Kompleks sondan ilduz chiqarish

Kompleks sonlarni darajaga ko`tarish.

bo`ladi, umuman bulardan

kelib chiqadi.

Trigonometrik ko`rinishdagi kompleks son berilgan bo`lsin.

trigonometrik ko`rinishdagi kompleks sonni butun musbat - darajaga ko`tarish uchun trigonometrik ko`rinishdagi kompleks sonlarni ko`paytirish formulasi

dan foydalansak Muavr formulasi[2] deb ataluvchi quyidagi formulani hosil qilamiz:

Demak, berilgan kompleks sonni -darajaga ko`tarish uchun, shu sonni modulini -darajaga ko`tarish, argumentini esa marta ortirish kerak.

Bu ( 2 ) formula manfiy butun son bo`lgan hol uchun ham o`rinli.Bu fakt to`g`riligi

tenglikdan kelib chiqadi.

Muavr formulasining xususiy holi , ya`ni

tenglik karrali burchakning sinusi va kosinusi uchun formulalarni osongina hosil qilishga imkon beradi. Haqiqatan ham, bu tenglikning chap tomonini N`yuton binom formulasi bo`yicha ochib chiqib va tenglikning har ikkala tomonining haqiqiy va mavhum qismlarini alohida alohida tenglab, quyidagilarni hosil qilamiz:

Bu yerda ,

Kompleks sonlardan ildiz chiqarish.

Kompleks sondan ildiz chiqarish ko`pgina qiyinchiklar bilan bog`liq. Avvalo ko`rinishdagi sondan kvadrat ildiz chiqarishdan boshlaylik Faraz qikaylik kvadrati ga teng son mavjud va u ko`rinishdagi son bo`lsin Bizning maqsadimiz ushbu larni topishdan iborat. Olishimizga ko`ra

bo`ladiBundan

bu tenglikdan esa

kelib chiqadi Bu har ikki tenglikni tomonlarini kvadratga ko`tarib so`hgra ularni qo`shamiz:

Bundan

kelib chiqadi( 3 ) tenglikni birinchisidan va bu (4) tenglikdan quyidagilarni hosil qilamiz:

bulardan kvadrat ildiz chiqarib va ular uchun ikkitadan qiymatga ega bo`lamiz Bu sonlarni ixtiyoriy olish mumkin emas Ularni ko`paytma ishorasi ni ishorasi bilan bir xil bo`ladigan qilib tanlab olish kerakNatijada faqat va larni bir biriga bog`liq 2 ta qiymatini olish mumkin bo`ladi, hosil bo`lgan sonlar 2 ta bo`ladi va ular faqat ishorasi bilan farqlanadi Demak kompleks sondan har doim kvadrat ildiz chiqarish mumkin va bu ildizlar bir-biridan faqat ishorasi bilan farq qiladi

Misol.

ni hisoblang.

Quyidagi formuladan foydalanamiz

bunda , , .Agar bo`lsa va bir xil ishorada ,

Berilgan misolda : .

Bundan

tenglikni hosil qilamiz.

Endi sondan -darajali ildiz chiqaraylik Faraz qilaylik, natijada son hosil bo`lsin. U holda

( 5 )

bundan Muavr formulasiga ko`ra yoki Ikkinchidan, ( 5 ) tehglikni chap tomonida turgan kompleks son argumenti ga teng Shu sababli , (bu yerda - butun son) bo`ladi Bundan bo`ladi.

Endi ko`rish qiyin emaski agar sonni olsak ,

uni -darajasi songa tehg Demak

Agar ( 7 ) qiymatlar bersak har xil ildizlarni hosil qilamiz.

Endi ixtiyoriy butun son bo`lsin u holda ( bunda 

-biror butun son) deb olish mumkin Bundan,

Demak  bo`lganda kosinus va sinuslarni davri bo`lgani uchun yana (7) sistemaga kiruvchi bo`lgandagi ildizni qiymatini hosil qilamiz Demak kompleks sondan har doim -darajali ildiz chiqarish mumkin natijada ta har xil qiymatlar hosil bo`ladi Bu barcha ildizlarni moduli ga teng Ular markazi nol nuqtaga bo`lgan aylanada yotadi va uni teng ta bo`lakka bo`ladi

Misollar.

1. ,

bunda , 2

yoki

2. ( )²⁰ ni hisoblang.