|
Faraz qilaylik,
tenglamani yechish talab qilingan bo’lsin, bu yerda - algebraik yoki transsendent funksiya bo’lishi mumkin. Tenglamalarni taqribiy yechish uchun qo’llanadigan ko’p metodlarda uning ildizlari ajratilgan, ya’ni unday yetarli kichik atrofchalar topilganki, bu atrofchalarda tenglamaning bittagina ildizi joylashadi deb faraz qilinadi. Bu atrofning biror nuqtasini dastlabki yaqinlashish sifatida qabul qilib, mazkur metodlar yordamida izlanayotgan yechimni berilgan aniqlik bilan hisoblash mumkin. Demak, (1.1) tenglamaning ildizlarini taqribiy hisoblash ikki qismdan iborat:
1) ildizlarni ajratish, ya’ni shunday oraliqchalarni ko’rsatish kerakki, unda tenglamaning bitta va faqat bitta ildizi bo’lsin;
2) dastlabki yaqinlashish ma’lum bo’lsa, ildizlarni berilgan aniqlik bilan hisoblash.
Masalaning birinchi qismi ikkinchisiga nisbatan ancha murakkabdir. Chunki, umumiy holda ildizlarni ajratish uchun effektiv metodlar mavjud emas. Xususan, bir necha noma’lumli
tenglamalar sistemasi uchun ildizlarni ajratish masalasi katta qiyinchiliklar bilan bog’likdir.
Matematik analizdan ma’lum bo’lgan quyidagi teoremalar tenglamaning ildizlari yotgan oraliqlarni ajratishga yordam beradi.
1-teorema. Agar uzluksiz funksiya biror oraliqning chetki nuqtalarida har xil ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u vaqtda bu oraliqda tenglamaning hech bo’lmaganda bitta ildizi mavjuddir. Agar, shu bilan birga birinchi tartibli hosila mavjud bo’lib, u o’z ishorasini shu oraliqda saqlasa, u vaqtda bu oraliqda ildiz yagonadir.
1.1-chizma
2-teorema. funksiya oraliqda analitik funksiya bo’lsin. Agar oraliqning chetki nuqtalarida har xil ishorali qiymatlarini qabul qilsa, u vaqtda tenglamaning va nuqtalar orasida yotadigan ildizlarning soni toqdir.
Agar funksiya oraliqning chetki nuqtalarida bir xil ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u vaqtda tenglamalarning ildizlari yo oraliqda yotmaydi yoki ularning soni juftdir (karraligini hisobga olgan holda).
Ko’pincha tenglamaning haqiqiy ildizlarini ajratishga grafik usuli katta yordam beradi. Buning uchun funksiyaning grafigini taqribiy ravishda chizib, bu grafikning o’qi bilan kesishgan nuqtalarining absissalari ildizning taqribiy qiymatlari deb olinadi (1.1-chizma). Agar tenglamaning ildizlari bir-biriga yaqin joylashgan bo’lmasa, u vaqtda bu usul bilan uning ildizlari osongina ajratiladi. Agar ning ko’rinishi murakkab bo’lib, uning grafigini chizish qiyin bo’lsa, u vaqtda grafik usulini boshqacha tarzda qo’llash kerak, ya’ni tenglama unga teng kuchli bo’lgan tenglama
ko’rinishda yozib olinadi. Endi va funksiyalarning grafiklarini chizsak, bu grafiklarning kesishish nuqtalarining absissalari taqribiy ildizlardan iborat bo’ladi.
|
