5-teorema. Faraz qilaylik, funksiya va dastlabki yaqinlashish quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1) funksiya
oraliqda aiqlangan bo’lib, bu oraliqdan olingan ixtiyoriy ikkita va nuqtalar uchun Lipshis shartini qanoatlatirsin:
2) quyidagi tengsizliklar bajarilsin:
,
U holda tenglama oraliqda yagona ildizga ega bo’lib, ketma-ketlik bu yechimga intiladi va intilish tezligi
tengsizlik bilan aniqlanadi.
2.4-chizma
Isbot. Avval induksiya metodini qo’llab, ixtiyoriy uchun ni ko’rish mumkinligini, ning oraliqda yotishligi va
tengsizlikning bajarilishini ko’rsatamiz. Agar bo’lsa, bo’lgani uchun tengsizlik dan kelib chiqadi. Bundan tashqari, bo’lgani uchun tengsizlik bajarilib, oraliqda yotadi. Endi faraz qilaylik, lar qurilgan bo’lib, ular oraliqda yotsish va tengsizliklar bajarilsin. Induksiya shartiga ko’ra da yotadi, da aniqlangan, shuning uchun ham ni ko’rish mumkin. Teoremaning 1-shartidan kelib chiqadi. Lekin va uchun induksiya shartiga ko’ra o’rinli, demak . Bu esa va uchun tengsizlikning bajarilshini ko’rsatadi. Nihoyat,
munosabatlar ning oraliqda yotishini ko’rsatadi. Shu bilan isbot qilinishi talab etilgan mulohaza tasdiqlanadi.
Endi ning fundamental ketma-ketlik tashkil etishini ko’rsatamiz. tengsizlikka ko’ra ixtiyriy natural son uchun
yoki
Bu tengsizlikning o’ng tomoni ga bog’liq bo’lmaganligi va bo’lganidan ketma-ketlikning fundamentalligi va uning limiti mavjudligi kelib chiqadi. ketma-ketlik oraliqda yotgani uchun ham shu oraliqda yotadi. shartdan ning uzluksizligi kelib chiqadi, shuning uchun ham tenglikda limitga o’tib, tenglamaning ildizi ekanligini isbot qilamiz.
Endi ildizning oraliqda yagonaligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, tenglamaning oraliqdagi boshqa biror ildizi bo’lsin, ekanini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham, ga ko’ra , bo’lgani uchun bu munosabat faqat bo’lgandagina bajariladi. Yaqinlashish tezligini ko’rsatuvchi tengsizlikni keltirib chiqarish uchun tengsizlikda limitga o’tish kifoyadir. Teorema isbot bo’ldi.
Eslatma. Faraz qilaylik, tenglamaning ildizi yotgan qandaydir oraliqda ishora saqlasa va shart o’rinli bo’lsa, u holda agar musbat bo’lsa
,
ketma-ketlik ga monoton yaqinlashadi, bordiyu manfiy bo’lsa, ketma-ketlik ildiz atrofida tebranib unga yaqinlashadi. Haqiqatan ham bo’lib, bo’lsin. U holda
Bu yerda , bundan .Demak, matematik induksiyaga asosan ga ega bo’lamiz. Shunga o’xshash natija , bo’lganda ham kelib chiqadi. Endi holni ko’rib chiqamiz.
Faraz qilaylik, bo’lib, bo’lsin, u holda
bo’ladi, bundan va ligi kelib chiqadi. Shu mulohazalarni yaqinlashishlar uchun qaytarsak, hosil bo’ladi, ya’ni ketma-ket yaqinlashishlar atrofida tebranib, unga yaqinashadi.
|
