CROSS - vector ko’paytmani hosil qiladi.
Sintaksisi:
c = cross(a, b)
KRON - tenzorli ko’paytmani hosil qilish.
Sintaksisi:
K = kron(X, Y)
LINSPACE -teng munosabatli tugunlar chiziqli massivini hosil qilish.
Sintaksisi:
x = linspace(x1, x2)
x = linspace(x1, x2, n)
LOGSPACE - logarifmik to’rli tugunlarni hosil qiladi.
Sintaksisi:
x = logspace(d1, d2)
84
x = logspace(d1, d2, n)
MESHGRID - ikki o’lchamli va uch o’lchamli to’rlar tugunlarini hosil qiladi.
Sintaksisi:
[X, Y] = meshgrid(x, y)
[X, Y] = meshgrid(x)
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z)
Misol. Funksiyani -2 < x < 2, -2 < y < 2 sohada hisoblash uchun quyidagi
amallar ketma-ketligi bajariladi:
>>
[X, Y] = meshgrid (-2:.2:2, -2:.2:2);
>>
Z = X.*exp (-X.^2 - Y.^2);
>>
mesh (Z).
Mos keluvchi funksiyalar: SURF, SLICE.
3.4. Maxsus matritsalar
COMPAN
-
xarakterestik ko’phadni matrisa ko’rinishida ifodalaydi.
Sintaksisi: C = compan(p).
Misol. (x-1)(x-2)(x-3) = x
3
- 7x + 6 polinomi koiffetsentalaridan tuzilgan
vektor p = [1 0 -7 6]; yordamchi massiv quyidagicha bo’ladi:
C = compan(p)
C = 0 7 -6
1 0 0
0 1 0
Mos keluvchi funksiyalar: POLY, POLYVAL, POLYVALM.
HADAMARD - Adamar matritsasini (Hadamard matrix) hosil qiladi.
Sintaksisi: H = hadamard(n).
HANKEL - Hankel matritsasini (Hankel matrix) hosil qiladi.
Sintaksisi: H = hankel(c)
H = hankel(c, r)
Misol: c = [1 2 3];
H = hankel(c)
H = 1 2 3
1 2 0
3 0 0
c = 1:3; r = 7:10; H = hankel(c, r)
Warning: Column wins anti-diagonal conflict.
HILB, INVHILB - Gelbert matritsasini (Hilbert matrix) hosil qiladi.
Sintaksisi:
H = hilb(n)
H = invhilb(n)
Misol. 4 - taribli Gilbert matritsasi 1.5514e+004 shartli songa ega bo’lsin.
Uning teskarimatritsasi-butun sonli matritsa ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
invhilb(4)
85
ans = 16
-120
240 -140
-120
1200 -2700 1680
240
-2700 6480 -4200
-140
1680 -4200 2800
Natijani qo’zg’aluvchi vergulli sonlar ko’rinishida tasvirlasak quiydagi hosilbo’ladi:
format long e,
inv(hilb(4))
1.0e+ 003
ans = 0.0160
-0.1200
0.2400
-0.1400
-0.1200
1.2000
-2.7000
1.6800
0.2400
-2.7000
6.4800
-4.2000
-0.1400
1.6800
-4.2000
2.8000
MAGIC - Sehirli kvadratni hosil qiladi.
Sintaksisi: M = magic(n)
Ushbu funksiyani qo’llanilishi bilan bog’liq grafiklar (3.13-rasm):
3.13-rasm.
Mos keluvchi funksiyalar: RAND, ONES.
PASCAL - Paskal matritasasini (Pascal matrix) hosil qiladi.
Sintaksisi:
P = pascal(n)
P = pascal(n, k)
Misol:
>> n=4
n =
4
>> a=pascal(n)
a =
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
10
1
4 10
20
>>a=pascal(n,1)
a =
1
0
0
0
1
-1
0
0
86
1
-2
1
0
1
-3
3 -1
ROSSER - Resser matritsasini (Rosser matrix) hosil qiladi.
Sintaksisi:
R = rosser
Misol.
>> R=rosserR =
611 196
-192
407
-8
-52
-49
29
196 899
113 -192
-71
-43
-8
-44
-192 113
899
196
61
49
8
52
407 -192
196
611
8
44
59
-23
-8
-71
61
8
411
-599 208
208
-52 -43
49
44
-599 411
208
208
-49 -8
8
59
208 208
99
-911
29
-44
52
-23
208 208
-91
199
TOEPLITZ - Tiplets matritsasini (Toeplitz matrix) hosil qiladi.
Sintaksisi:
T = toeplitz(c);
T = toeplitz(c, r).
Misol.
c=1:4; T = toeplitz(c)
T = 1
2
3
4
2
1
2
3
3
2
1
1
4
3
2
1
VANDER - Vandermond matritsasini (Vandermonde matrix) hosil qiladi.
Sintaksisi: V = vander(x).
Misol: x = [1 2 3 4];V = vander(x).
V =1
1
1
1
8
4
2
1
27 9
3
1
64 16
4
1
WILKINSON - Uilkenson matritsasini (Wilkinson matrix) hosil qiladi.
Sintaksisi: W = wilkinson(n).
Misol: W = wilkinson(7):
W = 3
1
0
0
0
0
0
1
2
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
87
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
2
1
0
0
0
0
0
1
3
4. MATLABda chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini tadqiq etish
va yechish
4.1. Chiziqli tenglamalar sistemasi
Juda ko’p
nazariy va amaliy masalalarni hal qilishda chiziqli tenglamalar
sistemasiga duch kelamiz. Umumiy holda chiziqli tenglamalar sistemasining
ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
(3.1)
Bu yerda x
1
, x
2
, …, x
n
- noma’lum o’zgaruvchilar, a
11
, a
12
, …, a
nn
- haqiqiy
sonlar, tenglamalar sistemasining koeffisiyentlari va b
1
, b
2
,…, b
n
haqiqiy sonlar,
tenglamalar sistemasining ozod xadlari deyiladi.
Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi
deb
uni tenglamalarini
ayniyatlarga aylantiruvchi x
1
,x
2
,…, x
n
sonlarga aytiladi.
Chiziqli tenglamalar sistemasini vektor ko’rinishda quyidagicha yozish
mumkin:
Ax=b
(3.2)
Bu yerda:
(nxn) o’lchovli matrisa,
(nx1) o’lchovli noma’lum vektor ustun,
(nx1) o’lchovli ozod had deb ataluvchi vektor ustun.
A* = [A, b] - kengaytirilgan matrisani kiritamiz. Chiziqli algebra kursidan
ma’lumki (Kroneker-Kapelli teoremasi) A va A* matrisalarning ranglari teng bo’lsa
(3.1) yoki (3.2) sistemaning yechimi mavjud bo’ladi.
88
4.2. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari
Chiziqli
tenglamalar
sistemasini
yechishning
aniq
usullaridan
keng
qo’llaniladiganlari Gauss, Kramer va teskari matrisa usullaridir, taqribiy usullarga
esa iterasiyalar(ketma-ket yaqinlashish ), Zeydel va kichik kvadratlar usullarini
keltirish mumkin.
Aniq usullardan Kramer usulini ko’rib chiqamiz. Buning uchun det(A)≠0
bo’lishi kerak. Usulni to’liq keltirish uchun sistemaning asosiy matrisasi A ning k-
ustun elementlarini ozod had b bilan almashtirib A
k
, k =1,n matrisalar hosil qilamiz.
U holda
det(A)≠0 shart asosida yechimni topish uchun
)
det(
)
det(
A
A
x
k
k
=
,
n
k
...,
,
3
,
2
,
1
=
tengliklardan foydalanish mumkin. Bu yerda foydalanilgan det(A)
MATLAB funksiyasi bo’lib, A matrisaning determinantini xisoblab beradi. Taqribiy
usullardan iterasiya usulini keltiramiz. Buning uchun (3.1) sistemani quyidagicha
ko’rinishga keltiramiz:
(3.3)
Bu yerda i≠j bo’lganda
U holda
belgilashlar kiritib (3.3) ni quyidagicha yozib olamiz.
x= β+ αx
(3.4)
Endi (3.4) sistemani ketma-ket yaqinlashish (iterasiya) usuli bilan yechamiz.
Boshlang’ich yaqinlashish uchun x
(0)
= β ozod hadni olamiz va ketma-ket keyingi
yaqinlashishlarni hosil qilamiz:
x
(1)
= β+ x
(0)
;
89
x
(2)
=β+ x
(1)
;
……………
x
(k+1)
=β+ x
(k)
;
Agar x
(0)
, x
(1)
,…, x
(k)
,… sonlar ketma-ketligi limitga ega bo’lsa, u holda bu limit
(3.3) yoki (3.4) sistemaning yechimi bo’ladi. Yaqinlashishlarni ochiq holda
quyidagicha yozish mumkin:
(3.5)
Yechimni taqribiy hisoblashning ana shunday usuli iterasiya usuli deyiladi.
Iterasiya
prosessining
yaqinlashuvchi
bo’lishini
yetarli
shartini
quyidagicha
teoremada keltiramiz:
Teorema. Agar o’zgartirilgan (3.) sistemada quyidagi shartlardan
1)
i = 1,2,…n
2)
j = 1,2,…n
biri bajarilsa, u holda bu sistema uchun hosil qilingan (3.5) iterasiya jarayoni yagona
yechimga yaqinlashuvchi bo’ladi, ixtiyoriy boshlang’ich nuqta x(0) uchun.
Vektor ko’rinishidagi (3.2) sistemani detA≠0 bo’lgan holda teorema shartini
qanoatlantiradigan sistemaga keltirish mumkin:
(A
-1
-ε)Ax=Db, D= A
-1
-ε;
(3.6)
Bu yerda ε =[ε
ij
] - yetarli kichik sonlardan iborat bo’lgan matrisa. Yuqoridagi
(3.6) belgilashlardan foydalanib, quyidagini olamiz
x=β+αx,
(3.7)
bu yerda α= εA, β=Db, bo’lib ε
ij
lar yetarli kichik qilib olinsa teorema shartlari
bajariladi.
| 