| Tasdiq[2]. Kompleks sonlar sistemasi haqiqiy sonlar sistemasining kengaytmasidir.
Isboti.Ushbu tasdiqni isbotlash uchun absissalar o`qida yotuvchi nuqtalar ya`ni ko`rinishdagi nuqtalarni qaraymiz. nuqtaga haqiqiy sonni mos keltirib ko`ramizki, qalayotgan nuqtalar to`plami va barcha haqiqiy sonlar to`plami orasida o`zaro bir qiymatli moslik hosil qilamiz. Ushbu nuqtalarga (2) va (3) formulalarni qo`llasak
kelib chiqadi ya`ni nuqtalar bir-biri bilan mos haqiqiy sonlar kabi qo`shiladi va ko`paytiruiladiBundan buyon nuqtani haqiqiy sondan farqlamaymiz ya`ni
deb olamiz.Shunday qilib,absissalar o`qida yotuvchi va kompleks sonlar sistemasining bir qismi sifatida qaraluvchi nuqtalar to`plami o`zining algebraic xossalari bo`yicha to`g`ri chiziqning nuqtalari kabi odatdagi usulda tasvirlanadigan haqiqiy sonlar sistemasidan hech bir farq qilmaydi.Bu esa yuqorida aytgandek, nuqtani haqiqiy sondan farqlamaslikka imkon beradi.Xususan, kompleks sonlar sistemasidagi nol va odatdagi haqiqiy sonlar va lardir.
Endi kompleks sonlar ichida (1) tenglamani ildizi bor ekanligini ya`ni kvadrati haqiqiy son ga teng bo`lgan son bor ekanligini ko`rsatamiz. Bu son nuqta, ya`ni ordinatalar o`qida koordinata boshidan birlik masofa yuqorida joylashgan nuqta bo`ladi. Haqiqatan ham ( 3 ) ni, ya`ni ko`paytirish amalini qo`llab tenglikni hosil qilamiz.Bu nuqtani deb belgilashga kelishib olaylik demak
Endi tuzilgan kompleks sonlar uchun ularning odatdagi yozuvini hosil qilish mumkin ekanligini ko`rsataylik.Buning uchun abbalo haqiqiy sonni nuqtaga ko`paytmasini topaylik:
,
demak bu nuqtalar ordinatalar o`qida yotuvchi va ordinatasi ga teng bo`lgan nuqtalardir, shu bilan birga ordinatalar o`qining barcha nuqtalari shunday ko`paytmalar ko`rinishda ifodalanadi.Agar ixtiyoriy nuqta bo`lsa u holda tenglikka ko`ra
tenglikni hosil qilamiz,ya`ni biz haqiqatan ham kompleks sonlarning odatdagi yozivuga kelamiz. Bu kompleks sonning odatdagi yozuvidir.Ushbu ifodadagi ko`paytma va yig`indini biz qurgan kompleks sonlar sistemasida aniqlangan ma`noda tushunmoq lozim.
Kompleks sonlar nazariyasining biz amalgam oshirgan qurilishi quyidagi savolni keltirib chiqarishi tabiiy.
Uch o`lchovli fazo nuqtalarini qo`shishni va ko`paytirishni bu nuqtalar to`plami kompleks sonlar sistemasini yoki, hech bo`lmasa , haqiqiy sonlar sistemasini o`z ichiga oladigan qilib aniqlash mumkin emasmikin?
Bu savol ushbu bitiruv ishimiz mavzusidan chetga chiqadi, faqat shuni aytish mumkinki,bu savolga beriladigan javob salbiydir.
Ikkinchi tomondan,kompleks sonlarni yuqorida aniqlangan ma`noda qo`shish,umuman olganda ,tekislikda koordinatalar boshidan chiqqan vektorlarni qo`shish bilan bir xilda ekanligini nazarga olsak,quyidagi savolni qo`yilishi tabiiy:biron-bir lar uchun o`lchovli haqiqiy vektor fazoda vektorlarni ko`paytirishni shunday aniqlash mumkinki, vektorlarni bunday ko`paytirishga va odatdagiqo`shishga nisbatan bizning fazo haqiqiy sonlar sistemasini o`z ichiga olgan sonlar sistemasi bo`lib qolsin.Agar amallarning rasional,haqiqiy va kompleks sonlar sistemasiga ega bo`lgan barcha xossalarning bajarilishini talab qiladigan bo`lsak, buni bajarib bo`lmasligini ko`rsatish mumkin.Agar ko`paytirishning kommutativligidan voz kechadigan bo`lsak, u holda bunday yasashni to`rt o`lchovli fazoda bajarish mumkin;sonlarning hosil bo`ladigan sistemasi kvaternionlar sistemasi deyiladi.Shunga o`xshash yasash sakkiz o`lchovli fazoda ham mumkin-unga Keli sonlar sistemasi deb ataluvchi sistema hosil bo`ladi.Shuni ham aytish mumkinki, bu yerda ko`paytirishning faqat kommutativligi emas, balki assosiativligidan ham (uni ancha kuchzis talab bilan almashtirib) voz kechishga to`g`ri keldi.
Tarixiy an`analarga aylanib qolgan kelishuvga asosan,kompleks son ni mavhum birlik ko`rinishdagi sonlarni sof mavhum sonlar deb ataladi.Ammo bizda bu sonlarning mavjud ekanligi hech qanday shubha uyg`otmaydi va tekislikning bu sonlar bilan ifodalanadigan nuqtalarini ordinate o`qi nuqtalarini ko`rsatishimiz mumkin. kompleks sondagi son sonning haqiqiy qismi esa unig mavhum qismi deyiladi
Nuqtalari kompleks sonlar bilan o`zaro mos qo`yilgan tekislik kompleks tekislik deyiladi. Bu tekislikdagi absissa o`qi haqiqiy o`q va ordinatalar o`qi esa mavhum o`q deyiladi. ko`rinishdagi kompleks sonlar ustida algebraik amallar yuqoridagi (2)-(4) va (6) formulalarga ko`ra quyidagicha ko`rinishda bajariladi:
Kompleks sonlarni qo`shishda ularning haqiqiy qismlarini alohida va mavhum qismlarini alohida qo`shiladi deb ayta olamiz;shunga o`xshash ayirish amali uchun ham aytish o`rinlidir.Ko`paytirsh va bo`lish amallari uchun qoidalar so`zlari ancha uzun bo`lib, ularni bu yerda keltirmaymiz. Odatdagi ko`rinishda berilgan kompleks sonlarni bo`lish amalini yodda saqlab qolish uchun quyidagini eslab qolish etarli; berilgan kasrni surat va maxrajini uning maxrajini qo`shmasiga ko`paytirib, so`ngra soddalashtirishlar qilish lozim ekanligini ko`rish mumkin.
Haqiqatan ham,yuqoridagi fikrlardan
tenglikni hosil qilamiz.
Kompleks sonlarni tekislikni nuqtalari bilan tasvirlash kompleks sonlar uchun aniqlangan amallarni geometric talqin etilishini taqozo qilishi tabiiy.Qo`shish uchun bunday qalqin qilish hech qanday qiyinchilik tug`dirmaydi.
va kompleks sonlar berilgan bo`lsin.Ularga mos nuqtalar bilan koordinatalar boshini tutashtiramiz.Tomonlari bu kesmalardan iborat bo`lgan parallelogramm yasaymiz u holda bu parallelogrammning to`rtinchi uchi ravshanki nuqta bo`ladi.Demak geometrik nuqtai nazaridan kompleks sonlarni qo`shish parallelogramm qoidasi bo`yicha qo`shiladi
songa qarama-qarshi bo`lgan son kompleks tekislikdagi nuqta bo`lib u songa koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik nuqta bo`ladi Bu yerdan ayirishning geometric talqinini hech qiyinchiliksiz hosil qilish mumkin.Kompleks sonlarni ko`paytirish va bo`lishning geometric ma`nosi kompleks sonlarning shu paytga qadar foydalanib kelingan odatdagi yozivudan farqli trigonometric ko`rishdagi yozuvini kiringandan keyingina tushunarli bo`ladi.
sonning ko`rinishdagi yozivuda bu songa mos keluvchi nuqtaning dekart koordinatalaridan foydalaniladi. Biroq nuqtaning tekislikdagi vaziyati uning qutb koordinatalari:koordinatalar boshidan nuqtagacha bo`lgan masofa va absissalar o`qining musbat yo`nalishi bilan koordinatalar boshidan bu nuqta tomon yo`nalish orasidagi burchakning berilishi bilan to`la aniqlanadi.
1.2. Kompleks sonnig trigonometrik ko`rinishi.
Analitik geometriya kursidan ma`lumki, biror nuqtaning tekislikdagi vaziyati uning qutb koordinatalari: koordinalar boshidan nuqtagacha bo`lgan masofa absissalar o`qining musbat yo`nalishi bilan koordinatalar boshidan shu nuqta tomon musbat yo`nalish orasidadi burchakning berilishi bilan to`la aniqlanadi. Bunda manfiy bo`lmagan haqiqiy son va faqat nol nuqta uchun nolga teng .
nuqta qutb koordinatalarda berilgan bo`lsin, u holda unga aniq bir va mos keladi. Bu son kompleks sonning moduli deyiladi va deb belgilanadi.
burchak sonning argumenti deyiladi va deb belgilanadi. burchak ichtiyoriy qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Bunda musbat burchaklar soat strelkasiga qarama-qarshi yo`nalishda hisoblanadi. Argumenti ga karrali burchakka farq qiluvchi moduli teng bo`lgan sonlar teng deb hisoblanadi.
Shunday qilib, kompleks sonning argumenti bir-biridan ga karrali bo`lgan sonlarga farq qiladigan cheksiz ko`p qiymatlarga ega;binobarin,moduli va argumentlari bilan berilgan ikkita kompleks sonning tengligidan,ularning modullari teng bo`lib,argumentlari ga karrali butun songagina farq qilishi to`g`risida xulosa chiqarish mumkin.
Argument faqat son uchun aniqlanmagan, lekin u tenglikdan to`la aniqlanadi.
Kompleks sonning argumenti haqiqiy son ishorasining tabiiy umumlashmasidir. Haqiqatan ham,musbat haqiqiy sonning argumenti ga teng, manfiy haqiqiy sonning argumenti gat eng; haqiqiy o`qda koordinatalar boshidan faqat ikkita yo`nalish chiqadi va ularni ikkita simvol va - orqali farqlash mumkin, kompleks tekislikda esa nuqtadan chiquvchi yo`nalishlar cheksiz ko`p va ular endi o`zlarining haqiqiy o`qning yo`nalishi bilan hosil qilgan burchaklari bilan farq qiladilar.
Ma`lumki, Dekart va qutb koordinatalar orasida ushbu munosabatlar mavjud:
, ( 1 )
bundan
( 2 )
yoki
(2`)
u holda ko`rinishdagi kompleks son quyidagi ko`rinishga keladi.
( 3 )
Har qanday komplers sonni ( 3 ) ko`rinishda yozish yagonadir.
Faraz qilaylik, kompleks sonni yana bir ko`rinishda yozish mumkin bo`lsin, bunda va - biror haqiqiy sonlar va .U holda , bundan , ya`ni (2) ko`ra .Bu yerdan (1) dan foydalanib, ni hosil qilamiz, ya`ni .
Demak, .
ko`rinishdagi yozuv kompleks sonning trigonometrik shakli deyiladi va undan kelgusida ko`p marta foydalanamiz.
va kompleks sonlar berilgan bo`lsin.Bu sonlarni ko`paytiraylik:
yoki
(4)
kelib chiqadi. Demak, kompleks sonlar ko`paytmasisining moduli ko`paytuvchilar modullarining ko`paytmasiga teng, argumenti esa ko`paytuvchilar argumentlari yig`indisiga teng,ya`ni
. (4`)
va kompleks sonlar berilgan bo`lsin va bo`lsin. Demak, , u holda
yoki
(5)
Demak, kompleks sonning bo`linmasining moduli bo`linuvchining modulini bo`luvchining moduliga bo`linganiga, argumenti esa bo`linuvchini argumentidan bo`luvchini argumentini ayrilganiga teng, ya`ni
.
Bu qoidalar , ravshanki,istalgan chekli sondagi kompleks sonlar uchunham o`rinli.Haqiqiy sonlar bo`lgan holga tadbiq etganda,(4`) formulaning birinchisi bu sonlar absolyut qiymatlarining ma`lum xossalarini beradi, ikkinchisi esa haqiqiy sonlarni ko`paytirishdasi ishoralar qoidasiga aylanadi.
Endi ko`paytirish va bo`lishning geometrik ma`nosini aniqlaylik. ( 4 ) formuladan ko`rinadiki, sonni songa ko`paytmasini tasvirlovchi nuqtani quyidagicha topish mumkin: О nuqtadan nuqtaga tomon yo`nalgan ga teng vektorni burchakka burish, so`ngra esa uni marta cho`zishdan hosil bo`lgan vektorni uchini koordinatasi ko`paytmaga mos nuqtani koordinatsini ifodalaydi.
( 5 ) ifodadan uchun
( 6)
kelib chiqadi.
va kompleks sonlar berilgan bo`lsin. Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarning yig`indisini va ayirmasini (4) va (5) ga o`xshash formulalar bilan ifodalsh mumkin emas.Biroq yig`indini moduli uchun quyidagi muhim tengsizliklar mavjud.
Tasdiq. Ikkita kompleks sonning yig`indisining moduli qo`shiluvchlar modullari yig`indisidan katta emas, bu modullar ayirmasidan kichik emas:
(7)
Ushbu tasdiqning isboti elementar geometriyadagi ma`lum uch burchak tomonlari haqidagi teoremadan kelib chiqadi(tomonlari va gat eng bo`lgan parallelogmmning dioganali ga tengligi ma`lum). va nuqtalar bitta to`g`ri chiziqda yotgan hol alohida diqqarga sazavordir; faqat shu holdagina (7) formulalar tenglikka aylanadi. (7) ga o`rniga qo`ysak va ekanligini hisobga olsak, u holda
(8)
kelib chiqadi,ya`ni ayirmaning moduli uchun yig`indining modulidagidek o`xshash tengsizliklar hosil bo`ladi.
(7) tengsizlikni quyidagi yo`l bilan ham chiqarish mumkin.Faraz qilaylik, va kompleks sonlar berilgan va
sonning trigonometric shakli bo`lsin.Haqiqiy qismlarini alohida va mavhum qismlarini alohida qo`shib,
ifodalarni hosil qilamiz;birinchi tenglikning har ikkala tomonini ga,ikkinchi tenglikni har ikkala tomonini ga ko`paytirib, ularni qo`shsak,quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
ya`ni
Bu yerdan kosinus hech qachon birdan katta bo`la olmasligi sababli, tengsizlik kelib chiqadi, ya`ni
.
Ikkinchi tomondan, . Bu yerdan hozir isbotlanganiga ko`ra,
tengsizlikni hosil qilamiz, bundan esa
tengsizlikni hosil qilamiz.
Kompleks sonlar uchun “katta” va “kichik” tushunchalarini ma`noga ega bo`ladigan qilib aniqlab bo`lmaydi, chunki bu sonlar, nuqtalari tabiiy ravishda tartiblangan to`g`ri chiziqda yotgan haqiqiy sonlardan farqli o`laroq, to`g`ri chiziqda yotmasdan, balki tekislikda yotadi.Shuning uchun kompleks sonlarning o`zini (ularning modullarini emas) hech qachon tengsizlik belgisi bilan solishtirib bo`lmaydi.
kompleks son berilgan bo`lsin, u holda kompleks son songa qo`shma son deyiladi.
Ravshanki , son songa qo`shma son bo`ladi. Haqiqiy sonni qo`shmasi shu sonnig o`ziga teng bo`ladi.
Geometrik nuqtai nazaridan o`zaro qo`shma sonlar haqiqiy o`qqa nisbatan simmetrik bo`lgan nuqtalardan iborat bo`ladi. Bu yerdan
tengliklar kelib chiqadi.
| 