`linuvchini argumentidan bo`luvchini argumentini ayrilganiga teng, ya`ni

Bu qoidalar , ravshanki,istalgan chekli sondagi kompleks sonlar uchunham o`rinli.Haqiqiy sonlar bo`lgan holga tadbiq etganda,(4`) formulaning birinchisi bu sonlar absolyut qiymatlarining ma`lum xossalarini beradi, ikkinchisi esa haqiqiy sonlarni ko`paytirishdasi ishoralar qoidasiga aylanadi.

Endi ko`paytirish va bo`lishning geometrik ma`nosini aniqlaylik. ( 4 ) formuladan ko`rinadiki, sonni songa ko`paytmasini tasvirlovchi nuqtani quyidagicha topish mumkin: О nuqtadan nuqtaga tomon yo`nalgan ga teng vektorni burchakka burish, so`ngra esa uni marta cho`zishdan hosil bo`lgan vektorni uchini koordinatasi ko`paytmaga mos nuqtani koordinatsini ifodalaydi.

( 5 ) ifodadan uchun

kelib chiqadi.

va kompleks sonlar berilgan bo`lsin. Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarning yig`indisini va ayirmasini (4) va (5) ga o`xshash formulalar bilan ifodalsh mumkin emas.Biroq yig`indini moduli uchun quyidagi muhim tengsizliklar mavjud.

Tasdiq. Ikkita kompleks sonning yig`indisining moduli qo`shiluvchlar modullari yig`indisidan katta emas, bu modullar ayirmasidan kichik emas:

(7)

Ushbu tasdiqning isboti elementar geometriyadagi ma`lum uch burchak tomonlari haqidagi teoremadan kelib chiqadi(tomonlari va gat eng bo`lgan parallelogmmning dioganali ga tengligi ma`lum). va nuqtalar bitta to`g`ri chiziqda yotgan hol alohida diqqarga sazavordir; faqat shu holdagina (7) formulalar tenglikka aylanadi. (7) ga o`rniga qo`ysak va ekanligini hisobga olsak, u holda

kelib chiqadi,ya`ni ayirmaning moduli uchun yig`indining modulidagidek o`xshash tengsizliklar hosil bo`ladi.

(7) tengsizlikni quyidagi yo`l bilan ham chiqarish mumkin.Faraz qilaylik, va kompleks sonlar berilgan va

sonning trigonometric shakli bo`lsin.Haqiqiy qismlarini alohida va mavhum qismlarini alohida qo`shib,

ifodalarni hosil qilamiz;birinchi tenglikning har ikkala tomonini ga,ikkinchi tenglikni har ikkala tomonini ga ko`paytirib, ularni qo`shsak,quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

ya`ni

Bu yerdan kosinus hech qachon birdan katta bo`la olmasligi sababli, tengsizlik kelib chiqadi, ya`ni

Ikkinchi tomondan, . Bu yerdan hozir isbotlanganiga ko`ra,

tengsizlikni hosil qilamiz, bundan esa

tengsizlikni hosil qilamiz.

Kompleks sonlar uchun “katta” va “kichik” tushunchalarini ma`noga ega bo`ladigan qilib aniqlab bo`lmaydi, chunki bu sonlar, nuqtalari tabiiy ravishda tartiblangan to`g`ri chiziqda yotgan haqiqiy sonlardan farqli o`laroq, to`g`ri chiziqda yotmasdan, balki tekislikda yotadi.Shuning uchun kompleks sonlarning o`zini (ularning modullarini emas) hech qachon tengsizlik belgisi bilan solishtirib bo`lmaydi.

kompleks son berilgan bo`lsin, u holda kompleks son songa qo`shma son deyiladi.

Ravshanki , son songa qo`shma son bo`ladi. Haqiqiy sonni qo`shmasi shu sonnig o`ziga teng bo`ladi.

Geometrik nuqtai nazaridan o`zaro qo`shma sonlar haqiqiy o`qqa nisbatan simmetrik bo`lgan nuqtalardan iborat bo`ladi. Bu yerdan

tengliklar kelib chiqadi.

Isboti. Haqiqatan, ham

Oxirgi tenglik son bo`lganda , hatto musbat bo`lishini ko`rsatadi.

tenglik ikkita sonnning yig`indisi bilan qo`shma bo`lgan son qo`shiluvchilar bilan qo`shma bo`lgan sonlarning yig`indisiga teng ekanligini ko`rsatadi.

Shunga o`xshash,

tenglikdan ko`paytmaga qo`shma bo`lgan son ko`paytuvchilar bilan qo`shma bo`lgan sonlarning ko`paytmasiga teng ekanligi kelib chiqadi.

Bevosita tekshirish yo`li bilan

formulalarni to`g`riligini tekshirish mumkin.Shunday qilib, quyidagi tasdiq isbotlandi.