2-Misol. Ushbu kompleks sonning moduli va
argumentini toping
► Haqiqiy va mavhum qismi uchun
(3) formulaga ko’ra argumentning bosh qiymati
(
) * (
)+
(
)
bo’lganligi uchun
√
◄
Yuqorida keltirilgan kompleks sonlar va vektorlar orasidagi moslik kompleks
sonlarni qo’shish va ayirish amallarini geometrik talqin qilish imkonini beradi (2-
rasmda
va
kompleks sonlarning yig’indisi va ayirmasi tasvirlangan).
Kompleks sonlar ustida qo’shish va ayirish
amallari uchun quyidagi
tengsizliklar bajarilishini osongina ko’rsatish mumkin:
(6)
Kompleks sonlar uchun muhim formulani keltiramiz:
(7)
(7) formula
Eyler formulasi deb yuritiladi. Bu formulaning ma’nosini
va isbotini
keyinroq beramiz. U holda (4) formulaga (7) formulani qo’llasak
(8)
kompleks sonning ko’rsatkichli shaklini hosil qildik.
Kompleks sonning trigonometrik va ko’rsatkichli shakllari kompleks sonlar
ustida ko’paytirish va bo’lish amallarini bajarishga juda qulay. Agar
va
bo’lsa, u holda
(9)
(9) tenglikni osongina isbotlash mumkin:
[
]
Shunday qilib kompleks sonlar ko’paytirilganda ularning modullari ham
ko’paytiriladi, argumentlari esa qo’shilar ekan:
(10)
Agar
bo’lsa xuddi shu singar kompleks sonlarning nisbati uchun
(11)
tenglikni hosil qilish mumkin. (11) tenglikdan ko’rinib turibdiki
|
|
(12)
kompleks sonni natural darajaga ko’tarish amalini kiritamiz:
⏟
(9) formulaga ko’ra
kompleks sonni darajaga ko’tarish
(
)
(13)
qoidaga ko’ra amalga oshiriladi. So’ngi tenglikda
bo’lsa
(14)
Muavr formulasini hosil qilamiz.
Kompleks sondan ildiz chiqarish.
2-rasm
𝑧
𝑧
𝑧
𝑧
𝑧
𝑧
y
x
O
Kompleks sondan ildiz chiqarish amali quyidagicha amalga oshiriladi. Agar
(15)
tenglik o’rinli bo’lsa,
kompleks soni kompleks sonnning darajali ildizi deb
ataladi va u
√
ko’rinishda belgilanadi.
Ixtiyoriy
uchun √
ildiz
turli qiymat qabul qilishini ko’rsatamiz.
(15)
formulaga
ifodalarni qoyib
(16)
tenglikka ega bo’lamiz. Ikkita kompleks sonning tengligidan, ular modullarining
tengligi, rgumentlari esa teng bo’lishi
yoki bir biridan
ga karrali bo’lgan
qo’shiluvchi bilan farq qilishi kelib chiqadi. Shuning uchun (16) munosbatdan
yoki
√
(17)
formulani hosil qildik. (17) formuladagi birinchi tenglikdan
kompleks sonnning
darajali ildizlarining barchasi bir xil
modulga ega ekanligini,
ikkinchi
tenglikdan esa argumentlari bir-
biridan
ga karrali bo’lgan
qo’shiluvchi bilan farq qilishini
ko’rish mumkin.
Bundan esa
kompleks
sonning
darajali
ildizlarining turli qiymatlariga mos
keluvchi nuqtalar markazi
nuqtada va radiusi √
bo’lgan
aylanaga
ichki chizilgan
burchak
uchlarida yotishi kelib chiqadi
(3-rasm). (17) formulada
soniga
qiymatlarni berib
√
√
(18)
yoki
√
√
(19)
turli kompleks sonlarni hosil qilamiz.
3-Misol.
√
ildizning barcha qiymatlarini toping (4-rasm).
►
kompleks sonni ko’rsatkichli shaklda yozamiz
(19) formulaga asosan
(
)
Bu yerdan
4-rasm
w
𝑤
0
𝑤
𝑤
𝑥
𝑦
3-rasm
𝑥
𝑦
n=8
𝜋
w
